Analise Combinatória- Exercícios

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Atividades Comentadas 
de Análise Combinatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
Sumário 
 
 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ................................. 2 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES ................................................................. 5 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR .............................................................. 8 
 
ARRANJO SIMPLES ......................................................................... 9 
 
COMBINAÇÃO SIMPLES ............................................................... 10 
 
COMBINAÇÃO COMPLETA ........................................................... 14 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................ 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
QUESTÃO 01 
Três ingleses, 4 americanos e 5 franceses serão dispostos em fila 
de modo que pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre 
juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de 
modo que o primeiro da fila seja um francês de nome Alain que é o 
mais novo do grupo? 
a) 7.644 c) 5.324 e) 3.456 
b) 6.912 d) 4.732 
 
SOLUÇÃO 
Alain 4 franceses 4 americanos 3 ingleses. 
entre os franceses = 4! 
entre americanos e ingleses. 
4!*3!*2!=24*6*2 = 288 
288*4! = 6912 
 
QUESTÃO 02 
(GAMA FILHO-RJ) Quantos são os inteiros positivos, menores que 
1 000 que tem seus dígitos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}? 
a) 15 c) 28 e) 42 
b) 23 d) 39 
 
SOLUÇÃO 
Cada um dos dígitos do número ou é 1, ou 2, ou 3, 
independentemente dos valores dos demais dígitos. Como se trata 
de números menores do que 1000, podemos dividir a Contagem 
em três partes: 
1 - Números com um dígito (de 1 a 9): São três: 1, 2, 3; 
2 - Números com dois dígitos (de 10 a 99): São nove, pois o 
primeiro dígito pode ser ocupado de três diferentes formas (ou 1, 
ou 2, ou 3) e o segundo idem, logo, pelo princípio da contagem, o 
total é 3*3 = 9; 
3 - Número com três dígitos (de 100 a 999): São vinte e sete, pois 
o primeiro dígito pode ser ocupado de três diferentes formas, o 
segundo e o terceiro idem, logo, pelo princípio da contagem, o total 
é 3*3*3 = 27. 
Portanto, o total de inteiros positivos, menores do que 1000, que 
tem seus dígitos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3} são 
39 = 3 + 9 + 27. 
 
QUESTÃO 03 
Cinco rapazes e as respectivas namoradas foram jantar num 
restaurante. De quantas maneiras diferentes se podem dispor os 
dez jovens numa mesa retangular, com 5 lugares de cada lado, de 
tal modo que os 2 membros de cada par de namorados fiquem 
frente a frente! 
a) 4360 c) 252 
b) 3840 d) 960 
 
SOLUÇÃO 
Inicialmente temos que: 
A faz par com B, C com D, E com F, G com H e I com J. 
Perceba que temos 10 pessoas para colocar em qualquer um dos 
10 lugares disponíveis. 
Logo em seguida de escolher 1 das 10, temos como obrigação 
colocar o seu 
par de frente a ela. 
Restando 10 – 2 = 8 pessoas para os demais lugares. 
Das 8 podemos distribuí-las em qualquer um dos lugares 
disponíveis e quando escolhido o lugar também temos a obrigação 
de colocar seu par em frente a ela. 
Restando 8 – 2 = 6 
Utilizaremos esse mesmo raciocínio até cessarem os lugares 
disponíveis ao redor da mesa. 
Pelo principio da contagem temos: 10*8*6*4*2 = 3840 
 
 
 
QUESTÃO 04 
Sabendo que um quarto tem 5 portas, determine o número de 
maneiras distintas de se entrar nele e sair dele por uma porta 
diferente. 
a) 18 c) 20 e) 22 
b) 19 d) 21 
 
SOLUÇÃO 
5*4 = 20 maneiras distintas. 
 
