Exercícios sobre Análise de Tensões e Resistência dos Materiais para a MEC0404 T02 em 2016.1 Parte2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CÂMARA DE PROJETOS MECÂNICOS E DE FABRICAÇÃO
DISCIPLINA: MEC0404-MECÂNICA DOS SÓLIDOS – T02
PROF.: JOÃO WANDERLEY RODRIGUES PEREIRA
EXERCÍCIOS: ANÁLISE DE TENSÕES E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-2
ALUNO:......................................................................................................DATA: 01/02/2016
Exemplo-7.1
Verificar se o estado de tensão, Figura 7.51, excede os limites admissíveis pelos seguintes critérios de resistência:
(a) von Mises e (b) Tresca
Dado: tensão normal admissível adm = 130 MPa.
(c) Rankine e (d) Coulomb
Dados: tensão normal de tração admissível t,adm = 150 MPa; tensão normal de compressão admissível c,adm = 600 MPa;
(e) Envoltória de Mohr
Dado: equação da envoltória de Mohr admissível = – 0,3125 + 20 (kN/cm2).
Tensões principais
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Critério de von Mises
Também chamado critério da energia de distorção máxima, é apropriado aos materiais dúcteis.
t,lim c,lim = adm = 130 Mpa = 13 kN/cm2
Pelo critério de von Mises, respeitando a condição da Equação (7.16), com lim = adm o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Critério de Tresca
Também chamado critério da tensão de cisalhamento máxima, é apropriado aos materiais dúcteis.
No estado plano de tensão, dependendo dos sinais das tensões 1 e 2, ocorrem três possibilidades, que podem ser analisadas utilizando o sistema ( x ) ou o sistema (1 x 2).
1 = 14 kN/cm2 > 0 e 2 = 4 kN/cm2 > 0
Essa situação se enquadra na 1a possibilidade, Figura 7.52, ou no 1o quadrante, Figura 7.53.
Sistema ( x )
Utiliza-se a condição da Equação (7.23):
i = máx − mín ≤ lim (7.23)
i = 14 – 0 = 14 kN/cm2 > adm = 13 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão excede os limites admissíveis.
Sistema (1 x 2)
No 1o quadrante, duas condições devem ser respeitadas:
1 ≤ adm = 13 kN/cm2 e 2 ≤ adm = 13 kN/cm2
Como 1 > 2 é suficiente verificar a condição 1 ≤ adm.
1 = 14 kN/cm2 > adm = 13 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão excede os limites admissíveis.
Critério de Rankine
Também chamado critério das tensões normais máximas, é apropriado aos materiais frágeis (t,lim c,lim).
t,lim = t,adm = 150 Mpa = 15 kN/cm2 e c,lim = c,adm = 600 Mpa = 60 kN/cm2
No estado plano de tensão, dependendo dos sinais das tensões 1 e 2, ocorrem três possibilidades, que podem ser analisadas utilizando o sistema ( x ) ou o sistema (1 x 2).
1 = 14 kN/cm2 > 0 e 2 = 4 kN/cm2 > 0
Essa situação se enquadra na 1a possibilidade, Figura 7.54, ou no 1o quadrante, Figura 7.55.
Sistema ( x )
São utilizadas as condições da Equação (7.28).
Como 1 > 2, é suficiente verificar a condição 1 ≤ t,lim.
1 = 14 kN/cm2 < t,adm = 15 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Sistema (1 x 2)
No 1o quadrante, duas condições devem ser respeitadas:
1 t,adm = 15 kN/cm2 e 2 t,adm = 15 kN/cm2
Como 1 > 2, é suficiente verificar a condição 1 ≤ t,lim.
1 = 14 kN/cm2 < t,adm = 15 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Critério de Coulomb
É apropriado aos materiais frágeis (t,lim c,lim).
t,lim = t,adm = 150 Mpa = 15 kN/cm2 e c,lim = c,adm = 600 Mpa = 60 kN/cm2
No estado plano de tensão, conhecendo-se as tensões normais admissíveis t,lim e t,lim,é conveniente utilizar o sistema (1 x 2).
