Equações Lineares de 2a Ordem

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
Curso: Engenharias 
Professora: Ilka R. Freire 
 
 
Texto 03: Equações Lineares de 2a Ordem1 
 
1. Soluções de EDO´s de 2ª Ordem 
 
Relembrando, uma EDO de ordem n é uma expressão do tipo F ( x, y, y', y'', y´´´, …, y(n) ) = 0 , que 
contém a variável x, uma função y(x) e suas derivadas y´, y´´, …, y(n) 
Uma solução desta EDO é uma função y = f(x) que, quando substituída na expressão, a verifica. Mais 
precisamente, F(x, f(x), f '(x), f´´(x),…, f(n) (x)) = 0 . 
Lembramos também que nem sempre conseguimos uma expressão explícita y = f(x) para a solução; 
Frequentemente obtemos soluções dadas na forma implícita f(x,y) = C. 
No caso de uma EDO de 2ª ordem, temos F ( x, y, y', y'' ) = 0, que exprime uma relação entre uma variável 
independente x , uma função desconhecida y (y = f(x) ), e as derivadas de 1
a
 e 2
a
 ordem dessa função. 
 
Exemplo 1: y ´´ = 0 é uma EDO de 2ª ordem cuja solução geral é fácilmente encontrada por dupla 
integração. 
y´´ = 0 (y )´ ´= 0 y ´= A y = Adx y = Ax + B   
 
Logo, a solução geral depende de DUAS constantes A e B. 
 
 A EDO acima quer saber quais as curvas y(x) que possuem curvatura zero em todos os pontos, ou ainda, 
quais a curvas que não têm concavidade, nem voltada para cima nem para baixo. A resposta só poderia ser: 
retas y = Ax +B 
 
Exemplo 2: y ´´ = K é outra EDO de 2ª ordem que pergunta pelas curvas que têm curvatura 
(concavidade) constante. Mais uma vez a solução é simples, obtida com duas integrações: 
2
2x Ky´´ = K ´ Kdx y ´= Kx + B y = (Kx + B)dx y = K + Bx+C y = x + Bx + C 
2 2
      y
Note que a constante K foi dada, é conhecida. Logo, a solução geral depende de DUAS constantes B e C. 
 
Por exemplo, a EDO y´´ = 2 tem como solução geral a familia de parábolas y = x
2
 + Bx + C 
 
1
 Texto elaborado pela Profa. Ilka R. Freire, e adaptado por Adelmo R. de Jesus 
 2 
2
2xy´´ = 2 ´ 2dx y ´= 2x + B y = (2x + B)dx y = 2 + Bx+C y = x + Bx + C 
2
      y
 
 
2. Problemas de Valor Inicial em EDO´s de 2ª Ordem 
 
 
Uma equação de 2
a
 ordem associa a cada ponto (x,y) do plano, não somente uma direção y', como no caso 
de 1
a
 ordem, como também uma curvatura, dada pela 2ª derivada y''. 
 
A solução da equação de 2
a
 ordem vem depender assim de DUAS condições iniciais: 
y(xo) = yo e y'(xo) = y'o. 
 
Dado um ponto (xo,yo) e uma direção y'o associada ao ponto, a equação F ( x, y, y', y'' ) = 0 nos dá o valor 
associado a y'' e consequentemente uma curvatura associada ao ponto e à direção dada. 
 
O Teorema da Existência e Unicidade pode ser enunciado também para equações de 2
a
 ordem e sua 
interpretação geométrica é que, sob determinadas condições, por um ponto do plano (xo,yo) passa uma 
única curva de inclinação dada y'o , que é solução da equação. Encontrar uma solução particular de uma 
equação de 2
a
 ordem é resolver o sistema 





oo
oo
y' = )x('y
y = ) y(x
0 = )'y' ,y' y, (x, F
 
 
Teorema (Existência e Unicidade): Seja a equação diferencial de 2ª ordem ao(x)y´´+ a1(x)y´ + a2(x)y = f(x), 
onde ao(x), a1(x), a2(x) são contínuas em um intervalo I e ao(x)0. Se xo é um ponto do intervalo I e yo, 
yo´ são números quaisquer então EXISTE uma ÚNICA solução y = (x) dessa equação diferencial tal que 
(xo) = yo e ´(xo)=yo´ 
Exemplo 3: Considere o problema de valor inicial 
 y'' = 2
y(0) = 1
y '(0) = 3





