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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2016/1
Questa˜o 1: (2,0 pontos) Sobre nu´meros racionais, irracionais e suas representac¸o˜es decimais.
a) Encontre uma representac¸a˜o decimal para os nu´meros
1
7
e
1
17
. Eles sa˜o racionais ou irraci-
onais? Suas representac¸o˜es decimais sa˜o finitas ou infinitas?
b) Decida se cada um dos nu´meros abaixo e´ racional ou irracional. Caso seja racional encontre
uma representac¸a˜o em forma de frac¸a˜o. Justifique cuidadosamente as suas respostas.
b.1) 82, 35823582358235 · · · b.4) 0, 100100010000100000 · · ·
b.2) 0, 999999 · · · b.5) 1, 2345678910111213 · · ·
b.3)
√
7
Soluc¸a˜o:
a) Ambos os nu´meros sa˜o racionais pois sa˜o expressos como raza˜o de dois nu´meros inteiros.
Efetuando a divisa˜o obtemos
1
7
= 0, 142857, onde a barra indica a repetic¸a˜o do nu´mero
142857. Esta e´ uma d´ızima perio´dica, isto e´, uma representac¸a˜o decimal infinita e perio´dica.
Analogamente obtemos
1
17
= 0.0588235294117647. A frac¸a˜o possui representac¸a˜o decimal
finita. (veja a Orientac¸a˜o Semanal 2 (OS2)).
b) Para esta parte (exceto em b.3)) precisamos lembrar que um nu´mero real e´ racional se,
e somente se, possui representac¸a˜o decimal finita ou infinita e perio´dica. Assim podemos
afirmar que b.1) e b.2) sa˜o racionais pois possuem representac¸a˜o decimal infinita e perio´dica.
Por outro lado, b.4) e b.5) sa˜o irracionais pois suas representac¸o˜es decimais sa˜o infinitas e
na˜o-perio´dicas. Para b.3) precisamos de uma argumentac¸a˜o um pouco mais cuidadosa: se√
7 for um nu´mero racional, enta˜o existem nu´meros inteiros m e n com n 6= 0 tais que
√
7 =
m
n
.
Logo elevando ambos os membros ao quadrado e depois multiplicando ambos os membros
por n2 obtemos m2 = 7n2 o que e´ uma contradic¸a˜o pois por um lado a poteˆncia de 7 na
decomposic¸a˜o em fatores primos de m2 e´ aquela na decomposic¸a˜o de n2 mais 1 e, por outro
lado, as poteˆncias de 7 nas decomposic¸o˜es de m2 e n2 sa˜o nu´meros pares (o dobro das
poteˆncias de 7 nas decomposic¸o˜es de m e n, respectivamente). Assim,
√
7 na˜o e´ racional.
Como este e´ um nu´mero real (que na˜o e´ racional) conclu´ımos que
√
7 e´ irracional (este
argumento ja´ foi utilizado no mo´dulo para justificar que
√
2 e´ irracional).
Agora so´ falta encontrar as expresso˜es fraciona´rias de b.1) e b.2). Comecemos por b.1). Seja
N = 82, 35823582358235 · · · e temos 100N = 8235 + 0, 8235 e tambe´m N/100 = 0, 8235,
enta˜o podemos escrever 100N = 8235 + N/100, de onde obtemos N = 823500/9999.
Passemos a determinar uma frac¸a˜o com denominador e numerador inteiros para b.2). Seja
M = 0, 9 temos que 10M = 9 +M , logo M = 1. Isso pode parece estranho, mas e´ verdade.
Tente obter um nu´mero real entre 0, 9999 · · · e 1. Se fossem diferentes haveria um nu´mero
entre eles.
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Questa˜o 2: (2,0 pontos) Nesta questa˜o voceˆ aprendera´ a completar quadrados.
Sabemos que dados nu´meros reais a e b temos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (para justificar esta
identidade basta lembrar que (a + b)2 = (a + b)(a + b) e efetuar a distributiva). Estamos
interessados no problema inverso: dado um trinoˆmio como obter o quadrado que o originou.
Vejamos um exemplo.
Exemplo: Obter o quadrado que originou o trinoˆmio x2 + 8x + 16. Sabemos que a expressa˜o
procurada e´ do tipo (x+ xo)
2. Logo buscamos xo tal que x
2 + 2xox+ x
2
o = x
2 + 8x+ 16. Enta˜o
precisamos que 2xo = 8 e x
2
o = 16. Para ambas as identidades temos a resposta xo = 4, logo
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2. Tente voceˆ mesmo nos itens a seguir:
a) x2 + 12x + 36 b) 9x2 − 42x + 49 c) x2 + 5x + 6
Voceˆ deve ter percebido que a nossa estrate´gia na˜o funcionou para o trinoˆmio x2 + 5x + 6.