QUESTÃO 05 
(CEFET – PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em 
que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é: 
a) 12 c) 48 e) 72 
b) 36 d) 60 
 
SOLUÇÃO 
N_M_R_ � Vogais podem permutar 3! e Consoantes podem 
permutar 3! (t1 = 3!*3! = 36) 
_N_M_R � Vogais podem permutar 3! e Consoantes podem 
permutar 3! (t2 = 3!*3! = 36) 
T = total 
T= t1 + t2 � T = 72 
 
QUESTÃO 06 
De quantas maneiras distintas podem ficar sentados três rapazes e 
quatro moças num banco de sete lugares, sabendo que se sentam 
alternadamente por sexo, ou seja, cada rapaz fica sentado entre 
duas moças? 
a) 121 c) 144 
b) 133 d) 156 
 
SOLUÇÃO 
Temos que começar com uma mulher porque se começar com um 
homem ficam duas juntas no fim. Então: 
m h m h m h m 
4*3*3*2*2*1*1 = 144 
 
QUESTÃO 07 
(UNEB – 09) A quantidade de maneiras distintas que 4 moças e 4 
rapazes podem se sentar em uma fila de 8 assentos, de modo que 
nunca haja nem dois rapazes vizinhos e nem duas moças 
sentadas uma ao lado da outra, é igual a: 
a) 2304 c) 576 e) 256 
b) 1152 d) 380 
 
SOLUÇÃO 
De acordo com o problema apresentado, a primeira pessoa da fila 
pode ser um rapaz (M-F-M-F-M-F-M-F) ou uma moça (F-M-F-M-F-
M-F-M). Então teremos: 2*4!*4! = 1152 
 
QUESTÃO 08 
Para proteger um arquivo que continha um documento 
confidencial, Alberto criou uma senha com uma seqüência de 4 
algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do 
primeiro. Para abrir o arquivo, o número máximo de tentativas 
diferentes é igual a: 
a) 90 c) 168 e) 280 
b) 112 d) 224 
 
SOLUÇÃO 
Para satisfazer a condição na qual o último algarismo é o dobro do 
primeiro, teríamos: 
1 __ __ 2 {Como são algarismo distintos, é uma questão de 
arranjo}. 
2 __ __ 4 {Temos para o 1° algarismo 8 números, e para o 2° 7 
números}. 
3 __ __ 6 {Como temos 4 condições pré-estabelecidas, fica: 
8*7*4}. 
4 __ __ 8 {Portanto, 8*7*4 = 224 tentativas} 
 
 
3 
QUESTÃO 09 
(UNEB) A quantidade de número múltiplos de 4, com 4 algarismos 
distintos, que se pode formar com os elementos do conjunto 
A = {1, 2, 3 4, 6} é igual a: 
a) 12 c) 24 e) 36 
b) 18 d) 26 
 
SOLUÇÃO 
Para que o número seja divisível por 4 seus dois últimos dígitos 
devem ser múltiplos de 4. Então os números devem ser 
terminados em: 
__ __ 12 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 
números}. 
__ __ 16 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 
números}. 
__ __ 24 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 
números}. 
__ __ 32 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 
números}. 
__ __ 36 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 
números}. 
__ __ 64 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 
números}. 
Assim temos, 6*6 = 36 múltiplos de 4. 
 
QUESTÃO 10 
Quantas combinações de respostas corretas temos numa prova de 
60 questões com 5 opções cada questão? 
 
SOLUÇÃO 
Cada questão tem uma resposta correta. Temos, por questão, um 
total de C5,1 = 5 combinações. 
Usando o princípio fundamental da contagem, temos então, em 60 
questões, um total de C5,1*60 = 300 combinações. 
 
QUESTÃO 11 
De quantas maneiras podemos classificar os 4 empregados de 
uma micro-empresa nas categorias A ou B, se um mesmo 
empregado pode pertencer às duas categorias? 
 
SOLUÇÃO 
Vamos nomear os empregados: C, D, E e F. O empregado C pode 
pertencer à categoria A, B ou às duas. Logo, ele tem três 
possibilidades. Se o empregado C tem essas três possibilidades, 
os outros empregados também tem, não é? 
Utilizando o PFC temos: 3*3*3*3 = 81 
 
QUESTÃO 12 
(UFPR) Um grupo de 8 pessoas vai entrar em um veículo no qual 
existem 3 lugares voltados para trás e 5 lugares voltados para 
frente. No grupo, há 2 pessoas que preferem bancos voltados para 
trás, 3 pessoas que preferem bancos voltados para frente e as 
demais não têm preferência. O número de possibilidadespara a 
ocupação dos lugares pelas 8 pessoas, de modo que se respeitem 
as preferência é? 
 