 : Neste caso, xo= 0 e yo =1 e yo´= 3 
O problema pede uma curva que passe no ponto (0,1) com declividade igual a 3. Neste caso o problema é 
resolvido assim: 
a) Toma-se a solução geral y = x
2
 + Bx + C da equação y´´= 2 
b) Impõe-se as condições iniciais y(0) = 4 e y´(0) = 3 para achar as 
constantes B e C. 
y(0) = 1  C = 1 
 
Como y´ = 2x + B , temos y´(0) = B = 3. Logo, y = x
2
 +3x + 1 é a 
        









x
y
 3 
solução geral desta EDO. 
 O gráfico ao lado mostra a (ÚNICA) função y = x2 +3x + 1 que passa no ponto (0,1) com declividade 3. 
 
 
 
Exemplo 4: Determine a curva y = (x) que passa no ponto (0,4) com declividade igual a 1 e que 
satisfaz a EDO y´´ – 4y = 12x . 
Resolver o problema acima é achar a solução do PVI 








1)0(y
4)0(y
x12y4y
 
Neste caso os coeficientes ao(x) =1  0, a1(x) = 0, a2(x) = – 4 são constantes, logo contínuas em toda reta. 
Pelo Teorema de Existência e Unicidade, temos uma única solução deste PVI. 
 
Como veremos mais adiante, a função y = (x) = c1e
2x 
+ c2e
–2x – 3x é solução da EDO y´´ – 4y = 12x . 
 
Por enquanto verificaremos diretamente: Calculando as derivadas temos: y´ = 2c1e
2x – 2c2e
-2x – 3 e 
também y´´ = 4c1e
2x 
+ 4c2 e
-2x 
 . 
Logo, 
y´´ - 4y = 4c1e
2x 
+ 4c2 e
-2x 
 - 4(c1e
2x 
+ c2e
-2x 
- 3x ) = 4c1e
2x 
+ 4c2 e
-2x
 - 4c1e
2x 
-4c2e
-2x 
+12x = 12 x c.q.d. 
 
Precisamos agora determinar as constantes c1 e c2. 
 
y(0) = 4  c1e
0 
+ c2e
0 – 3.0 = 4  c1 + c2 = 4  
 
y´(0) = 1  2c1e
0 
- 2c2e
0 – 3 = 1  2c1 - 2c2 = 4  c1 – c2 = 2  
 
Resolvendo o sistema temos c1 = 3 e c2 = 1 . Logo, (x) = 3e
2x 
+ e
-2x – 3x é a única solução do PVI 
 
 
Exemplo 5: A função (x) = ¼ sen(4x) é a única solução do PVI 
 y'' +16 y = 0
y(0) = 0
y '(0) = 1





 
 
Neste caso os coeficientes ao(x) =1  0, a1(x)=0, a2(x)= 16 são também constantes. Pelo Teorema de 
Existência e Unicidade, este PVI tem uma única solução. 
Basta então mostrar que y = ¼ sen(4x) satisfaz às condições do problema 
 
y = ¼ sen(4x)  y´= ¼ cos(4x).4 = cos(4x)  y´´ = -sen(4x).4 = -4sen(4x) 
 
 4 
 
Logo, ´´ + 16 = -4sen(4x) + 16 (¼ sen(4x)) = -4sen(4x) + 4 sen(4x) = 0 
 
 
Também, (0) = ¼ sen(4.0) = 0 e ´ (0) = cos(4.0) = 1 
 
Concluímos então que, de fato, a função 
(x) = ¼ sen(4x) é a única solução do PVI 
 y'' +16 y = 0
y(0) = 0
y '(0) = 1





, ou seja, é a única curva solução da 
EDO que passa no ponto (0,0) com declividade igual a 1. 
 
