Equações Homogêneas a Coeficientes Constantes

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
Curso: Engenharias 
Professora: Ilka R. Freire 
 
Texto 04 : Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de 2a Ordem a Coeficientes 
Constantes 
 
 As equações diferenciais lineares a coeficientes constantes são, sob muitos aspectos, as mais 
simples das equações diferenciais. Já salientamos que elas formam a única classe numerosa de equações 
diferenciais de ordem maior que um que podem ser explicitamente resolvidas. Além disso, tais equações 
surgem em uma grande variedade de problemas físicos. 
 Vamos estudar em particular as equações diferenciais homogêneas de 2
a
 ordem, ressaltando que os 
resultados encontrados podem ser generalizados para uma equação de ordem n qualquer n  1. 
 
 Consideremos, inicialmente, a equação linear de 1
a
 ordem y' + a1y = 0. Sua solução é 
x1a
1 e C =y 

 que é uma família de exponenciais. 
 Consideremos agora a equação de 2
a
 ordem y'' + a1 y' + a2 y = 0 ( I ). Motivados pela solução 
geral da equação de 1ª ordem, vamos procurar, para estas equações, soluções do tipo 
kxe =y 
. 
Se 
kxe =y 
 é solução de ( I ) então satisfaz ( I ). Logo, substituindo 
kxe =y 
, 
kx2kx e k = ' y'e ke = y'
 em 
( I ) obtemos: 
0 = a +k a + k 0 = ) a +k a + k (e 0 = ea + kea + ek 21
2
21
2kxkx
2
kx
1
kx2 
 
 
Temos assim que 
kxe =y 
 é solução de ( I ) se e somente se k é solução de 
 k + a k + a = 0 2 1 2
 
 
Definição: A equação 
 k + a k + a = 0 2 1 2
. é chamada de equação característica , ou equação auxiliar 
da equação diferencial y'' + a1 y' + a2 y = 0 e suas raízes são chamadas de raízes características 
 
 
 
 
 2 
Temos 3 casos a considerar: 
 
1
o
 Caso: As raízes de 
 k + a k + a = 0 2 1 2
 são reais e distintas. 
 
Sejam k1  k2 raízes de k + a k + a = 0 2 1 2. Então x2k2x1k1 e = ye e = y são soluções linearmente 
independentes de y'' + a1 y' + a2 y = 0. De fato: 
21
x)k + k(
12
)xk + k(
1
x)k + k(
2xk
2
x k
1
xkxk
xkxk
k k pois 0 e ) k (k =
 = e k e k = 
ekek 
ee
 = )e ,W(e
21
2121
21
21
21

 
O conjunto 
 x2kx1k e,e
 é uma base para o espaço solução da equação diferencial e é também chamado de 
sistema fundamental de soluções. As soluções são combinações lineares da base 
 
A solução geral é portanto 
xk
2
xk
1
21 eCeCy 
 
 
Exemplo 1: Dê a solução geral da equação y''  5 y' + 6 y = 0 
Solução: 
A equação característica é k
2
  5k + 6 = 0, cujas raízes reais e distintas são k1 = 2 e k2 = 3 
A solução geral da equação é y = C1e
2x
 + C2 e
3x
. 
 
 
2
o
 Caso: As raízes de 
 k + a k + a = 0 2 1 2
 são reais e iguais 
Sejam k1 = k2 = k raízes de k + a k + a = 0 2 1 2. Uma solução da equação é xk1 e = y . 
Outra solução, linearmente independente, é dada pela função 
 xk
2 e x = y
. De fato, vamos mostrar que y2 
satisfaz a equação y'' + a1 y' + a2 y = 0 ( I ). 
 xk
2 e x = y
; 
kx xk
2 kxee = y 

; 
kx2kxkx2kx xk
2 xekke2xekkeek = y 

. Substituindo 

222 y;y;y
 
na equação ( I ) obtemos: 
 )ak2()akak(x(exea)kxee(axekke2 1212kxkx2kxkx1kx2kx 
= 0, 
pois, uma vez que k é raiz, 
 k + a k + a = 0 2 1 2
 e sendo k raiz dupla temos que 2k + a1 = 0 ( usando 
relação entre coeficientes e raízes da equação do 2º grau k
1 
+ k
2
 = 2k =  a1 ). 
Além disso, 
 xk
1 e = y
 e 
 xk
2 e x = y
 são L.I., pois a razão entre elas não é constante. 
 3 
 
O conjunto 
 kxkx xe,e
 é uma base para o espaço solução da equação diferencial e é também chamado 
de sistema fundamental de soluções. As soluções são combinações lineares da base 
 A solução geral fica 
kx
2
kx
1 xeC + e C =y 
 
 
Exemplo 2: Dê a solução geral da equação y''  4 y' + 4y = 0 
Solução: 
A equação característica é k
2
  4k + 4 = 0, cujas raízes reais e iguais são k1 = 2 = k2 
A solução geral da equação é y = C1e
2x
 + C2 xe
2x
. 
 
