Lista 1 Matrizes

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Primeira lista de exerc´ıcios - A´lgebra Linear
24/02/2016
Prof. Fa´bio A. Matos
Assunto: Matrizes
1. Escreva a matriz A = (aij) ∈M3(R) tal que aij = i− 2j.
2. Considere as matrizes A =
 1 2 32 3 1
3 1 2
 e B =
 -1 0 -12 3 1
1 2 0
 . Encontre e matriz
C = 2(A + B)− A ·B.
3. Considere as matrizes A =
(
1 0 1
-1 1 1
)
, B =
(
-1 1
1 - 1
)
, C =
(
1
2
)
e D = 1 00 1
1 1
 .
Escolha uma maneira de ordenar as matrizes acima de modo que o produto das quatro
matrizes esteja definido e calcule esse produto.
4. Sendo A = (aij) e B = (bij) duas matrizes do tipo n× n, isto e´, matrizes em Mn(R).
(a) escreva o elemento cij da matriz C = A
2 + B;
(b) escreva o elemento cij da matriz C = A−BA + 2In.
5. Verifique que as identidades alge´bricas (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 e (A − B)2 = A2 −
2AB +B2 nem sempre sa˜o verdadeiras quando A e B sa˜o matrizes quadradas de mesma
ordem.
6. (a) Verifique que a inversa da matriz
(
2 3
5 7
)
e´ a matriz
(
-7 3
5 -2
)
.
(b) Existe alguma matriz do tipo
(
a 0
0 b
)
tal que(
17 -6
35 12
)
=
(
2 3
5 7
)(
a 0
0 b
)(
-7 3
5 -2
)
?
Em caso afirmativo, utilize a igualdade para calcular
(
17 -6
35 12
)10
.
7. Calcule a inversa da matriz
 1 1 -12 1 1
3 -1 1

8. Existe alguma matriz invers´ıvel A tal que A2 = 0? Justifique.
Bons estudos!!!