Exemplo 6: Determine a solução do PVI 








2/2)4/(y
2)4/(y
0yy
 
Já vimos anteriormente que da função (x) = c1cos(x) + c2sen(x) é solução da EDO y´´ + y = 0 
 
Resta então determinar as constantes c1, c2 
 
2
1 2 1 2 1 24 4 4 2
( ) c cos( ) c sen( ) = 2 (c + c ) 2 c + c 2        
 . Também, 
 
 
2 2 2
1 2 1 2 1 24 4 4 2 2 2
(´ ) c sen( ) c cos( ) = ( c + c ) -c + c 1          
 
 
 
Resolvendo o sistema temos 
1 2
1 3
c = e c
2 2

 . Logo, 
31
2 2
(x) cos(x) sen(x)  
 é a solução do PVI. 
 
 
 A figura mostra a curva solução da EDO, que passa 
no ponto 
2
4 2
( , 2 ) com declividade 0,707 
 
 
 
 
   













x
y
y = 1/4sin(4x)
y = x
         







x
y
y = (1/2)cos(x)+(3/2)sin(x)
 2
 5 
3. Equações Lineares de 2ª Ordem 
 
Relembremos a definição geral de EDO´s lineares, vista anteriormente: 
 
Definição: Uma equação diferencial de ordem n é dita linear se é de primeiro grau em relação à incógnita 
y e às suas derivadas y', y'',y''',....,y(n-1), y(n), podendo ser escrita na forma: 
n n-1
o 1 n-1 nn n-1
d y d y dy
a (x) + a (x) +...+ a (x) + a (x) y = f(x)
dxdx dx
 ( I ) onde os 
x)(a i's
 e f(x) são funções 
contínuas no domínio de definição de ( I ) e ao(x)  0 . 
 
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: 
i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, a potência de cada termo 
envolvendo y e suas derivadas é 1 
ii) Cada coeficiente ai é função somente da variável x 
 Os 
x)(a i's
 são chamados de coeficientes da EDO 
 Se f( x )  0 (função nula) dizemos que a equação ( I ) é homogênea. 
 
Exemplos: 
 
1) x3 y''' – x y'' + 3 y' + 4 = x5 + 1 – linear de 3ª ordem 
2) y(4) + y''' + xy = senx – linear de 4ª ordem 
3) y'' – y' + y = 0 – linear homogênea de 2ª ordem, coeficientes constantes 
4) (y''')2 – 2y'' – 3y' + y = x – não linear 
5) senx y''' – x y'' + 3xy y' + y = 0 – não linear 
 
 As equações diferenciais ordinárias podem ser divididas em duas classes: a das equações lineares e a das 
não-lineares. As equações não-lineares de ordem superior são na maioria das vezes bastante difíceis, 
enquanto que as equações lineares são muito mais simples porque suas soluções podem ser caracterizadas 
de uma maneira geral, existindo métodos padronizados para resolver muitas dessas equações. 
 
As equações lineares representam papel importante na Matemática aplicada à Engenharia devido a suas 
aplicações, como por exemplo, nas vibrações mecânicas, nos circuitos e redes elétricas. 
 
Vamos estabelecer nossos resultados enunciando-os para o caso particular de uma equação linear de 2
a
 
ordem pois, além de serem as mais importantes do ponto de vista prático, são mais fáceis de se manipular 
nas deduções dos resultados. 
 
 
 6 
Como vimos anteriormente, a EDO Linear de 1ª Ordem pode ser escrita como y´ + P(x)y = Q(x) , 
dividindo-se toda a equação pelo coeficiente ao(x) . Analogamente, em uma EDO linear de 2ª ordem 
podemos fazer o mesmo, ficando com o aspecto abaixo: 
 
Forma Padrão de uma EDO Linear de 2ª Ordem: y´´+ a1(x)y´ + a2(x)y = f(x) (I) 
 
Equação Homogênea Associada: y´´+ a1(x)y´ + a2(x)y = 0 (II) 
 
Como vimos nos exemplos anteriores, a solução de uma EDO de 2ª ordem é determinada por DUAS 
condições iniciais. Sendo assim, a solução geral desta EDO contém DUAS constantes c1 e c2, que podem 
ser determinadas em um PVI. 
 
3.1 A Solução Geral da EDO linear de 2ª Ordem 
 
O resultado a seguir nos dará as diretrizes que devemos tomar para encontrar a solução de uma equação 
diferencial linear de 2ª ordem. 
 
