AV1 Lista de exercícios

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1. Definidos os vetores, u = 4 i + 9 j e v = 4i +3 j, delimitar: 
 
a) o produto interno u.v 
Dica: Produto escalar. Ver calculo do produto vetorial (multiplicar) 
b) o vetor 3 u - 2 v 
c) o vetor diferença u – v 
d) o módulo do vetor u + v 
e) o vetor soma u + v 
 
2. Calcular o produto interno (em função das coordenadas do vetor) 
 
Definidos os vetores, u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) c i + d j 
 
Marcar a única alínea que contenha a escalar dos vetores u e v abaixo: 
 
a) u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd 
b) u.v = bc . 0 + ad . 1 + bc . 0 + bd . 1 = bc + cd 
c) u.v = ac . 0 + ad . 1 + bc . 1 + bd . 0 = ac - bd 
d) u.v = dc . 1 + ab . 1 + ac . 1 + bd . 0 = ad - bc 
 
Dica: Lembrar da regra quando vetores perpendiculares, temos: 
i.i = j.j = 1 
i.j = j.i = 0 
 
3. Definidos os vetores: 
 
u v z 
 
 
- Classifique os vetores conforme os três tipos fundamentais e enumerando suas principais 
características. 
 
4. Vetor Resultante 
 
Definidos os vetores representados na figura abaixo, A,B,C,D e E, pede-se determinar qual o 
módulo do vetor S, em que: S = A + B + C + D + E 
 
Lembre-se que: Para somar dois ou mais vetores, deve-se construir linha poligonal emendando 
a origem de um vetor à extremidade de outro vetor e assim sucessivamente, até o último vetor. 
Então, liga-se a origem do primeiro à extremidade do último vetor para se obter o vetor 
resultante. 
 
 
Multiplicação por escalar 
5. Multiplicação por escalar. 
 
Seja u = < - 1,3 > e v = < 4,7 >. Ache as componentes dos vetores: 
(a) u + v (b) 3u (c) 2u - v 
 
6. Combinação Linear de Vetores 
Considere os vetores v = < 1,- 2 > e w = < 0, 1 > . Se z = cv + dw = < 4, 2 >, 
 
7. Vetores unitários 
 
Dizemos que um vetor u é unitário se o seu comprimento é 1, isto é, quando || u || = 1. Se v 
não é o vetor nulo, então o vetor u = v / || v || = 1/|| v || . v é o vetor unitário na direção de v. 
Qualquer vetor na direção de v , de mesmo sentido ou sentido oposto, é um mútiplo escalar 
deste vetor unitário u . 
 
Ache o vetor unitário na direção de v = < - 3, 2 >. 
 
8. Calcule o módulo do vetor (comprimento) de u = (2, 1) + v = (4, -1). 
 
9. Dados os pontos A(–3, 1, –2), B(4, –2, 5) e C(2, 0, 2), determine o vetor u = 4AB - 3BC + AC . 
 
Dica: Primeiro organizar usando a Notação de Grasmann para vetores: XY=Y-X 
 
10. Determine os valores de x e y para que os vetores u = (2x +1, 3y - 2) e v = ( y + 3, 3x + 4) 
sejam iguais. 
 
11. Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir: 
 
a) ( ) Se u = v , então | u | =| v | . 
b) ( ) Se | u | =| v | , então u = v . 
 
12. Dados os vetores u = (5; 12) e v= ( -15; 8). 
 
a) Calcule o produto escalar destes dois vetores. 
 
Dica: Numerador: Ver produto Escalar... Denominador: Ver Produto das Normas 
 
 
b) Calcule o ângulo ente os vetores u e v 
 
13. Determine o valor de m para os vetores sejam 
perpendiculares. 
 
Dica: u.v = (a1+bj) . (c1+dj) 
14. Determine um vetor v que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido 
do segmento orientado AB, onde A=(1,2) e B=(5,3). 
 
15. Determine um vetor u que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido 
do segmento orientado AB, onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). 
 
16. Determine um vetor t que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário 
ao do segmento orientado AB, onde A=(1,2) e B=(5,3). 
 
17. Determine um vetor z que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário 
ao do segmento orientado AB, onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). 
 
18. Dados o ponto P=(2,1) e o vetor v=(5,3), determine o ponto Q de modo que P+v = Q. 
 
19. Dados os pontos P=(2,4) e Q=(-3,5), determine o vetor v de modo que Q + v = P. 
 
20. Dados os pontos A=(1, -2, 3), B=(1, -3, 2) e C=(-1, 3, 1), determinar as coordenadas do ponto 
D tal que AB + CD = 0 
 
21. Determine o módulo do vetor v=(a,b). 
 
22. Determine o módulo do vetor u=(a,b,c). 
 
23. Determine o módulo do vetor v=(4,1). 
 
24. Determine o módulo do vetor t = (-4, -1). 
 
25 – Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i – 5 j e v = i + j , pede-se determinar: 
a) o vetor soma u + v 
b) o módulo do vetor u + v 
c) o vetor diferença u – v 
d) o vetor 3 u – 2 v 
e) o produto interno u.v