Forças Distribuidas Momentos de Inércia

Prévia do material em texto

FORÇAS DISTRIBUÍDAS: 
MOMENTOS DE INÉRCIA 
Mecânica 
Engenharia – UNIFACS 
Prof. Danillo Oliveira 
Introdução 
O momento de inércia se origina quando são consideradas 
forças cujas intensidades dependem não só dos elementos de 
área ou de volume sobre os quais atuam, mas quando variam 
linearmente com a distância entre esses elementos e algum eixo 
dado. 
- A intensidade da resultante depende do momento de 
primeira ordem da superfície sobre a qual atua a força em 
relação ao eixo considerado. 
- O ponto de aplicação da resultante depende do momento de 
segunda ordem, ou momento de inércia da mesma 
superfície em relação ao eixo. 
“Fisicamente, Momento de Inércia de uma Área, pode ser 
interpretado como a propriedade das superfícies planas se 
deixarem girar em torno de um eixo.” 
Momentos de Inércia de uma Superfície por Integração 
• O cálculo das integrais é simplificado escolhendo-se dA como sendo uma faixa 
estreita paralela a um dos eixos coordenados. 
• Os Momentos de Segunda Ordem ou Momentos de Inércia de Superfícies em 
relação aos eixos x e y são: 
𝑰𝒙 = 𝒚
𝟐 𝒅𝑨 𝑰𝒚 = 𝒙
𝟐 𝒅𝑨 
Determine o momento de inércia de um triângulo em relação à 
sua base. 
Exemplo 1 
Momento de Inércia Polar 
• O momento de inércia polar é um 
parâmetro importante em problemas 
que tratam da torção de eixos 
cilíndricos e da rotação de placas. 
 dArJ
2
0
• O momento de inércia polar pode ser calculado a partir dos momentos de 
inércia retangulares, 
 
xy II
dAydAxdAyxdArJ

 
22222
0
Raio de Giração de uma Superfície 
• De forma similar, 
A
J
kAkJ
A
I
kAkI
O
OOO
y
yyy


2
2
222
yxO kkk 
A
I
kAkI xxxx 
2
kx = raio de giração em relação ao 
eixo x. 
• Considere-se uma superfície A com momento de inércia Ix. Imaginemos que a 
superfície está concentrada em uma faixa estreira paralela ao eixo x com Ix 
equivalente. 
Determine o momento de inércia da área sombreada com 
respeito a cada eixo coordenado. Usando o resultado obtido, 
determine o raio de giração da área sombreada com respeito a 
cada um dos eixos coordenados. 
Exemplo 2 
Teorema dos Eixos Paralelos 
• Considere o momento de inércia I de uma superfície A em relação a um 
eixo AA’ 
• O eixo BB’ passa pelo centroide da superfície e é denominado eixo 
centroidal. 
𝐼𝐴𝐴′ = 𝑦
2 𝑑𝐴 
𝐼𝐴𝐴′ = 𝑦
2 𝑑𝐴 = 𝑦′ + 𝑑 2 𝑑𝐴 
𝐼𝐴𝐴′ = 𝑦
′2 𝑑𝐴 + 2𝑑 𝑦′ 𝑑𝐴 + 𝑑2 𝑑𝐴 
 𝑦′ 𝑑𝐴 = 0 → momento estático, 𝑄𝑥 , em relação ao centróide 
𝑰 = 𝑰′ + 𝑨𝒅𝟐 ↔ teorema dos eixos paralelos 
• Momento de inércia IT de uma superfície 
circular em relação a uma linha tangente ao 
círculo: 
• Momento de inércia de um triângulo em relação 
a um eixo centroidal: 
Teorema dos Eixos Paralelos 
𝐼𝑇 = 𝐼 + 𝐴𝑑
2 =
1
4
𝜋𝑟4 + 𝜋𝑟2 𝑟2 =
5
4
𝜋𝑟4 
𝐼𝐴𝐴′ = 𝐼 𝐵𝐵′ + 𝐴𝑑
2 
𝐼𝐵𝐵′ = 𝐼𝐴𝐴′ − 𝐴𝑑
2 =
1
12
𝑏ℎ3 −
1
2
𝑏ℎ
1
3
ℎ
2
=
1
36
𝑏ℎ3 
Momentos de Inércia de Superfícies Compostas 
O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um dado 
eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies 
componentes A1, A2, A3, ... , em relação ao mesmo eixo. 
Momentos de Inércia de Superfícies Compostas 
Determine o momento de inércia da superfície sombreada em 
relação ao eixo x. 
Exemplo 3