3
o
 Caso: As raízes de 
 k + a k + a = 0 2 1 2
 são complexas . 
Sejam 
bi a = k e bi + a = k 21 
 as raízes complexas conjugadas de 
 k + a k + a = 0 2 1 2
. 
Então 
)xbi a(
2
)xbi + a(
1 e = y e e = y

 são soluções da equação. 
Usando a fórmula de Euler 
 isencosei
 
as soluções acima ficam 
 )isenbxbx(cosey e )isenbxbx(cosey ax2
ax
1 
 
A partir destas funções vamos procurar soluções reais que satisfaçam a equação y'' + a1 y' + a2 y = 0 
Vamos mostrar, inicialmente, que se y = u(x) + iv(x) é solução de y'' + a1 y' + a2 y = 0, então u(x) e v(x) 
também são soluções. 
De fato: 
( u + iv)" + a1(u + iv)' + a2 ( u + iv) = 0  u'' + a1 u' + a2 u + i ( v '' + a1 v' + a2 v ) = 0  
u'' + a1 u' + a2 u = 0 e v '' + a1v' + a2 v = 0. 
Uma vez que 
 x)bsen(e i + x)bcos(e = ) x)bsen( i + )bx(cos(e = e =y xa xaax)xbi + a(
é solução da equação 
 xbsen e = v(x)e x bcose = u(x) xa xa
 são soluções da equação. Além disso elas são L.I. pois 
0 e b = v)u, W( xa2 
 . 
O conjunto 
 senbxe,bxcose axax
 é uma base para o espaço solução da equação diferencial e é também 
chamado de sistema fundamental de soluções. As soluções são combinações lineares da base 
 
 A solução geral da equação é portanto: 
senbxeCbxcoseCy ax2
ax
1 
 
 
Observação: Encontraríamos o mesmo resultado partindo de 
)xbi a(
2 e = y

 
 4 
 
Exemplo 3: Dê a solução geral da equação y''  2y' + 10 y = 0 
Solução: 
A equação característica é k
2
  2k + 10 = 0. A solução desta equação é 
i31
2
i62
2
362
2
4042
a2
ac4bb
k
2









 
As soluções particulares linearmente independentes da equação diferencial são y1 = e
x
cos3x e 
y2 = e
x
sen3x 
A solução geral da equação é y = C1 e
x
cos3x + C2e
x
sen3x 
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Para a equação do Exemplo 1 y''  5y' + 6 y = 0, encontre a solução particular que satisfaz as seguintes 
condições iniciais y(0) = 1 e y´(0) = 1 
Solução: 
Vimos que a solução geral da equação é y = C1e
2x
 + C2 e
3x
. (1) 
Derivando a solução geral y´= 2 C1e
2x
 +3C2 e
3x
 (2). Substituindo a condição y(0) = 1 em (1) e a 
condição y´(0) = 1 em (2) obtemos o sistema 





1C3C2
1CC
21
21
 cuja solução é C1 = 4 e C2 = 3 
Logo, a solução particular é y = 4e
2x
 3e3x. 
 
2) Dê a solução geral das seguintes equações: 
A) y´´  y´ = 0 
Solução: A equação característica é k
2
  k = 0, cujas raízes são k1 = 0 e k2 = 1. Logo, o sistema 
fundamental de solução é 
 xe,1 
 e a solução geral é 
x
21 eCCy 
 
 
B) y´´ + 6y´ + 9y = 0 
Solução: A equação característica é k
2
 + 6k + 9 = 0, cujas raízes são k1 = k2 = 3 . Logo, o sistema 
fundamental de solução é 
 x3x3 xe,e 
 e a solução geral é 
x3
2
x3
1 xeCeCy
 
 
 
 5 
 
 
3) Dê a solução particular da equação y´´ + y = 0 que satisfaz a s condições y(0) = 1 e y´( 0 ) = 2 
 
Solução: A equação característica é k
2
 + 1 = 0 cujas raízes são k1 = i e k2 =  i 
Para o conjunto fundamental 
 senbxe,bxcose axax
 temos a = 0 e b = 1. Logo, 
 senxe,xcose x0x0
 = 
 senx,xcos 
 e a solução geral é 
senxCxcosCy 21 
 
Derivando asolução geral e aplicando as condições iniciais obtemos: 
xcosCsenxCy 21 
 
y(0) = 1  1 = C1 cos0 + C2 sen 0  1 = C1. 
y´(0) = 2  2 =  C1 sen0 + C2 cos 0  2 = C2. 
Logo, a solução particular é y = cosx  2senx 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno – Boyce / DiPrima 
2. Equações Diferenciais vol 1 – Zill / Cullen 
3. Matemática Superior – Erwing Kreyszig