SOLUÇÃO 
Pessoas Trás: T1 e T2 
Pessoas Frente: F1, F2, F3 
Outras: X1, X2, X3 
As partições possíveis no conjunto dos X são 3: 
{{(X1);(X2; X3)}; {(X2); (X1;X3)}; {(X3); (X1;X2)}} 
Supondo os arranjos com X1 trás, X2 e X3 frente: 
T: T1 T2 X1: A3,3 = P3 = 3*2*1 
F: F1 F2 F3 X2 X3 = A5,5 = P5 = 5*4*3*2*1 
Teríamos: 
T x F = (3*2*1)*(5*4*3*2*1) 
Para as 3 partições: 3*(3*2*1)*(5*4*3*2*1) = 6*6*6*10 = 2 160. 
 
 
 
QUESTÃO 13 
(UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar 
num automóvel de 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atrás. 
Sabendo-se que só 2 pessoas podem dirigir e que as crianças 
devem ir atrás e na janela ,o número total de maneiras diferentes 
através das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, não 
permitindo crianças irem no colo de ninguém, é igual a: 
a) 120 c) 48 e) 8 
b) 96 d) 24 
 
SOLUÇÃO 
Pensei assim: _ _ | Ja_ Jb, onde as crianças podem ficar (Ja: 
janela a ou Jb: janela b). Como tem 2 crianças, 2 possibilidades 
para Ja e 1 para Jb. 
_ _ | 2 _ 1 
Restam 3 adultos. 
Seja x,y,z os adultos. 
Se só x e y que podem dirigir, tem 2 possibilidades para ocupar o 
lugar de motorista. 
2 _ | 2_1 
sobraram 2 adultos, 2 possibilidades para ocupar o lugar da frente, 
e sobra 1 para ficar entre as crianças. Assim: 
2*2*2*1*1 = 8 
 
QUESTÃO 14 
Três moças e os respectivos namorados posam para uma 
fotografia. De quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de 
modo que cada par de namorados fique junto na fotografia? 
a) 12 c) 36 
b) 24 d) 48 
 
SOLUÇÃO 
Considere cada casal como um bloco: _ _ _ 
Assim temos 3*2*1 maneiras de dispor lado a lado. 
Agora a permutação entre eles (namorado e namorada): 2!*2!*2! 
R. 3!*(2!)³ = 48. 
 
QUESTÃO 15 
Com os algarismos de 1 a 9, quantas centenas de pares pode-se 
formar, sem que haja repetição de algarismos? 
 
SOLUÇÃO 
Para termos números pares de três algarismos temos 
necessariamente o dígito para na casa das unidades. Assim: 
O algarismo da unidades pode ser 2, 4, 6, 8 � 4 possibilidades; 
O algarismo das centenas ≠ do das unidades � 8 possibilidades; 
O algarismo das dezenas ≠ do das unidades e das centenas � 7 
possibilidades. 
Utilizando o PFC temos: 8*7*4 = 224 
 
QUESTÃO 16 
(PROFMAT – 2011.2) Uma equipe esportiva composta por 6 
jogadoras está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo 
do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até 3 
substituições e, para isto, o técnico dispõe de 4 jogadoras no 
banco. Quantas formações distintas podem iniciar o segundo 
tempo? 
 
SOLUÇÃO 
Nenhuma substituição: 1 formação. 
1 substituição: Há 4 maneiras de escolher a substituta e 6 
maneiras de escolher quem será substituída dando 4*6 = 24 
formações diferentes. 
2 substituições: Há 6 maneiras de escolher as substitutas e 15 
maneiras de escolher as que serão substituídas, dando 6*15 = 90 
formações diferentes. 
3 substituições: Há 4 maneiras de escolher as substitutas e 20 
maneiras de escolher as que serão substituídas, dando 4*20 = 80 
formações diferentes. 
Total: 1 + 24 + 90 + 80 = 195 formações diferentes. 
 
