Lista de Exercícios 1

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries 2010 
 
1a Lista de Exercícios 
 
1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries: 
a) ∑
++1 )21)(n(n
1
 ( Escreva 
2n
1
1n
1
a n
+
−
+
= ) 
b) ∑
1
n ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = 2
n)n(1+
 é a soma dos n primeiros termos de uma P.A); 
c) ∑ 





+1 1n
nln ( Escreva an = ln n − ln ( n+1 ) ) 
d) )
3
1n
3
n(
1 n1-n
∑
+
− e) ∑ 





−
+1 n
1
1n
1
 
 
2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma 
fração: 
a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159... 
 
3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, 
verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total 
percorrida pela bola até parar. 
 
4) 
A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. 
Ache o volume total da escada sabendo que o 
maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem 
sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade 
do lado do cubo precedente. 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de 
uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: 
O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos 
outros quadrados é obtido ligando-se os pontos 
médios dos lados do quadrado anterior. Calcule: 
 
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da 
seqüência. 
 
b) a soma das áreas de todos os quadrados da 
seqüência. 
 
 
 
 2 
6) Encontre o valor de b para o qual 9...eee1 b3b2b =++++ 
 
7) Encontre os valores de x para os quais a série ∑ −
0
n
n
2
)1x(
 converge e a soma da série para esses 
valores. 
 
 
8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas: 
a) ∑ −
1 n
n
3
1)(
; b) ∑
2 n3
4
; c) ∑














−
−1
n
1n
n
3
14
9
5
; d) ∑ +
2 n
2n2n
36
32
 
e) )
5
1
2
)1((
0
n
n
n






+∑
−
 f) ...
625
1
125
1
25
1
5
1
3
1
2
11 +++++++ 
 
 
9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o 
erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn. 
a) ∑ −
∞ +
1 3
1n
n
1)(
; s4: b) ∑ −
∞ −
1
1n
(2n)!
1)(
 ; s3 
 
10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão 
indicada 
a) ∑ −
−
1 2
1n
n
)1(
 ( erro < 0,01); b) ∑ −
+
1 4
1n
n
)1(
 ( erro < 0,001 ) 
 
11) Mostre que a série alternada ∑
−
−
1
n
1n
!n.10
)1(
 converge por Leibniz e calcule a soma da série com 
precisão de 3 casas decimais. 
 
 
12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries 
quanto à convergência 
a) ∑ 





n
5
3
 
b) ∑ −n22 
c) ∑
+1n
n
2
2
 d) ∑
+
−
1n
n)1( n
 
e) ∑ 3n
1
 f) ∑ 3 2n
1
 g) ∑ 3 4n
1
 h) ∑ !n
1
 
i) ∑ )!n2(
1
 j) ∑ 




 +
1
n
n
13n
 
k) ∑ −
n
n
)n(ln
)1(
 l) 
!n
n)1(
n
n∑ − 
m) ∑ 





+
+
−4n
1n
n
 
n) ( )∑ −− + n3 3n 
o) ∑ 






+−
n2
n
1
3
2
n p) ∑ −
n
5n
5
n)1(
 
 
 
 3 
13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real. 
a) ∑
0
n
n!
x
 
; b) ∑ −
0
2nn
(2n)!
x1)(
; c) ∑
+
−
+
0
12nn
1)!(2n
x1)(
 
 
Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx 
 
 
14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries 
 
∑
+
+
1n
x
 a)
1n
 b) n
n
)1x(
n
13 +





−∑ ∑
−
n
n
2
)3x(
 c) d)∑ )!n2(
x n
 e)∑ −
n
n
3n
)2x(
 
 
 
15) A partir da série geométrica x 1
1 x
; se xn
0
∑ =
−
< 1; dê a representação em série das 
seguintes funções, indicando a região de convergência. 
a) 
x1
xf(x)
+
= b) 2
x1
1f(x) 
+
= c) 2
x4
1f(x) 
−
= d) 3
2
x8
xf(x) 
+
= 
 