1 = 14 kN/cm2 > 0 e 2 = 4 kN/cm2 > 0
Essa situação se enquadra no 1o quadrante, Figura 7.56.
Sistema (1 x 2)
No 1o quadrante, duas condições devem ser respeitadas.
1 t,adm = 15 kN/cm2 e 2 t,adm = 15 kN/cm2
Como 1 > 2, é suficiente verificar a condição 1 ≤ t,lim.
1 = 14 kN/cm2 < t,adm = 15 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Critério da envoltória de Mohr
Equação da envoltória admissível
Equação da circunferência
Utiliza-se a Equação (2.39):
Considera-se a maior circunferência (1 x 3), Figura 7.57. A posição do centro C(a, 0) e o raio b do círculo são determinados por meio das tensões principais.
Com os valores numéricos de a e b, a Equação (2.39) torna-se:
Substituindo da envoltória admissível na equação da circunferência:
O discriminante positivo indica que existem raízes reais e que a circunferência intercepta a envoltória admissível. Portanto, o estado de tensão excede os limites admissíveis.
Exemplo-7.2
Verificar se o estado de tensão, Figura 7.58, excede os limites admissíveis pelos seguintes critérios de resistência:
(a) von Mises e (b) Tresca
Dado: tensão normal admissível adm = 180 MPa.
(c) Rankine e (d) Coulomb
Dados: tensão normal de tração admissível t,adm = 80 MPa; tensão normal de compressão admissível c,adm = 400 MPa;
(e) Envoltória de Mohr
Dado: equação da envoltória de Mohr admissível = – 0,10 + 11 (kN/cm2).
Tensões principais
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal a3 nula, e as tensões principais (o., o) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Critério de von Mises
Também chamado critério da energia de distorção máxima, é apropriado aos materiais dúcteis.
t,lim c,lim = adm = 180 Mpa = 18 kN/cm2
Pelo critério de von Mises, respeitando a condição da Equação (7.16), com lim = adm, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Critério de Tresca
Também chamado critério da tensão de cisalhamento máxima, é apropriado aos materiais dúcteis.
t,lim c,lim = adm = 180 MPa = 18 kN/cm2
No estado plano de tensão, dependendo dos sinais das tensões 1 e 2, ocorrem três possibilidades, que podem ser analisadas utilizando o sistema ( x ) ou o sistema (1 x 2).
1 = 6 kN/cm2 > 0 e 2 = 14 kN/cm2 < 0
Essa situação se enquadra na 3a possibilidade, Figura 7.59, ou no 4o quadrante, Figura 7.60.
Sistema ( x )
A condição da Equação (7.23), com lim = adm, deve ser respeitada para não exceder os limites admissíveis.
i = máx mín lim (7.23)
i = 6 – (– 14) = 20 kN/cm2 > adm = 18 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão excede os limites admissíveis.
Sistema (1 x 2)
No 4o quadrante, com lim = adm, para não exceder os limites admissíveis, deve-se respeitar a condição da Equação (7.25).
t,lim c,lim = adm = 180 MPa = 18 kN/cm2 1 = 6 kN/cm2 2 = 14 kN/cm2
6 + 14 = 20 kN/cm2 > adm = 18 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão excede os limites admissíveis.
Critério de Rankine
Também chamado critério das tensões normais máximas, é apropriado aos materiais frágeis (t,lim c,lim).
t,lim = t,adm = 80 MPa = 8 kN/cm2 c,lim = c,adm = 400 MPa = 40 kN/cm2
No estado plano de tensão, dependendo dos sinais das tensões 1 e 2, ocorrem três possibilidades, que podem ser analisadas utilizando o sistema ( x ) ou o sistema (1 x 2).
1 = 6 kN/cm2 > 0 e 2 = 14 kN/cm2 < 0
Essa situação se enquadra na 3a possibilidade, Figura 7.61, ou no 4o quadrante, Figura 7.62.