 
4 
QUESTÃO 17 
(PROFMAT – 2012.1) De quantas maneiras é possível escolher 
três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma 
seja par? 
a) 1620 c) 570 e) 120 
b) 810 d) 720 
 
SOLUÇÃO 
Para que a soma seja par, ou (a) os 3 números são pares ou (b) 
um deles é par e os outros dois são ímpares. Há 10 números pares 
e 10 números ímpares entre os inteiros de 1 a 20. Os casos (a) 
seriam, portanto, 10*9*8 = 720, se importasse a ordem, mas como 
a ordem não importa dividimos por 3! = 6, o que dá 120. Os casos 
(b): temos 10 escolhas para o número par; depois 10*9 escolhas 
para os dois números ímpares, mas devemos dividir por 2 porque 
a ordem não importa, perfazendo 45; então são 10*45 = 450 
possibilidades. Somando os dois casos, são 120 + 450 = 570. 
 
QUESTÃO 18 
Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes? 
a) 448 c) 546 e) 1008 
b) 504 d) 952 
 
SOLUÇÃO 
Se é múltiplo de 5 então termina ou com o algarismo zero ou com 
o algarismo 5. Vamos contá-los separadamente. Se termina com 
zero, significa que só há os algarismos de 1 a 9 disponíveis para 
as três primeiras posições. Isso dá 9*8*7 = 504 possibilidades. Se 
termina com 5, então a primeira posição não pode nem ser 5, nem 
ser zero, o que dá 8 possibilidades. Escolhido esse algarismo, a 
segunda posição tem à disposição os algarismos de 0 a 9, exceto 
o 5 e aquele escolhido na primeira posição, ou seja, tem 8 
possibilidades. Para a terceira posição, restam 7 possibilidades. 
Então são 8*8*7 = 448 possibilidades. Somando as duas, são 
448 + 504 = 952 possibilidades. 
 
QUESTÃO 19 
No nosso sistema decimal, quantos números inteiros positivos de 4 
algarismos distintos podemos formar e que sejam múltiplos de 5? 
 
SOLUÇÃO 
Para ser múltiplo de 5, deve terminar com 0 ou 5. Por isso vamos 
dividir o processo em 2 etapa: 
1ª etapa (Utilizando o número 5 no algarismos das unidades): 
Temos 8 possibilidades para a unidade de milhar, 8 para a 
centena, 7 para a dezena e 1 possibilidade para a unidade que é o 
5 � 8*8*7*1 = 448 
2ª etapa (Utilizando o número zero no algarismo das unidades): 
Temos 9 possibilidades para a unidade de milhar, 8 para a 
centena, 7 para a dezena e 1 possibilidade para a unidade que é o 
zero � 9*8*7*1 = 504 
Logo, 448+504 = 952 números 
 
QUESTÃO 20 
Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos 
formados com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6. 
 
SOLUÇÃO 
Você pode formar P = 5! = 120 números distintos como os 5 
algarismos dados. Os números têm essa forma : abcde. 
Repare que um número qualquer de 5 dígitos da forma abcde onde 
a, b, c, d e e são números naturais, pode ser escrito como: 
abcde = 10000*a + 1000*b + 100*c + 10*d + e. 
Cada número aparece 120/5 = 24 em cada posição, então: 
24*(2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 24*20 = 480 
Portanto: 
� nas unidades aparece: 480 vezes; 
� nas dezenas aparece: 10*480 = 4.800 vezes; 
� nas centenas aparece: 100*480 = 48.000 vezes; 
� nas unidades de milhar aparece: 1000*480 = 480.000 vezes; 
� nas dezenas de milhar aparece: 10000*480 = 4.800.000. 
Somando tudo, temos: 
 4.800.000
 480.000
 48.000
 4.800
+ 480
5.333.280
 
 
QUESTÃO 21 
Considere todos os números inteiros positivos escritos com 
exatamente cinco algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da 
soma desses números? 
a) 6666600 c) 6660000 e) 6000000 
b) 6666000 d) 6600000 
 
SOLUÇÃO 
Os algarismos ímpares são cinco: 1, 3, 5, 7, 9. O total de números 
que podem ser escritos com 5 algarismos ímpares distintos é, 
portanto, 5*4*3*2*1 = 120. Para cada algarismo possível, há 24 
deles que terminam com esse algarismo. Então a soma das 
unidades desses números é igual a: 
24*(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 24*25 = 600 
Pela mesma razão, a soma das dezenas tem o mesmo valor, mas 
sendo dezenas elas somam 600*10 = 6000. As centenas somam 
60000, os milhares somam 600000 e as dezenas de milhares 
somam 6000000. A soma total dá 6666600. 
 