 
Teorema 1 (Princípio da Superposição): Se y 1 e y2 são soluções das equações 
y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f1(x) ( I ) e y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f2(x) ( II ) respectivamente, então 
y = y1+ y2 é solução da equação y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f1(x) + f2(x) ( III ). 
D] 
Se y1 é solução de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f1(x) então y1´´ + a1(x) y1´ + a2(x) y1 = f1(x) (1) 
Se y2 é solução de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f2(x) então y2´´ + a1(x) y2´ + a2(x) y2 = f2(x) (2) 
Vamos mostrar que y1 + y2 é solução de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f1(x) + f2(x) , ou seja, 
 (y1 + y2 ) ´´ + a1(x) (y1 + y2 )´ + a2(x)(y1 + y2 ) = f1(x) + f2(x) 
De fato: Usando a linearidade das derivadas e (1) e (2) obtemos 
(y1 + y2 ) ´´ + a1(x) (y1 + y2 )´ + a2(x)(y1 + y2 ) = y1´´ + a1(x) y1´ + a2(x) y1 + y2´´ + a1(x) y2´ + a2(x) y2 = 
f1(x) + f2(x) 
 
 
Teorema 2: 
Seja yp uma solução particular da EDO linear de 2ª ordem y´´+ a1(x)y´+ a2(x)y = f (x) e yh a 
solução geral da equação homogênea associada y´´+ a1(x) y´ + a2(x) y = 0 
Então a solução geral de (I) é a soma y = yh + yp 
 
 7 
D] Vamos mostrar que a solução geral de ( I ) é y = yh + yp. 
 
Se yp é a solução particular de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f (x) e temos (yp)´´ + a1(x) (yp)´ + a2(x) yp = f (x) 
 
yh é a solução de y´´+ a1(x) y´+a2(x) y = 0, logo, (yh)´´+ a1(x) (yh)´+a2(x) (yh) = 0 
 
Daí, 
(yp + yh )´´ + a1(x) (yp + yh )+ a2(x) (yp + yh) = [(yp)´´+ a1(x) (yp)´ + a2(x) yp] +[(yh)´´+ a1(x) (yh)´+a2(x) 
(yh)] 
 
= f(x) + 0 = f(x), ou seja, y = yp + yh é solução de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = f (x) 
 
 
 
4. As Equações Lineares Homogêneas de 2ª Ordem 
 
Nosso objetivo agora é desenvolver a teoria que nos permite encontrar yh e yp. 
 
Comecemos pela solução geral da equação homogênea y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = 0 
 
 
Teorema 3: Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial de 2ª ordem y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = 0 
então qualquer combinação linear y = 1 y1+ 2 y2 é também solução de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = 0 . 
 
Demonstração: Se y1 e y2 são soluções de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = 0 então, temos que 
 
y1´´ + a1(x) y1´ + a2(x) y1 = 0 e y2´´ + a1(x) y2´ + a2(x) y2 = 0 
 
 Usando a linearidade da derivada, temos: 
 
( 1y1 + 2y2 )´´ + a1(x) (1y1 + 2y2 )´ + a2(x)( 1y1 + 2y2 ) = 1(y1´´ + a1(x) y1´ + a2(x) y1) + 
 
2 ( y2´´ + a1(x) y2´ + a2(x) y2) = 10 + 20 = 0 
 
Colocamos então a seguinte pergunta: 
 
Conhecendo-se duas soluções particulares y1 e y2 de y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = 0, a combinação 
linear y = 1y1 + 2y2 será a solução geral ? Ou ainda, sob que condições y é a solução geral? 
 
Exemplo 7: As funções 
y = e e y = 2e1
x
2
x
 são soluções particulares da equação y''  y' = 0 mas 
no entanto 
xx
21
x
2
x
1 Ce = e)2C + (C = e2C + eC =y 
 não é a solução geral da equação pois só contém uma 
 8 
constante arbitrária essencial. Isto vem do fato das funções 
y = e e y = 2e1
x
2
x
 serem linearmente 
dependentes , ou melhor y2 =2y1 
 
4.1 Dependência e Independência Linear para Funções 
 
Observe que a definição de dependência linear entre 02 vetores em Geometria Analítica, ou Álgebra 
Linear: 
 
