Aula_13_-_Geo_012011

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR - GAAL
Aula 13 
Walter Duarte Costa Filho
1º Semestre - 2011
AULA 13
• VETORES EM R3 - VETORES NO ESPAÇO
• Sistema do plano cartesiano ortogonal:
O eixo x - das abscissas
O eixo y - das ordenadas
O eixo z – das cotas
Formam sempre 900 entre os eixos. x ┴ y ┴ z
PROPRIEDADES
Vetores iguais
u = ( x1 , y1, z1 ) e v ( x2 , y2 , z2 ), x1 = x2 e y1 = y2 e z1 = z2
Operações com vetores
u = ( x1 , y1, z1 ) e v = ( x2 , y2 , z2 ), 
define-se: u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) 
α u = ( αx1 , αy1 , αz1 )
Definição de vetor por dois pontos
A = ( x1 , y1, z1 ) e B = ( x2 , y2 , z2 ), são dois pontos quaisquer no 
espaço, então 
AB = B – A ( x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 ).
Já vimos que: se v = B – A B = A + v
•
A = ( x1 , y1, z1 ) e B = ( x2 , y2 , z2 ), são pontos 
extremos de um segmento, o ponto médio M 
de AB é:
M = x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2
2 2 2
Paralelismo
x1 = y1 = z1
x2 y2 z2
Módulo
O vetor v = ( x , y , z ) pelo Teorema de Pitágoras 
temos:
| v | = √ x2 + y 2 + z2
Pontos colineares: pertencentes a mesma reta
Formas de Calcular:
1 – Vetores paralelos (ver condição anterior)
2- Determinante = 0
Ex: 
Exercícios