QUESTÃO 22 
Com os algarismos 1, 2, ..., 9 formam-se números de quatro 
algarismos distintos. Quantos são maiores que 4326? 
 
SOLUÇÃO 
Total de possibilidades com os 9 números = 9*8*7*6 = 3 024 
Começando com 1, 2, 3 -----> 3*8*7*6 = 1 008 
Começando com 41 e 42 ----> 2*7*6 ..= ......84 
Começando com 431 -------> 6 ............= ........6 
Começando com 432 -------> 3 ............= ........3 
_________________________________________ 
Total inferior ou igual a 4326 ..............= 1101 
Maiores do que 4326 = 3024 – 1101 = 1923 
 
QUESTÃO 23 
(FATEC – SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos diferentes de MPB, 
4 discos diferentes de rock e 2 diferentes de músicaclássica. O 
número de modos distintos como essa pessoa pode organizá-los 
em uma estantes, de tal forma que discos do mesmo gênero 
estejam sempre juntos e os de rock sempre na mesma ordem, é: 
a) 144 c) 48 e) 288 
b) 1 152 d) 50 
 
SOLUÇÃO 
Os 3 gêneros podem se permutar na estante, portanto há 3! = 6 
maneiras de arrumá-los na estante. 
Os CDs de rock só tem uma maneira de arrumar, pois não podem 
se permutar = 1 maneira. 
Os 4 CDs de MPB podem se permutar de 4! = 24 maneiras. 
Os dois CDs de música clássica podem se permutar de 2! 
maneiras = 2 maneiras. 
Portanto, as maneiras de arrumar todos eles são: (1*24*2)*6 = 288 
maneiras. 
 
QUESTÃO 24 
Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos 
escrever com os algarismos ímpares sem os repetir? 
 
SOLUÇÃO 
 
5 
Devemos trabalhar com o conjunto composto por {1, 3, 5, 7, 9}. 
Assim: 
� Unidade de milhar: 3 ou 5 {temos 2 opções}; 
� Centenas: 1, 3, 5, 7 ou 9 {Mas já foi usado 1, então 4 opções}; 
� Dezenas: 1, 3, 5, 7 ou 9 {Mas já foi usado 2, então 3 opções}; 
� Dezenas: 1, 3, 5, 7 ou 9 {Mas já foi usado 3, então 2 opções}. 
Portanto: 2*4*3*2 = 48 números. 
 
QUESTÃO 25 
Tomando-se no máximo 3 elementos distintos do conjunto 
{0,1,2,3,4}, a quantidade de números inteiros não negativos que 
podem ser formados é: 
a) 48 c) 69 e) 80. 
b) 64 d) 72 
 
SOLUÇÃO 
Como o problema diz no máximo 3 elementos distintos, devemos 
considerar os mínimos também, assim: 
� com 3 elementos: 4*4*3 = 48 (4 primeiro porque o zero não 
pode ser primeiro) 
� com 2 elementos : 4*4 = 16 (4 primeiro porque o zero não pode 
ser primeiro) 
� com 1 elemento: 5 {0,1,2,3,4} (pode iniciar com 0 pois 
continuará o mesmo números de elementos) 
Portanto: 48 + 16 + 5 = 69 
 
QUESTÃO 26 
Um professor de Matemática quase foi atropelado por um 
motorista apressado. Um policial foi testemunha do ocorrido, mas 
estava em uma posição da qual não conseguiu ver a placa do 
veículo. Após anotar o modelo do veículo, perguntou ao professor 
se ele havia visto a placa. O professor respondeu: “A placa do 
carro era formada pelas letras ABC, nessa ordem, e quatro 
algarismos cujo produto, era, com certeza, 21.” Quantas placas 
diferentes podem existir com as características indicadas pelo 
professor? 
 
SOLUÇÃO 
Divisores de 21 menores do que 10 � 1, 3, 7 
Possíveis placas: 
� Começados com 1:1137 – 1173 – 1317 – 1371 – 1713 – 1731 
� Começados com 3: 3117 – 3171 – 3711 
� Começados com 7: 7113 – 7131 – 7311 
Portanto: 12 placas. 
 