Dois vetores v1 e v2 são ditos linearmente dependentes se um deles é multiplo (não nulo) 
do outro vetor , ou seja , existe um escalar   IR tal que v2 = v1 . 
Quando v1 e v2 são linearmente independentes temos v2   v1 ,   
 
Podemos estender o conceito acima para o caso de duas funções y 1, y 2 
 
Definição: As funções y 1, y 2 são ditas linearmente dependentes ( L.D) no intervalo I se existe um 
escalar  0 tal que y2 = y1 . Equivalentemente, y 1, y 2 são l.d. se 
 
)x(y
)x(y
1
2 
 (constante) , para todo x 
I. 
Quando duas funções não são dependentes dizemos que elas são linearmente independentes ( L.I). Isto 
significa que nenhuma delas é multipla da outra. Simbolicamente, y2  y1 
 
para todo   IR . 
 
Exemplos: 
1) 
 3e = y e e = y x2
x
1
são funções L.D. pois y2 =3y1 
 2) 
x
2
x
1 xe= y e e = y
 são funções L.I. pois 
ctex
e
xe
 
)x(y
)x(y
x
x
1
2 
 
3) 
1 2y = sen(x) e y = cos(x)
 são L.I. pois 
1
2
y (x) senx
 tg x cte
y (x) cos x
  
 
 
4.2 O Wronskiano de duas Funções 
 
O conceito que introduziremos a seguir nos permitirá testar quando funções são L.I. ou L.D. de maneira 
prática, e se aplica em situações mais gerais, com um número maior de funções. 
 
Definição: Sejam y1, y2 funções definidas em determinado domínio, possuindo derivadas y1´, y2´ 
contínuas. Definimos o Wronskiano das funções y1, y2 como o determinante 
21
21
21
yy
yy
)y,y(W


 
Exemplos: 
1) 
0 = 
2ee
2ee
 )e2 ,W(e
xx
xx
xx v2 
v1 
 9 
2) 
2x2x2x2x
xxx
xx
xx e xe xe+ e 
 xeee
xee
 = ) xe,W(e 

 
 
3) 
1 =x cos x sen 
senxcosx
cosxsenx
 = cosx) W(senx, 22 

 
 
Teorema 4: Sejam y1 , y2 soluções de uma mesma equação diferencial linear homogênea de ordem 2. O 
conjunto { y1 , y2 } é L.I. se e somente se W(y1 , y2) não é identicamente nulo, ou seja, W  0. 
 
Pelo resultado do Teorema podemos garantir que as funções do exemplo 1) anterior são L.D. e as funções 
dos exemplos 2) e 3) são L.I. 
 
Na verdade um resultado nos garante que se o Wronskiano não é identicamente nulo, ele não se anula em 
nenhum ponto, ou seja, W(y1 , y2)  0,  x. 
 
Usando o Teorema anterior podemos provar o seguinte resultado: 
 
Teorema 5: Se y1 , y2 são soluções linearmente independentes da equação diferencial linear homogênea 
y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = 0, ( I ) , então 
2211 yC + yC =y 
 é a solução geral dessa EDO. 
 
D] Sejam y1 e y2 soluções da equação y´´ + a1(x) y´ + a2(x) y = 0 ( I ). Vamos mostrar que 
 
y = C1y1 + C2y2 ( II ) é solução geral de ( I ). 
 
Pelos resultados vistos anteriormente temos que y = C1y1 + C2y2 é solução de ( I ). Para mostrar que a 
solução é geral devemos mostrar que quaisquer que sejam as condições iniciais dadas y(xo) = yo e y'(xo ) 
as constantes arbitrárias C1 e C2 podem ser obtidas de maneira única, ou seja, são essenciais. 
 
Substituindo as condições iniciais em ( II ) obtemos: 



)x('yC + )x('yC = 'y
)x(yC + )x(yC = y
o22o11o
o22o11o
 
 
Como as funções y1 e y2 são linearmente independentes, o Wronskiano não se anula para x = xo. Logo, o 
sistema acima tem solução única e C1 e C2 são os valores únicos para os quais y = C1y1 + C2y2 é a 
solução particular que satisfaz às condições iniciais dadas. 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno – Boyce / DiPrima 
2. Equações Diferenciais vol 1 – Zill / Cullen 
3. Matemática Superior – Erwing Kreyszig