Acontece que este na˜o e´ um trinoˆmio quadrado perfeito, isto e´, na˜o pode ser escrito da forma
(x + xo)
2. Contudo, ainda podemos escrever da forma (x + xo)
2 + yo, o que se mostrara´
bastante u´til nesta disciplina. Vejamos como funciona para obter xo e yo tais que x
2 + 5x+ 6 =
(x + xo)
2 + yo.
Exemplo: Observe que (x + xo)
2 + yo = (x
2 + 2xox) + x
2
o + yo. Lembre-se que buscamos xo e
yo tais que valha a igualdade acima. Enta˜o temos 2xo = 5 e yo = 6 − x2o. De onde obtemos
xo = 5/2 e yo = −1/4. Conferindo o resultado temos(
x +
5
2
)2
− 1
4
=
(
x2 + 2 · 5
2
x +
25
4
)
− 1
4
= x2 + 5x + 6.
Agora fac¸a voceˆ mesmo:
d) x2 + 12x + 32 e) x2 + 6x + 6 f) x2 + 4x + 2
Aplique os conhecimentos adquiridos para encontrar o centro e o raio das circunfereˆncias re-
presentadas pelas equac¸o˜es abaixo:
g) x2 + y2 − 6x− 14y + 33 = 0 i) x2 + y2 − 3x + y + 31
16
= 0
h) x2 + y2 + 4x− 24y + 132 = 0 j) x2 + y2 − 2mx− 2ny + m2 + n2 + p2 = 0
com m2 + n2 − p2 > 0
Soluc¸a˜o:
a) x2 + 12x + 36 = x2 + 2 · 6x + 62 = (x + 6)2.
b) 9x2 − 42x + 49 = (3x)2 − 2(7 · 3x) + 72 = (3x− 7)2.
Correc¸a˜o: Havia um sinal trocado no gabarito original, esta e´ a soluc¸a˜o correta.
c) x2+5x+6 = x2+2·5
2
x+(
√
6)2, mas aqui o me´todo parece na˜o funcionar porque (
√
6)2 6= (5
2
)2.
d) x2 + 12x + 32 = (x2 + 2 · 6x + 62) + 32− 62 = (x + 6)2 − 4.
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e) x2 + 6x + 6 = (x2 + 2 · 3x + 32) + 6− 32 = (x + 3)2 − 3.
f) x2 + 4x + 2 = (x + 2 · 2x + 22) + 2− 22 = (x + 2)2 − 2.
g) 0 = x2+y2−6x−14y+33 = (x2−2·3x+32)−32+(y2−2·7+72)−72+33 = (x−3)2+(y−7)2−25.
O que equivale a (x− 3)2 + (y − 7)2 = 25, logo da expressa˜o para a distaˆncia entre pontos
no plano cartesiano obtemos que o centro e´ C = (3, 7) e o raio e´ r =
√
25 = 5.
h) 0 = x2 + y2 + 4x− 24y + 132 = (x2 + 2 · 2x + 22)− 22 + (y2 − 2 · 12y + 122)− 122 + 132 =
(x + 2)2 + (y − 12)2 − 16. Isto equivale a (x + 2)2 + (y − 12)2 = 42, portanto, o centro e´
C = (−2, 12) e o raio e´ r = 2.
Correc¸a˜o: O raio e´ 4 e na˜o 2. Todo o desenvolvimento esta´ correto.
i)
0 = x2 + y2 − 3x + y + 31
16
=
(
x2 − 2 · 3
2
x +
(
3
2
)2)
−
(
3
2
)2
+
(
y2 + 2 · 1
2
+
(
1
2
)2)
−
(
1
2
)2
+
31
16
=
(
x− 3
2
)2
+
(
y +
1
2
)2
−
(
3
4
)2 .
Enta˜o a equac¸a˜o na forma canoˆnica e´(
x− 3
2
)2
+
(
y +
1
2
)2
=
(
3
4
)2
.
De onde conclu´ımos que C =
(
3
2
,−1
2
)
e r =
3
4
.
Correc¸a˜o: Havia um sinal trocado no gabarito original, esta e´ a soluc¸a˜o correta.
j) 0 = x2 +y2−2mx−2ny+m2 +n2 +p2 = (x2−2mx+m2)−m2 +(y2−2ny+n2)−n2 +p2 =
(x−m)2+(y−n)2+p2−m2−n2. O que equivale a` equac¸a˜o (x−m)2+(y−n)2 = m2+n2−p2.
Se m2 + n2 − p2 > 0, enta˜o a equac¸a˜o representa a circunfereˆncia de centro C = (m,n) e
raio r =
√
m2 + n2 − p2. Se m2 + n2 − p2 = 0, o u´nico ponto que satisfaz a equac¸a˜o e´
o par (m,n), logo na˜o e´ uma circunfereˆncia. Finalmente, a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o se
m2 + n2 − p2 < 0.