Sistema ( x )
As tensões 1 e 2 não ultrapassam, respectivamente, os limites admissíveis de tração t,adm e de compressão c,adm do material, Figura 7.61.
1 = 6 kN/cm2 < t,adm = 8 kN/cm2 e |2| = 14 kN/cm2 < c,adm = 40 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Sistema (1 x 2)
No 4o quadrante, as duas condições devem ser respeitadas.
1 = 6 kN/cm2 < t,adm = 8 kN/cm2 e |2| = 14 kN/cm2 < c,adm = 40 kN/cm2
	Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Critério de Coulomb
É apropriado aos materiais frágeis (t,lim c,lim).
t,lim = t,adm = 80 MPa = 8 kN/cm2 c,lim = c,adm = 400 MPa = 40 kN/cm2
No estado plano de tensão,conhecendo as tensões normais admissíveis t,lim e c,lim, é conveniente utilizar o sistema (1 x 2).
1 = 6 kN/cm2 > 0 e 2 = 14 kN/cm2 < 0
Essa situação se enquadra no 4o quadrante, Figura 7.63.
	Sistema (1 x 2)
No 4o quadrante, para não ultrapassar os limites admissíveis, a condição da Equação 7.36, com t,lim = t,adm e c,lim = c,adm deve ser respeitada.
t,lim = t,adm = 80 MPa = 8 kN/cm2 c,lim = c,adm = 400 MPa = 40 kN/cm2
1 = 6 kN/cm2 e 2 = 14 kN/cm2
Portanto, o estado de tensão excede os limites admissíveis.
Critério da envoltória de Mohr
Equação da envoltória admissível
 = – 0,10 + 11 ou 
Equação da circunferência
Utiliza-se a Equação (2.39):
Considera-se a maior circunferência (1 x 3), Figura 7.64. A posição do centro C(a, 0) e o raio b do círculo são determinados por meio das tensões principais.
Com os valores numéricos de a e b, a Equação (2.39) torna-se:
Substituindo da envoltória admissível na equação da circunferência:
O discriminante negativo indica que não existem raízes reais e que a circunferência não intercepta a envoltória admissível.
Portanto, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
Exemplo-7.3
Determinar os valores da tensão p, de modo que o estado de tensão da Figura 7.65 não exceda os limites admissíveis. O material segue o critério da energia de distorção máxima (von Mises).
Dado: tensão normal admissível adm = 120 MPa.
Tensões principais
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Valores da tensão p
t,lim c,lim = adm = 120 MPa = 12 kN/cm2
Pelo critério de von Mises, respeitando a condição da Equação (7.16), com lim = adm, o estado de tensão não excede os limites admissíveis.
6p2 – 88 0 3,83 kN/cm2 p 3,83 kN/cm2
Portanto, para não exceder os limites admissíveis, os valores da tensão p podem variar no seguinte intervalo: 3,83 kN/cm2 p 3,83 kN/cm2.
Exemplo-7.4
Determinar o valor admissível da tensão p, respeitando os sentidos indicados na Figura 7.66 e sabendo que o material segue o critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca).
Dado: tensão normal admissível adm = 100 MPa.
Tensões principais
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Critério de Tresca
t,lim c,lim = adm = 100 MPa = 10 kN/cm2
No estado plano de tensão, dependendo dos sinais das tensões 1 e 2, ocorrem três possibilidades, que podem ser analisadas utilizando o sistema ( x ) ou o sistema (1 x 2)' A fim de respeitar os sentidos das tensões indicados na Figura 7.66, apenas os valores positivos de p são considerados. Assim,
Essa situação se enquadra na 3a possibilidade, Figura 7.67, ou no 4o quadrante, Figura 7.68.
