01 Matemática Conjuntos

Prévia do material em texto

Conjuntos
Noções sobre teoria dos conjuntos
	Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos. Os elementos podem representar qualquer coisa – números, pessoas, letras, etc – até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive.
	Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira: A = {v, x, y, z} 
Temos seis conjuntos numéricos existentes: os naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I), reais (R) e complexos (C). Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros.
 	O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e positivos.
	O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. 
	O conjunto dos números racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações.
	Os irracionais não podem ser escritos na forma de fração. 
	Os reais vão englobar todos os anteriores.
	Os números complexos são os que podem extrair raiz de números negativos.
Simbologia
	( – e
	( – contido
	( – não está contido
	( – qualquer que seja
	( – conjunto vazio
	( – ou
	( – interseção
	( – união
	( – contém
	– não contém
	( – pertence
	( – não pertence
	( – existe
	– não existe
	(– tal que
Representação
NÚMEROS NATURAIS
	Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, representados pela letra IN:
	N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
N* = { x ( x ( N ( x ( 0}
	A reticência significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.
NÚMEROS INTEIROS (Z)
	Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: “– 3”, a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números Inteiros, hoje, representamos pela letra Z.
	Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}
	A reticência, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor.
	Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da adição e multiplicação.
Z* = { x ( x ( Z ( x ( 0}
Z+ = { x ( x ( Z ( x ≥ 0}
Z– = { x ( x ( Z ( x ≤ 0}
NÚMEROS RACIONAIS (Q) – FRAÇÕES
	São aqueles constituídos pelos números inteiros e pelas frações positivas e negativas. Número racional é todo número indicado pela expressão 
, com b > 0 e é representado pela letra Q.
Q = {x ( x = 
, p ( Z, q ( Z, q ( 0}
NÚMEROS REAIS (R)
	A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais, representado pela letra R.
	R = Q
I
	R* = { x ( x ( R ( x ( 0}
	R+ = { x ( x ( R ( x ≥ 0}
	R– = { x ( x ( R ( x ≤ 0}
NÚMEROS COMPLEXOS (C)
C = {z(z = x + jy}, sendo x ( R e j = 
, é o conjunto dos números complexos.
�
Relação de pertinência, relação de inclusão
Conjunto, elementos: conceitos primitivos.
Pertinência: relação entre elemento e conjunto. Um elemento ( ou (a um conjunto.
Inclusão: relação entre conjuntos. Um conjunto ( ou ( em outro conjunto.
Reunião, intersecção e produto cartesiano
União – A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama–se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
A
B = {x(U ( x(A ( x(B}
Interseção – A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos A e B, pertencentes a um universo U, chama–se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a A quanto a B. Matematicamente:
A
B = {x(U ( x(A ( x(B}
Diferença – Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama–se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama–se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
A – B = {x(U ( x(A
 x(B}
B – A = {x(U ( x(B
 x(A}
Complementar – Se A ( B então 
= A – B
Exercícios
Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo. 
	a) 0 ( {0, 1, 2, 3, 4}
	d) 0 ( ∅
	h){∅, {a, {a}} ( {a} 
	j) {a, b} ( {a, b, c, d} 
	b) {a} ( {a, b}
	e) {a} ( ∅
	i) ∅ ( {∅, {a}}
	
	c) ∅ ( {0}
	f) a ∉ {a, {a}} 
	g) a ( {a, {a}}
	
Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine:
	a) A – B 
	b) B – A
	c) C – B
	d) (A U C) – B
	e) A – (B ∩ C)
	f) (A ( B) – (A ∩ C)
Sendo o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {2, 4, 5, 6, 7} então, A ∩ B é: 
	a) {2, 4, 5} 
	b) {1, 2, 3, 6} 
	c) {2, 4, 6} 
	d) {1, 3, 5} 
	e) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dados os conjuntos: A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, o conjunto M, definido por M = B – (A∩C) é: 
	a) {1, 3, 5} 
	b) {7} 
	c) {7, 5, 8, 9} 
	d) {0, 8, 9} 
	e) {1, 5, 7} 
Dado o conjunto P = {{0}, 0, ∅, {∅}}, considere as afirmativas: 
I. {0}( P 
II. {0} ( P
III. ∅ ( P 
			Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
	a) Todas são verdadeiras. 
	b) Apenas a I é verdadeira. 
	c) Apenas a II é verdadeira. 
	d) Apenas a III é verdadeira. 
	e) Todas são falsas. 
	
