G2_FIS1041_2013-1-gabarito

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PUC-RIO –– CB-CTC 
FIS 1041 - FLUIDOS E TERMODINÂMICA 
G2 – 15/05/2013 
 
Nome:__________________________________________________________ 
 
Matrícula:_______________________________________Turma:___________ 
 
 
Questão Valor Grau Revisão 
1
a
 3,5 
2
a
 3,5 
3
a
 3,0 
Total 10,0 
 
Ondas em geral : 
0
1
2
2
22
2






t
y
vx
y
, u = y/t 
 y(x,t) = ymax cos(kx±t+) = ymax sen(kx±t+’) 
Ondas na corda: Pot.média = ½ v 
2 ymax
2 


v
 
Ondas sonoras: 
x
txs
txp



),(
),( B
, 

B
v 
 ; Velocidade do som no ar = 340 m/s 
I = Pot.média / Área; 
v
v
ρ
ρ
22
1
2
22 m
m
p
sI

 
;  = 10 dB log (I / I o) ; I o = 10
12 W/m2 
fonte
obs
vv
vv


 0ff
 batimentos b= |ou fb = |f1-f2| 
Relações trigonométricas: 
sen(A) + sen(B) = 2 sen[½(A+B)] cos[½(A-B)]; sen(A) – sen(B) = 2 sen[½(A-B)] cos[½(A+B)] 
cos(A) + cos(B) = 2 cos[½(A+B)] cos[½(A-B)]; cos(A) – cos(B) =  2 sen[½(A+B)] sen[½(A-B)] 
Dados: área do círculo = π r2; área da superfície esférica = 4 π r2; volume da esfera = 4/3 π r3 
O tempo de prova é de 1 h 50 min. Mantenha o celular desligado e seu documento de 
identidade sobre a carteira: ele poderá ser solicitado. É permitido usar calculadora não 
programável. As respostas sem justificativas não serão computadas. 
 
 
PUC-RIO –– CB-CTC 
G2 - FIS 1041 - FLUIDOS E TERMODINÂMICA 
15/05/2013 
 
Nome:________________________________________________________________ 
 
Matrícula:_____________________________________________Turma:___________ 
 
1ª Questão – (3,5 pontos) 
Duas ondas senoidais com a mesma amplitude e 
o mesmo comprimento de onda se propagam 
simultaneamente em sentidos opostos em uma 
corda esticada ao longo de um eixo x. A onda 
resultante é mostrada duas vezes na figura ao 
lado: uma em t = 0 com o antinó A na posição de 
máximo deslocamento para cima (linha contínua) 
e outra 5,0 ms depois, com o antinó A na posição 
de máximo deslocamento para baixo (linha 
tracejada). A distância entre as marcas do eixo x é 
8,0 cm; H = 1,6 cm. 
A equação de uma das duas ondas é da forma y1(x,t) = ym sen (kx+ωt). 
a) (0,9) Calcule ω, k e a velocidade das duas ondas, cuja superposição produz a onda 
resultante. 
T/2 = 5,0 ms → T = 10 ms. ω = 2 π/T = 200π rad/s, 
λ = 32 cm = 0,32 m → k = 2π/λ = 6,25 π rad/m 
v = ω/k = λ/T = 32 m/s v = 32 m/s. 
 
b) (0,7) Obtenha a função que descreve a onda estacionária. 
Onda estacionária yr(x,t) = ym sen (kx+ωt) + ym sen (kx-ωt) = 2ym sin(kx) cos(ωt) 
Do gráfico temos: em t = 0, yr(x,0) = 0,008 sen(kx) ; em t = T/2, yr(x,T/2) =  0,008 sen(kx) 
(Em t = 0, cos(ωt) = 1 e em t = T/2, cos(ωt) = 1 , confere) 
Então yr(x,t) = 0,008 m sen(6,25πx) cos(200πt) [para x em m e t em s] 
 
c) (0,7) Obtenha ym e escreva a expressão para a onda y2(x,t) que somada a y1(x,t) produz a 
onda estacionária. 
ym = 0,008/2 = 0,004 m, y2(x,t) = 0,004 m sen(6,25πx - 200πt) [para x em m e t em s] 
 
d) (0,7) Obtenha a expressão para a velocidade transversal de um elemento da corda, 
u(x,t), em função de x e t. Calcule essa velocidade transversal na posição x = 4,0 cm, 
quando t = 10 ms. 
u(x,t) = 
ty/
= 1,6π m/s sen(6,25πx) sen(200πt) [para x em m e t em s] 
u(0,04 m, 10 ms) = 1,6 π m/s sen(π/4) sen(2π) = 0 
 
e) (0,5) Em que instantes todos os elementos da corda possuem deslocamento nulo? (Dê 
os dois primeiros). 
0 = 0,008 m sen(kx)*cos(ωt) cos(ωt) = 0, ωt = (2n + 1) π/2 onde n = 0,1,2,3... 
t1 = 2,5 ms , t2 = 7,5 ms 
 