Sistema ( x )
Utiliza-se a condição da Equação (7.23), com lim = adm:
i = máx mín lim
2,3p ( 1,3p) adm = 100 MPa = 10 kN/cm2 p 27,78 MPa = 2,778 kN/cm2
	Sistema (1 x 2)
No 4o quadrante, deve-se respeitar a condição da Equação (7.25), com lim = adm, para não exceder os limites admissíveis.
2,3p + 1,3p adm = 100 MPa = 10 kN/cm2 p 27,78 MPa = 2,778 kN/cm2
Valores da tensão p
A fim de respeitar os sentidos das tensões indicados na Figura 7.66, a tensão p deve ser positiva. Pelo critério de Tresca, para não exceder os limites admissíveis, o valor da tensão p deve ser no máximo igual a 27,78 MPa = 2,778 kN/cm2.
Valores da tensão: 0 < p 27,78 MPa = 2,778 kN/cm2.
Entende-se como valor admissível da tensão p, aquele que torna a tensão ideal i igual à tensão normal admissível adm. Logo, padm = 27,78 MPa = 2,778 kN/cm2.
Exemplo-7.5
Sabendo que o material segue o critério de Coulomb, determinar os valores da tensão p, de modo que o estado de tensão da Figura 7.69 não exceda os limites admissíveis.
Dados: tensão normal de tração admissível t,adm = 100 MPa; tensão normal de compressão admissível c,adm = 400 MPa.
Tensões principais
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Critério de Coulomb
t,lim = t,adm = 100 MPa e c,lim = c,adm = 400 MPa
No estado plano de tensão, conhecendo-se as tensões normais admissíveis t,lim e c,lim,é conveniente utilizar o sistema (1 x 2).
Com isso, duas situações devem ser analisadas: pontos no 1o ou no 4o quadrante, Figura 7.70.
	Sistema (1 x 2)
Em cada quadrante deve-se respeitar as condições da hipótese e do critério de Coulomb.
1o quadrante (1 > 0 e 2 > 0)
 Hipótese 2 > 0
 Critério de Coulomb
No 1o quadrante, duas condições devem ser respeitadas.
1 t,adm = 100 MPa e 2 t,adm = 100 MPa
Como 1 > 2, é suficiente verificar a condição 1 t,adm.
4o quadrante (1 > 0 e 2 < 0)
 Hipótese 2 < 0
 Critério de Coulomb
No 4o quadrante, deve-se respeitar a condição da Equação (7.36).
t,lim = t,adm = 100 MPa e c,lim = c,adm = 400 MPa
Para um determinado valor da tensão p, resulta um ponto de coordenadas (1, 2) que pode estar no 1o quadrante ou no 4o quadrante.
Portanto, para não exceder os limites admissíveis, os valores da tensão p podem variar no seguinte intervalo: – 61,19 MPa p 61,19 MPa.
Exemplo-7.6
Para o estado de tensão da Figura 7.71, verificar se ocorre ruptura, sabendo que o material segue o critério de Coulomb.
Dados: tensão de coesão c = 0,3 MPa; ângulo de atrito interno = 30°.
Tensões principais
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Esses valores já eram esperados, pois, no estado de tensão da Figura 7.71, a tensão de cisalhamento é nula e, portanto, as tensões x e y são as tensões principais.
Equação da circunferência
Utiliza-se a Equação (2.39):
	Considera-se a circunferência de maior raio (2 x 3), Figura 7.72. A posição do centro C(a, 0) e o raio b são determinados por meio das tensões principais.
Com os valores numéricos de a e b, a Equação (2.39) torna-se:
Equação da reta de ruptura
A tensão de cisalhamento varia linearmente segundo a reta de ruptura que, no caso, é definida com a tensão de coesão c e o ângulo de atrito interno do material, Figura 7.73.