Se A = {x ( N(x = 4n, com n ( N} e B = {x ( N*(
 = n, com n ( N}, então o número de elementos de A∩B é: 
	a) 3 
	b) 2 
	c) 1 
	d) 0 
	e) Impossível de determinar
Sabemos que 
 = {todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B}, isto é, 
= A – B. Com base nesta definição, determine 
, sabendo que A = {0, 2, 4, 6, 8} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Sejam A e B conjuntos tais que A = {x(x = 3n, com n ( N e x ≤ 30} e B = {x(x ( N e x é ímpar}. Se o conjunto X é tal que X ( (A∩B) e (A∩B) – X = {3, 15, 21}, então X é igual a: 
	a) ∅
	b) {3, 15, 21} 
	c) {9, 27} 
	d) {0, 6, 12, 18, 24, 27, 30} 
	e) {0, 1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 25, 27, 29, 30} 
Se A, B e A∩B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto BUA é: 
	a) 10
	b) 70
	c) 85
	d) 110
	e) 170
(UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:
	A) 29
	B) 24
	C) 11
	D) 8
	E) 5
 (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:
	A) 120
	B) 60
	C) 90
	D) 180
	E) Nenhuma das anteriores
(Cesgranrio) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:
	A) 48%
	B) 60%
	C) 40%
	D) 140%
	E) 80%
Num colégio de segundo grau com 2000 alunos, foi realizada uma pesquisa sobre o gosto dos alunos pelas disciplinas de Física e Matemática. Os resultados da pesquisa se encontram na tabela a seguir:
	
	Número de alunos
	Gostam de Matemática
	1000
	Gostam de Física
	800
	Não gostam de Matemática nem de Física
	500
	O número de alunos que gostam de Matemática e Física simultaneamente, é: 
	a) 700 
	b) 500 
	c) 200 
	d) 100 
	e) 300
Numa pesquisa, realizadaem alguns colégios, sobre a preparação dos alunos para o concurso vestibular, foram obtidos os seguintes resultados: 
	
	Número de alunos
	Cursou pré-vestibular
	358
	Contratou professor particular
	110
	Ambas as situações anteriores
	54
	Nenhuma das situações anteriores
	36
Qual o número total de pessoas?
(PUCCAMP) Considere os conjuntos:
N, dos números naturais Q, dos números racionais,
Q+, dos números racionais não negativos, R, dos números reais.
		O número que expressa
A) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.
B) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.
C) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.
D) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.
E) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.
(PUC – Campinas) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim:
	A) 150 operários trabalham em 2 períodos;
	D) há 30 operários que trabalham só de manhã;
	B) há 500 operários na indústria;
	E) N.d.a.
	C) 300 operários não trabalham à tarde;
	
 (FGV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:
	• 210 compram o produto A.
	• 210 compram o produto B.
	• 250 compram o produto C.
	• 20 compram os três produtos.
	• 100 não compram nenhum dos três produtos.
	• 60 compram os produtos A e B.
	• 70 compram os produtos A e C.
	• 50 compram os produtos B e C.
Quantas pessoas foram entrevistadas?
(UFBH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?
Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois filmes A e B. Precisamente: 
treze pessoas assistiram ao filme A;
cinco pessoas assistiram aos dois filmes;
seis pessoas não assistiram a nenhum dos dois filmes.
Quantas pessoas assistiram ao filme B, sabendo que todas as 29 pessoas opinaram? 
Uma empresa, fabricante de achocolatados, pretende lançar um novo produto no mercado. Para isso, encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, e o resultado foi precisamente o seguinte: 
150 pessoas gostaram somente da embalagem A;
240 pessoas gostaram da embalagem B;
60 pessoas gostaram das duas embalagens.
Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens?
 
Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. 
a) Quantos alunos leram Iracema? 
b) Quantos alunos leram só Helena? 
c) Qual é o número de alunos nessa classe? 
Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistam ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C. Sabe–se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos três programas. 
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? 
b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? 
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A e nem ao programa B?
Se A = {x ( N(x é divisor de 24} e B = {x ( N(x é divisor de 30}, calcule o conjunto A ∩ B.
(UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:
	A) 29
	B) 24
	C) 11
	D) 8
	E) 5
 (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:
	A) 120
	B) 60
	C) 90
	D) 180
	E) Nenhuma das anteriores
(PUC – Campinas) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham
à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim:
	A) 150 operários trabalham em 2 períodos;
	D) há 30 operários que trabalham só de manhã;
	B) há 500 operários na indústria;
	E) N.d.a.
	C) 300 operários não trabalham à tarde;
	
Determine o conjunto A = {x ( N(x ≤ 3}, nomeando seus elementos. 
Um conjunto X é formado pelos cinco primeiros números naturais, pelos cinco primeiros números naturais pares e pelos cinco primeiros números naturais primos. Escreva esse conjunto. 
Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, ... , 50} e B = {x ( N(x = , com a ( A}, determine o conjunto B, nomeando seus elementos. 
Considere A = {− 1/2, − 1, 0, 1/3, 1/3} e K o conjunto dos quadrados dos elementos de A que são racionais e não são inteiros. Escreva o conjunto K. 
Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos de contaminação dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa, que: 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral, 35 não apresentavam sinais de contaminação por radioatividade, 77 apresentavam sinais de contaminação tanto por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação. Quantas tartarugas foram observadas? 
	a) 144 
	b) 154 
	c) 156
	d) 160
	e) 168
(UFBH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam–se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?
Dados A = {1, 5, 6, 8} e B = {x ( Q(x = 12/a, com a ( A}, determine o conjunto B. 
Dados A = {– 4, – 1, 0, 1, 2, 6, 9} e B = {x é irracional(x =
, com a ( A}, quais são os elementos do conjunto B. 
 (Cesgranrio) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo–se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:
	A) 48%
	B) 60%
	C) 40%
	D) 140%
	E) 80%
Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarreia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, elaborada a tabela abaixo.
	Sintomas
	Freqüência
	diarréia 
	62 
	febre 
	62 
	dor no corpo 
	72 
	diarréia e febre 
	8 
	diarréia e dor no corpo 
	14 
	febre e dor no corpo 
	20 
	diarréia, febre e dor no corpo 
	x 
		Na tabela, x corresponde ao número de pessoas que apresentam, ao mesmo tempo, os três sintomas. Pode-se concluir que o valor de x é igual a: 
Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: 
	Marca
	A
	B
	C
	A e B
	B e C
	A e C
	A, B e C
	Nenhuma das três
	Número de
consumidores
	109
	203
	162
	25
	41
	28
	5
	115
	Qual o total de pessoas pesquisadas?
Considere os pacientes da AIDS classificados em três grupos de risco: hemofílicos, homossexuais e toxicômanos. Num certo país, de 75 pacientes verificou-se que:
• 41 são homossexuais;
• 9 são homossexuaise hemofílicos, e não são toxicômanos;
• 7 são homossexuais e toxicômanos, e não são hemofílicos;
• 2 são hemofílicos e toxicômanos, e não são homossexuais;
• 6 pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos;
• o número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes que são apenas homossexuais;
• o número de pacientes que pertencem simultaneamente aos três grupos de risco é metade do número de pacientes que pertencem a nenhum dos grupos de risco.
		Quantos pacientes pertencem simultaneamente aos três grupos de risco?
(UNIRIO) Numa pesquisa para se avaliar a leitura de três revistas “A”, “B” e “C”, descobriu–se que 81 pessoas lêem, pelo menos, uma das revistas; 61 pessoas lêem somente uma delas e 17 pessoas lêem duas das três revistas. Assim sendo, o número de pessoas mais bem informadas dentre as 81 é:
	A) 3
	B) 5
	C) 12
	D) 29
	E) 37
	 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �
Conjuntos Numéricos���PAGE \* MERGEFORMAT�6�����
_1336023449.unknown
_1336448648.unknown
_1398502566.unknown
_1398502831.unknown
_1336448803.unknown
_1398502386.unknown
_1336448859.unknown
_1336448712.unknown
_1336293418.unknown
_1336448610.unknown
_1336023748.unknown
_1336026143.unknown
_1335248271.unknown
_1335248375.unknown
_1336022909.unknown
_1335418069.unknown
_1335248329.unknown
_1335247975.unknown