IEE Aula 09 Probabilidade

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PROBABILIDADE
Disciplina: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ECONÔMICA
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE
Curso: ECONOMIA
Experimento: é o ato
 de observar uma ação
Determinístico: quando sabemos o resultado do experimento antes mesmo de sua realização.
Aleatório: quando o resultado do experimento é incerto, não previsível.
Exemplo: Soltar um objeto de uma altura de 1m e medir o tempo de queda.
Exemplo: Lançar uma moeda e observar a face voltada
para cima
Determinístico
Aleatório
Espaço Amostral: é o conjunto formado pelos possíveis resultados de um experimento aleatório.
Geralmente representado pela letra Ω
No exemplo anterior temos 
 Ω={cara; coroa}
	
Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: joga-se um dado e observa-se a face voltada para cima
Espaço amostral Ω={1,2,3,4,5,6}
Considere o evento A: “a face do dado é par”
A={2,4,6}
Considere o evento B: “a face do dado é maior que 3”
B={4,5,6}
Exemplo: Lançamento de dois dados
Ω=
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Exemplo: Lançamento de dois dados
Ω=
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Exemplo: Lançamento de dois dados
Ω=
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Considere o evento A: soma dos dados é seis 
Ω=
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Considere o evento A: soma dos dados é seis 
Ω=
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A={(5,1);(4,2);(3,3);(2,4);(1,5)} 
Considere o evento B: soma dos dados é menor que seis 
Ω=
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Considere o evento B: soma dos dados é menor que seis 
Ω=
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Considere o evento C: o segundo dado é dois 
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Considere o evento C: o segundo dado é dois 
Ω=
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Probabilidade: Seja Ω o espaço amostral de um experimento aleatório, então, probabilidade é uma função real tal que para qual quer subconjunto A de Ω, as propriedades seguintes são satisfeitas:
1) 0≤P(A)≤1, para todo A є Ω.
2) P(Ω)=1.
3) Se A1, A2, ..., são eventos, tais que, Ai ∩ Aj={ }, para todo i≠j, então,
O exemplo mais clássico de uma função de probabilidade é a frequência relativa, ou seja,
Obs: Usamos esta função de probabilidade quando cada elemento do espaço amostral tem a mesma probabilidade de acontecer.
Observe que de fato a frequência relativa é uma medida de probabilidade, pois,
1) 
2) O evento Ω é o evento sempre acontece, então,
3) Se A ∩ B={ }, então,
Exemplo: No lançamento de dois dados qual a probabilidade da soma dos dados ser menor que seis?
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Teoremas:
Teorema 1: P({ }) = 0
Dem. P(A)=P(A U { })=P(A)+P({ })→ P({})=0
Teorema 2: P(A) + P(Ac) = 1
Dem. Ω = A U Ac logo pela proposição 3 temos que P(Ω)=P(A)+P(Ac), ou seja, 1 = P(A) + P(Ac) 
Teorema 3: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Dem. A U B = A U (B ∩ Ac) e B = (A ∩ B) U ( Ac ∩ B), portanto,
P(A U B) = P(A) + P(B ∩ Ac)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Teorema 4: 
 P(A U B U C) = P(A) + P(B) +P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C)
- P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Dem. P(A U B U C) = P(A U B) + P(C) - P((A U B) ∩ C) =
=P(A) + P(A) - P(A ∩ B) + P(C) - P( (A ∩ C) U (B ∩ C) )=
P(A) + P(A) - P(A ∩ B) + P(C) – {P(A ∩ C) +P(B ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)}
Teorema 5: Se A está contido em B, então, P(B) ≥ P(A)
Dem. P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac) = P(A) + P(B ∩ Ac) ≥ P(A)
Exemplo: Considere o experimento de jogar dois dados e observar as faces voltadas para cima.
a) Enumere o espaço amostral
b) Enumere os eventos: A - a soma dos dois dados é seis; B - a soma dos dois dados é oito; C - os dois dados têm faces iguais.
c) Calcule as probabilidades: P(A); P(B);P(C); 
d) Calcule as probabilidades dos eventos: a soma dos dois dados é seis ou oito; a soma dos dois dados é seis ou eles têm faces iguais; a soma dos dois dados é seis ou oito ou eles têm faces iguais.
Revisão do segundo grau!
(A U B)c=Ac ∩ Bc
b) (A ∩ B)c=Ac U Bc 
c) Se A B, então A ∩ B = A
d) Se A B, então A U B = B
e) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
f) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C)
Operações com Eventos
Complementar 
Operações com Eventos
União 
Ω
C
A
Ω
Operações com Eventos
União 
Ω
C
A
Ω
A={(5,1);(4,2);(3,3);(2,4);(1,5)} 
C={(1,2);(2,2);(3,2);(4,2);(5,2);(6,2)} 
 {(5,1);(4,2);(3,3);(2,4);(1,5); (1,2);
 (2,2);(3,2);(5,2);(6,2) } 
=
Operações com Eventos
União 
Ω
C
A
Ω
Operações com Eventos
União 
Ω
C
A
Ω
A={(5,1);(4,2);(3,3);(2,4);(1,5)} 
 {(4,2)} 
=
C={(1,2);(2,2);(3,2);(4,2);(5,2);(6,2)}