 = + 
Condições de contorno
Para = 0, = 0 + = c = 0,3 MPa = 0,3 MPa
Para = 0, = o
Da Figura 7.73:
tg = (c/o) o = (c/tg) = (0,3/tg30o) = 0,52 MPa
Logo, = o = 0,52 MPa
Assim, = 0,52 + 0,3 = 0 ou = 0,577
Portanto, com os valores numéricos de e , a equação da reta de ruptura torna-se:
 = 0,577 + 0,3
Critério de Coulomb
Para saber se ocorre ruptura do material, é necessário verificar se a circunferência de maior raio, Figura 7.72, intercepta a reta de ruptura.
Substituindo da reta de ruptura na equação da circunferência:
Calculando o discriminante dessa equação do segundo grau:
O discriminante positivo indica que existem raízes reais e que a circunferência intercepta a reta de ruptura. Portanto, o estado de tensão da Figura 7.71 provoca ruptura do material.
Exemplo-7.7
As tensões principais 1 = – 10 kN/cm2, 2 = – 30 kN/cm2 e 3 = – 70 kN/cm2 resultam de um estado triplo de tensão. Verificar se ocorre ruptura do material pelo critério da envoltória de Mohr, Figura 7.74.
Tensões principais
Com as tensões principais 1 = – 10 kN/cm2, 2 = – 30 kN/cm2 e 3 = – 70 kN/cm2, desenha-se o diagrama de Mohr da Figura 7.75.
Equação da circunferência
Utiliza-se a Equação (2.39): 
Considera-se a circunferência de maior raio (1 x 3), Figura 7.75. A posição do centro C(a, 0) e o raio b são determinados por meio das tensões principais.
Portanto, com os valores numéricos de a e b, a Equação (2.39) torna-se:
Equação da envoltória de ruptura
A tensão de cisalhamento varia segundo a parábola da envoltória de ruptura, Figura 7.74.
Condições de contorno
 Para = 0, = 25 kN/cm2: = 02 + 0 + = 25 = 25kN/cm2
 Para = +20 kN/cm2, = 0: = 202 + 20 + 25 = 0
 Para = – 20 kN/cm2, 	 = 0: = ( 20)2 + ( 20) + 25 = 0
A partir das condições b e c, resultam = – 6,25.102 e = O.
Portanto, 
Critério da envoltória de Mohr
Para saber se ocorre ruptura do material, é necessário verificar se a circunferência de maior raio, Figura 7.75, intercepta a envoltória de ruptura.
Substituindo da envoltória de ruptura na equação da circunferência:
Calculando o discriminante dessa equação do segundo grau:
O discriminante negativo indica que não existem raízes reais e que a circunferência não intercepta a envoltória de ruptura. Portanto, o estado de tensão 7.74 não provoca ruptura do material.
Exemplo 7.8
Verificar se o carregamento da barra da Figura 7.76 excede os limites admissíveis, considerando apenas os efeitos das forças axiais e dos momentos torçores. A força longitudinal é axial, e o material segue o critério de Coulomb.
Dados: tensão normal de tração admissível t,adm = 60 MPa; tensão normal de compressão admissível c,adm = 100 MPa.
Classificação da estrutura
As reações (HA, TA) são suficientes, pois consideram-se apenas os efeitos das forças axiais e dos momentos torçores, Figura 7.77. Portanto, a estrutura é isostática com duas incógnitas (HA, TA) e duas equações de equilíbrio (Fx = 0, Mt = 0).
Esforços solicitantes
A força normal N e o momento torçor Mt são os esforços solicitantes não-nulos, pois apenas forças axiais e momentos torçores são considerados. Em estruturas engastadas e isostáticas, os esforços solicitantes podem ser determinados sem o cálculo das reações, adotando o sentido do eixo x da extremidade livre para o engastamento fixo. Para traçar os diagramas dos esforços solicitantes, são utilizados três cortes na barra, Figura 7.78.