 
2ª Questão – (3,5 pontos) 
(A) Uma onda sonora é emitida ao longo de um tubo 
semiaberto de comprimento L = 5,00 m. Há ressonância 
sonora no tubo para a frequência f = 85,0 Hz. 
a) (0,7) Calcule o comprimento de onda da onda sonora inicial e determine o modo de 
vibração (n) da onda estacionária formada no tubo. 
Resp: 
m4,00340/85mv/f  
Modos de vibração p/ tubo com uma extremidade fechada (nó de s(x,t) e outra aberta (antinó 
de s(x,t). 
λ/4nL 
, para n ímpar → 
4/4n5 
 → 
5n 
 (terceiro modo ímpar) 
ou 
λ/41)(2nL 
 para n=1, 2, 3 ... → 
4/41)(2n5 
 
3n 
 (terceiro modo) 
b) (0,7) Desenhe o tubo e faça uma representação transversal (tipo corda) dos nós e antinós 
da pressão para essa frequência. JUSTIFIQUE seu desenho. 
A extremidade fechada do tubo é um nó para o 
deslocamento do ar e portanto um antinó para a 
pressão. O contrário ocorre na extremidade aberta. O 
modo acima contém 5 /4 =  + /4 conforme mostra a 
figura. 
 
(B) Uma fonte sonora imersa em ar emite som de forma isotrópica. A densidade do ar é ρ = 
1,20 kg/m3. Um sensor mede a intensidade da onda I = 50,0x105 W/m2 em um ponto distante d 
= 10,0 m da fonte. 
c) (0,7) Obtenha a potência (Pot) da fonte. 
  
   
 . 
d) (0,7) Calcule a máxima variação da pressão (Δpm) da onda sonora nesse ponto. 
 ( )
 ( )  ( )
 
 
 . 
 
e) (0,7) Calcule o nível sonoro dessa onda em um ponto distante 20,0 m da fonte. 
 ( )   
 ( ) 
 
  ( ) 
 . 
 
 
 
L tubo emissor 
emissor L tubo 
 
3ª Questão – (3,0 pontos) 
(A) Na figura abaixo, dois alto-falantes separados por uma distância d1 = 4,0 m emitem ondas 
sonoras em fase. Suponha que as amplitudes das ondas emitidas sejam aproximadamente 
iguais para o ouvinte na posição indicada, a uma distância d2 = 6,0 m (os dois alto-falantes e o 
ouvinte estão nos vértices de um triângulo retângulo). Considere a faixa de audição de 20 Hz a 
20 kHz. 
 
a) (0,8) Qual é a menor frequência 
para a qual a intensidade do som é mínima 
na posição do ouvinte (interferência 
destrutiva)? 
Intensidade mínima diferença de caminho = 
nímpar /2 (ou diferença de fase = nímpar π/2)
..2.1,0,nλ/21)(2n2d
2
2d
2
1d 
 
0,n f, menor
2f
v
1)(2n2d
2
2
d
2
1
d 
 
Hz 140
1,212
v
f 


 
b) (0,7) Qual deve ser o valor de d1 para que a menor frequência com interferência 
construtiva na posição do ouvinte seja 500 Hz? 
Interferência construtiva: 
.2..1,0,nλn2d
2
2d
2
1d 
 
1n f, menor
f
v
n2d
2
2
d
2
1
d 
 
2.93m
1
d
2
6
500
3402
6
2
1
d  






 
(B) A figura abaixo mostra o registro, na saída de um microfone, de sons vindos de duas fontes 
com frequências um pouco diferentes. (1 ms = 103 s) 0 50 100 150 200 250
-2
-1
0
1
2
 
 
p 
t (ms)
 
c) (0,7) Obtenha a média das frequências das fontes. 
s=s1+s2= sm cos (ω1 t) + sm cos (ω2 t) = 2sm 







 








 
2
cos
2
 cos 2121
 . 
A média das frequências é a maior frequência mostrada no gráfico (período menor) 
Tmenor = 10 ms fmédia=1/Tmenor = 1/10ms = 100 Hz 
d) (0,8) Obtenha a frequência de batimento. 
A frequência de batimento é a frequência de variação da intensidade sonora (máxima 
intensidade em 0, 100 ms, 200 ms ....) 
Tbatimento = 100 ms fbatimento=1/100ms = 10 Hz 
 d1 
 d2