16) A partir da série 1x ,
x1
1
x
0
n <
−
=∑ , e usando derivação ou integração, mostre que 
a) [ 1,1] x;nx1)(
x)(1
1f(x)
1
1n1n
2 −∈−=+
= ∑ −+ 
b) ] 1 1,] x;
1n
x1)(
x)ln(1f(x)
0
1nn
−∈∑
+
−
=+=
+
 
c) ] 1 1,[ x;
12n
x1)(
arctgxf(x)
0
12nn
−∈∑
+
−
==
+
 
 
17) A partir das séries R x ;e
n!
x x
0
n
∈∀=∑ , cosx = ∑
−
0
2nn
(2n)!
x1)(
 ∀∈ R e 
senx = ∑
+
−
+
0
12nn
1)!(2n
x1)(
 ∀∈ R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a 
região de convergência. 
a) 2xef(x) −= b) /22xxef(x) −= c) f(x) = xsen2x d) f(x) = x
2 cosx 
 
 
18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren n
0
)n(
x
!n
)0(f)x(f ∑= para as 
seguintes funções: 
a) x1)x(f += ; b) 3)1x(
1)x(f
+
= 
 4 
19) Usando a série de MacLauren encontre 
 
a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função 
2x1
1)x(f
−
= 
b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função 5 x1)x(f += 
 
 
 
20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função 
2xef(x) −= . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral ∫ −
1
0
2x dxe e 
calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que 
portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro. 
 
 
21) “Se ε é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se 
k10x5,0ε −< .” .Usando este resultado, calcule: 
 
a) ∫ −
1
0
2x2 dxex , com precisão de três casas decimais. 
b) ∫
1
0 2
2
dx
x
xsen
, com precisão de cinco casas decimais. 
 
c) ∫
2,0
0
2 dx)xcos( , com precisão de quatro casas decimais. 
 
 
22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais 
 
23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler xsenixcoseix += 
 
 
Respostas: 
1) a) Converge a 
2
1
 ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a −1 
2) a) 
9
4
; b) 
495
2543
; c) 
999
159
 3) 45m; 4) 
7
8
; 5) a) 
22
16
−
m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9) 
 
7) A série converge para [3,1]x −∈ e sua soma é 
x3
2S
−
= 
8 a) 
4
1
− ; b) 
3
2
; c) 
4
37
; d) 
72
7
; e) 
12
23
; f) 
12
25
 
 5 
9) a) 896,0
1728
1549
s4 ≅= . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008 
b) 459,0
720
331
s3 ≅= . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248 
 
10) a) 9; b) 5 ; 11) 
6.10
1
2.10
1
10
1S 32 +−= 
 
12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem. 
 
14) a) Dc = ]1, −1[; r = 1; b) Dc = ]−4/3, −2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = ∞ 
 
e) Dc= ]−1, 5[, r = 3 
 
15) a) 1,1[] x;x1)(
0
1nn
−∈−∑ + ; b) 1,1[] x;x1)(0
2nn
−∈−∑ ; c) ∑ −∈+
0
22n
2n
2,2[] x;
2
x
 
d) ∑ −∈− +
+
0
33n
23nn
2,2[] x;
2
x)1(
 
17) a) Rx ;
n!
x1)(
0
2nn
∈∀−∑ ; b) Rx ;
n!2
x1)(
0
n
12nn
∈∀−∑
+
; c) Rx;
1)!(2n
x21)(
0
22n12nn
∈∀
+
−
∑
++
; 
d) Rx;(2n)!
x1)(
0
22nn
∈∀−∑
+
 
 
18) a) ...
16
x
8
x
2
x1x1
32
++−+=+ ; b) 323 x10x6x31)x1(
1
−+−=
+
 
 
19) a) 
2
x1
x1
1 2
2
+=
−
; b) 325 x
750
36
x
50
4
5
x1x1 +−+=+ 
 
20) ∑∫ +
−
=
−
0
n1
0
2x
1)n!(2n
1)(dxe ; 
!5.11
1
9.4!
1
7.3!
1
5.2!
1
3
11s5 −+−+−= . O erro é menor que 
13.6!
1
a 6 = 
 
21) a) 
1560
1
264
1
54
1
14
1
5
1
3
1
s5 ++−+−= ; b) !7.13
1
!5.9
1
!3.5
11s3 −+−= ; c) 5
1
s0 = 
22) 
200
1
10
1
s1 −= = 0,095