Corte I (0 x 2 m)
Fx = 0 N = 0
Mt = 0 Mt 1 = 0 Mt = 1 kN.m
Corte II (2 m x 3 m)
Fx = 0 N 300 = 0 N = 300 kN
Mt = 0 Mt 1 = 0 Mt = 1 kN.m
	Corte III (3m x 4 m)
Fx = 0 N 300 = 0 N = 300 kN
Mt = 0 Mt + 7 1 = 0 Mt = 6 kN.m
Diagramas dos esforços solicitantes
Critério de Coulomb
t,lim = t,adm = 60 MPa = 6 kN/cm2 e c,lim = c,adm = 100 MPa = 10 kN/cm2
No estado plano de tensão, conhecendo as tensões normais admissíveis t,adm e c,adm, é conveniente utilizar o sistema (1 x 2).
Estado plano de tensão com y = 0
Nos pontos da barra, a tensão normal y é nula ou desprezada.
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
	Com y = 0 e fazendo x = , tem-se:
Essa situação (1 > O e 2 < O) define pontos no 4o quadrante, Figura 7.83.
Portanto, o estado de tensão com y = 0 de um ponto qualquer do corpo não excede os limites admissíveis se a condição da Equação (7.36) for respeitada, com t,lim = t,adm e c,lim = c,adm.
A tensão normal atuante em todos os pontos da seção transversal é calculada por meio da Equação (4.2), válida em trechos com (N, A) constantes.
Nos pontos da borda da seção transversal, a tensão de cisalhamento é determinada por meio da Equação (5.8), válida em trechos com (Mt, wt) constantes.
O módulo de resistência à torção da seção circular cheia é determinado por meio da Equação (5.9).
Assim, três trechos devem ser considerados, Figura 5.82.
Seções do trecho AB (Figura 7.82)
N = 300 kN, Mt = – 6 kN.m = – 600 kN.cm
A = (D2/4) = (102/4) = 78,54 cm2 e wt = (D3/16) = (103/16) = 196,35 cm3
 = (N/A) = (300/78,54) = 3,82 kN/cm2 e = (Mt/wt) = (| 300|/196,35) = 3,06 kN/cm2
Os pontos da borda da seção transversal são os mais solicitados com o estado de tensão da Figura 7.86.
Tensões principais e condição do critério de Coulomb:
O estado de tensão da Figura 7.86 ultrapassa os limites admissíveis, Figura 7.83.
Seções do trecho BC (Figura 7.82)
N = 300 kN, Mt = 1 kN.m = 100 kN.cm
A = (D2/4) = (102/4) = 78,54 cm2 e wt = (D3/16) = (103/16) = 196,35 cm3
 = (N/A) = (300/78,54) = 3,82 kN/cm2 e = (Mt/wt) = (100/196,35) = 0,51 kN/cm2
Os pontos da borda da seção transversal são os mais solicitados com o estado de tensão da Figura 7.88.
Tensões principais e condição do critério de Coulomb:
O estado de tensão da Figura 7.88 não ultrapassa os limites admissíveis, Figura 7.83.
Seções do trecho CD (Figura 7.82)
N = 0, Mt = 1 kN.m = 100 kN.cm
A = (D2/4) = (62/4) = 28,27 cm2 e wt = (D3/16) = (63/16) = 42,41 cm3
 = (N/A) = (0/28,27) = 0 e = (Mt/wt) = (100/42,41) = 2,36 kN/cm2
Os pontos da borda da seção transversal são os mais solicitados com o estado de tensão da Figura 7.90.
Tensões principais e condição do critério de Coulomb:
O estado de tensão da Figura 7.90 não ultrapassa os limites admissíveis, Figura 7.83.
Portanto, o carregamento da barra da Figura 7.76 excede os limites admissíveis, pois o estado de tensão, Figura 7.86, dos pontos da borda das seções transversais do trecho AB ultrapassa os limites admissíveis, Figura 7.83.
Observações:
1. As seções do trecho BC podem ser dispensadas de verificação, pois possuem o mesmo diâmetro das seções do trecho AB e estão solicitadas com a mesma força normal e momento torçor menor.
2. Verificar todos os trechos com solicitações desfavoráveis, mesmo ocorrendo ponto em que o estado de tensão ultrapasse os limites de resistência do material.