Correc¸a˜o: Ha´ um erro no completamento de quadrados desta soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o correta da Questa˜o 2 letra j):
0 = x2 + y2 − 2mx − 2ny + m2 + n2 + p2 = (x2 − 2mx + m2) + (y2 − 2ny + n2) + p2 =
(x − m)2 + (y − n)2 + p2. O que equivale a` equac¸a˜o (x − m)2 + (y − n)2 = −p2. Nesta
u´ltima igualdade o lado esquerdo e´ maior que ou igual a` zero e o lado direito e´ menor que
ou igual a` zero, logo ambos os membros sa˜o iguais a zero, de onde conclu´ımos que p = 0
e que (x, y) = (m,n) e´ a u´nica soluc¸a˜o para a equac¸a˜o. Ou seja, equac¸a˜o na˜o representa
uma circunfereˆncia, mas o ponto (m,n). Alguns autores se referem a um ponto como uma
circunfereˆncia de raio zero.
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Questa˜o 3: (2,0 pontos) Estude o sinal da expressa˜o
x4 − 9
3− |x| .
Soluc¸a˜o:
Fatorando a expressa˜o, obtemos:
x4− 9
3− |x| =︸︷︷︸
1
(x2 − 3)(x2 + 3)
3− |x| =︸︷︷︸
2
(x−√3)(x +√3)(x2 + 3)
3− |x|
Em (1) e (2) foi utilizado o produto nota´vel a2 − b2 = (a− b)(a + b).
Observe que para todo x ∈ R, temos que x2 + 3 > 0.
No numerador os fatores mudam de sinal respectivamente em
√
3,−√3,−3 e 3.
Ordenando esses nu´meros: −3 < −√3 < √3 < 3.
Repare que para x = −3 e x = 3, o denominador se anula, e, por isso, a expressa˜o na˜o esta´
definida.
Logo, temos a seguinte tabela de sinais.
x < −3 −3 < x < −√3 −√3 < x < √3 √3 < x < 3 x > 3
x−√3 − − − + +
x +
√
3 − − + + +
x2 + 3 + + + + +
3− |x| − + + + −
x4 − 9
3− |x| − + − + −
Observando a tabela,
x4 − 9
3− |x| > 0 em (−3;−
√
3) ∪ (√3; 3)
x4 − 9
3− |x| = 0, para x = −
√
3, e x =
√
3
x4 − 9
3− |x| < 0 em (−∞;−3) ∪ (−
√
3;
√
3) ∪ (3; +∞)
x4 − 9
3− |x| na˜o esta´ definida para x = −3 e x = 3.
Questa˜o 4: (2,0 pontos) Dada a equac¸a˜o
√
2− 3|x + 1| = x + 1. Fac¸a o que se pede:
a) (0,5 pt) Determine os valores reais de x para os quais
√
2− 3|x + 1| e´ um nu´mero real.
b) (1,5 pt) Resolva a equac¸a˜o.
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Soluc¸a˜o:
a) Para que a expressa˜o
√
2− 3|x + 1| possa ser calculada e´ preciso que 2− 3|x + 1| ≥ 0.
Mas, 2 − 3|x + 1| ≥ 0 ⇔ 2 ≥ 3|x + 1| ⇔ |x + 1| ≤ 2
3
⇔ −2
3
≤ x + 1 ≤ 2
3
⇔
−2
3
− 1 ≤ x ≤ 2
3
− 1⇔ −5
3
≤ x ≤ −1
3
.
b) Para resolver a equac¸a˜o, ale´m de 2−3|x+ 1| ≥ 0 , x+ 1 ≥ 0, tendo em vista que na equac¸a˜o
acima, o lado esquerdo e´ raiz quadrada. Logo, sabemos que x ∈ [−5
3
;−1
3
]∩ [−1; +∞), ou seja,
x ∈ [−1;−1
3
]
.
Resolvendo a equac¸a˜o:
√
2− 3|x + 1| = x+ 1 ⇒ (
√
2− 3|x + 1|)2 = (x+ 1)2 ⇒ 2− 3|x+ 1| = (x+ 1)2 =
x2 + 2x + 1
Se x + 1 ≥ 0, enta˜o |x + 1| = x + 1.
2 − 3|x + 1| = x2 + 2x + 1 ⇒ 2 − 3(x + 1) = x2 + 2x + 1 ⇒ 2 − 3x − 3 = x2 + 2x + 1 ⇒
x2 + 5x + 2 = 0⇒
x =
−5±√52 − 4× 1× 2
2
=
−5±√25− 8
2
=
−5±√17
2
.
