Lista #1 - Vetores e Matrizes

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LISTA DE EXERCÍCIOS #1 – VETORES E MATRIZES 
 
Disciplina: Álgebra Linear (VCE 00013) 
Professor: Alberto Paiva 
 
 
1a Questão: Introdução sobre vetores 
 
 
i) Um avião voa na direção Noroeste a 125 km/h em relação ao solo, com um vento 
soprando de leste para oeste com uma velocidade de 50 km/h. Determine a velocidade 
(módulo) e a direção de vôo do avião, caso não houvesse vento. 
 
ii) Mostre que, se u e v são não-colineares, 0=+ vu βα , implica 0== βα , para 
βα , escalares. 
 
iii) Dados dois vetores u e v não-colineares, determine uma expressão para qualquer vetor 
r situado no plano formado pelos vetores u e v . 
 
iv) Os vértices de um hexágono regular são dados pelos pontos A, B, C, D, E e F. Encontre 
a resultante da soma dos vetores BA , CA , DA , EA e FA . 
 
v) Determine a equação da reta que passa por dois pontos A e B, cujos vetores posição em 
relação a uma origem O são u e v , respectivamente. 
 
 
2a Questão: Produto escalar, produto vetorial e produto triplo 
 
i) Determine o menor ângulo formado pelos vetores ( )1,2,2=u e ( )0,4,0 −=v . 
 
ii) Mostre que os vetores 321 23 êêêu +−= , 321 53 êêêv +−= e 321 42 êêêw −+= 
formam um triângulo retângulo. 
 
iii) Determine o vetor (Atenção: vetor e não o seu módulo) correspondente à projeção do 
vetor ( )3,3,3=u sobre o vetor ( )1,2,2=v . 
 
iv) Determine a área do triângulo de vértices ( )2,3,1A , ( )1,1,2 −B e ( )3,2,1−C . 
 
v) Determine os vetores unitários perpendiculares ao plano formado pelos vetores 
321 362 êêêu −−= e 321 34 êêêv −+= . 
 
vi) Determine a equação do plano que contém os pontos ( )1,1,2 −A , ( )1,2,3 −B e 
( )2,3,1−C . 
 
 
3a Questão: Matrizes 
 
i) Dada a matriz [ ] 





−
−
=
34
23
A , determine todas as possíveis soluções para uma matriz 
[ ]B , tal que [ ] [ ]AB =2 
 
ii) Determine o vetor u normalizado, não nulo, tal que [ ] uuA 6= , onde [ ] 





=
35
31
A . 
 
iii) Para a matriz abaixo, calcule o valor de x para que [ ] 





−
=
012
2 2
x
x
A
 seja simétrica. 
 
iv) Determine os valores de x e y, tal que: 




=










−





 −−
2
35
10
2
03
20
54
yxx
xy
 
 
v) Expresse a matriz a seguir como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. 
 
[ ]










−
=
243
202
302
A
 
vi) Considere a seguinte matriz: [ ]
















−=
dc
ba
A
2
1
5
30
5
4
2
1
. 
 
(a) Determine os valores de a, b, c e d para que a matriz [ ]A seja ortonormal; 
(b) Substitua os valores encontrados e verifique: 
� Se os vetores linha estão normalizados; 
� Se os vetores coluna estão normalizados; 
� Se os vetores linha são ortogonais entre si; 
� Se os vetores coluna são ortogonais entre si; 
� A ortogonalidade de [ ]A . Além de ortogonal, [ ]A é ortonormal? Por quê?; 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
 
1a Questão: Introdução sobre vetores 
 
i) hkm /96v ≅ a aproximadamente 23,5o com a direção Norte. 
iii) vur βα += , para βα , escalares. 
iv) DA3R = 
v) ( )uvkur −+= ou βα
βα
+
+
=
vu
r , para k, βα , escalares. 
 
2a Questão: Produto escalar, produto vetorial e produto triplo 
 
i) o132≅θ 
ii) wvu += e wu ⊥ 
iii) 





=
3
5
,
3
10
,
3
10proj u ou 321 3
5
3
10
3
10proj êêêu +−=
 
iv) ..2,5Área au≅ 
v) 




 −
=
7
6
,
7
2
,
7
3
nˆ e 




 −−
=
7
6
,
7
2
,
7
3
nˆ 
vi) 3013511 321 =++ xxx 
 
3a Questão: Matrizes 
 
i) Há 4 possíveis soluções: [ ] 





−
−
=
12
11
B ou [ ] 





−
−
=
12
11
B ou 
 [ ] 





−
−
=
22
222B ou [ ] 





−
−
=
22
222B 
ii) 





=
5
3
34
1
u 
iii) 1=x 
iv) 1=x e 3=y 
v) [ ]










=
230
301
012
SIMM e [ ]










−
−
−
=
013
101
310
SIM-ANTIM 
vi) 
25
3±=a ; 
25
4±=b ; 
25
3
m=c
 e 
25
4
m=d