Assim, x1 =
−5 +√17
2
e x2 =
−5−√17
2
.
Precisamos verificar se x1, x2 ∈ [−1,−13 ].
Primeiramente vamos verificar se x1 ∈ [−1,−13 ].
Suponhamos que
−5 +√17
2
> −1
3
−15 + 3√17
2
> −1 ⇒ −15 + 3
√
17 > −2 ⇒
√
17 >
13
3
Mas a u´ltima desigualdade acima na˜o e´ verdadeira, pois
√
17 < 13
3
, sendo assim, a suposic¸a˜o
e´ falsa, ou seja,
−5 +√17
2
≤ −1
3
.
Agora, precisamos verificar se
−5 +√17
2
> −1.
Suponhamos que
−5 +√17
2
< −1
−5 +√17
2
< −1 ⇒
√
17 < 3.
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Mas a u´ltima desigualdade acima na˜o e´ verdadeira, pois
√
17 > 4, sendo assim, a suposic¸a˜o
e´ falsa, ou seja,
−5 +√17
2
≥ −1.
Portanto x1 =
−5 +√17
2
∈ [−1;−1
3
].
Assim, x1 e´ uma poss´ıvel soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Como elevamos a equac¸a˜o ao quadrado, precisamos verificar se, de fato, x1 =
−5 +√17
2
e´
soluc¸a˜o da equac¸a˜o original.
Testanto x1 =
−5 +√17
2
na equac¸a˜o original.
Substituindo o valor x =
−5 +√17
2
no lado esquerdo da equac¸a˜o original temos:√√√√2− 3 ∣∣∣∣∣−5 +
√
17
2
+ 1
∣∣∣∣∣ =
√√√√2− 3 ∣∣∣∣∣−3 +
√
17
2
∣∣∣∣∣ =
√
2 +
9
2
− 3
√
17
2
=
√
13− 3√17
2
.
Substituindo o valor x =
−5 +√17
2
no lado direito da equac¸a˜o temos:
−5 +√17
2
+ 1 =
−3 +√17
2
.
Agora e´ so´ verificar que esses valores sa˜o iguais. Note que ambos sa˜o valores positivos.
√
13− 3√17
2
=
−3 +√17
2
⇔
√13− 3√17
2
2 = (−3 +√17
2
)2
⇔
13− 3√17
2
=
9
4
− 3
√
17
2
+
17
4
⇔ 13− 3
√
17
2
=
13
2
− 3
√
17
2
Como a u´ltima igualdade e´ verdadeira, enta˜o pelas equivaleˆncias a igualdade
√
13− 3√17
2
=
−3 +√17
2
tambe´m e´ verdadeira.
Logo, x =
−5 +√17
2
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
√
2− 3|x + 1| = x + 1.
Vamos verificar agora se x2 =
−5−√17
2
∈
[
−1,−1
3
]
.
Suponhamos que
−5−√17
2
> −1.
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−5−√17 > −2⇒ −√17 > 3
Observe que a u´ltima desigualdade na˜o e´ verdadeira, pois −√17 < 3, assim, a suposic¸a˜o e´
falsa,logo,
−5−√17
2
< −1. Sendo assim, x2 = −5−
√
17
2
6∈
[
−1,−1
3
]
.
Se x+1 < 0, enta˜o |x+1| = −(x+1). Como a equac¸a˜o pode ser resolvida para x ∈ [−1,−1
3
]
,
neste caso, a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o
√
1− 2|x + 3| = x + 3 e´ S =
{
−5 +√17
2
}
.
Questa˜o 5: (2,0 pontos) Fac¸a o que se pede:
a) (1,0 pt) Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto A = (−1, 1) e pelo ponto B,
onde B e´ o ponto sime´trico do ponto C = (2, 2) com relac¸a˜o ao eixo x.
b) (1,0 pt) Determine a equac¸a˜o da reta s que passa por A = (−1, 1) e e´ perpendicular a` reta
y + 3x + 5 = 0.
Soluc¸a˜o:
a) Como o ponto B e´ sime´trico do ponto C = (2, 2) em relac¸a˜o ao eixo x, temos que B = (2,−2).
O coeficeinte angular da reta que passa pelos pontos A = (−1, 1) e B = (2,−2) e´
mr =
−2− 1
2− (−1) = −
3
3
= −1.
Logo, y − 1 = −(x− (−1))⇒ y = −x e´ a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos A e B.
b) Como a reta s e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o y = −3x − 5, temos que o coeficiente
angular da reta s e´: ms = − 1−3 =
1
3
.
Assim a equac¸a˜o da reta s e´ dada por y − 1 = 1
3
(x− (−1))⇒ y = x
3
+
1
3
+ 1 =
x
3
+
4
3
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