QUESTÃO 27 
Num grupo de sete alunos, dois deles não se toleram e não 
desejam sair lado a lado em uma fotografia. A foto será deles 
sentados em fila. De quantos modos eles poderão sentar, 
respeitando essa incompatibilidade? 
 
SOLUÇÃO 
Dos 7 alunos dois deles, que chamaremos de A e B, não podem 
ficar juntos. 
O total de permutações possíveis que podemos tirar essa foto é 7! 
Agora para facilitar nossos cálculos os colocaremos juntos como 
sendo um só corpo |AB| e permutaremos essas fotos. 
|AB| _ _ _ _ _ = 6! {Como |AB| pode permutar entre si o total será 
2*P6 = 2*6!} 
A quantidade de modos possíveis que podemos fazer para tirar 
essa foto é: T = 7! – 2*6! = 7*6! – 2*6! = 6!*(7 – 2) = 5*6! = 3600 
 
QUESTÃO 28 
Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir 
dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. 
Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas 
condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados 
é: 
a) 518400 c) 720 e) 54 
b) 1440 d) 120 
 
SOLUÇÃO 
� Para o primeiro cadeado temos: 10 para o 1° dígito, 9 para o 2° 
e 8 para o 3°. Assim, pelo PFC, temos 10*9*8 = 720 possibilidades 
para o primeiro cadeado. 
� Para o segundo cadeado vale o mesmo: 720 maneiras 
diferentes. 
Então multiplicamos esses resultados: 720*720 = 518400 
 
QUESTÃO 29 
Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que 
sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados 
usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? 
 
SOLUÇÃO 
No algarismo das unidades � 1 modo (tem que ser o 5); 
No algarismo das unidades de milhar � 3 modos (não pode ser 5); 
No algarismo das centenas � 4 modos; 
No algarismo das dezenas � 4 modos. 
Para finalizar basta multiplicar tudo: 1*3*4*4 = 48 
 
QUESTÃO 30 
Na mesa de saladas de um restaurante tem alface, pepino, 
pimentão, cenoura, tomate e beterraba. Há quatro temperos 
disponíveis. Quantos tipos de saladas diferentes podem ser 
preparadas com esses ingredientes, de modo que todas as 
saladas contenham alface e possam ter um ou nenhum tempero? 
 
SOLUÇÃO 
SALADAS: 
(só alface) � 1 
(alface e outra 1 verdura) � C7,2 � C6,1 = 6 
(alface e outras 2 verduras) � C7,3 � C6,2 = 15 
(alface e outras 3 verduras) � C7,4 � C6,3 = 20 
(alface e outras 4 verduras) � C7,5 � C6,4 = 15 
(alface e outras 5 verduras) � C7,6 � C6,5 = 6 
(alface e outras 6 verduras) � C7,7 � C6,6 = 1 
Temos: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 tipos de saladas sem 
nenhum tempero. 
Saladas com temperos: 
4*1 + 4*6 + 4*15 + 4*20 + 4*15 + 4*6 + 4*1 = 256 
Total de saladas com e sem temperos: 
256 + 64 = 320 tipos de saladas. 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 
QUESTÃO 01 
(UFSC – 93) Quantos números diferentes podemos obter 
permutando os algarismos do número 336 223? 
a) 30 c) 50 
b) 40 d) 60 
 
SOLUÇÃO 
Note que temos uma Permutação Simples com termos repetidos. 
 
 
 
QUESTÃO 02 
Uma urna contém 3 bolas azuis e 2 verdes. De quantas maneiras 
podemos retirar as 5 bolas, umas por vez e sem reposição? 
 
SOLUÇÃO 
Temos uma permutação com repetição. 
2,3
5
5! 5 4 3! 10
2! 3! 2 1 3!
P × ×= = =
× × ×
 
 
QUESTÃO 03 
Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, seis livros, 
dois dos quais são de Astronomia. De quantas maneiras diferentes 
 
6 
o podemos fazer, de tal forma que os dois primeiros livros, do lado 
esquerdo, sejam os de Astronomia? 
a) 24 c) 48 
b) 36 e) 60 
 
SOLUÇÃO 
P2*P4 = 2*1*4*3*2*1 = 48 
 
QUESTÃO 04 
(UFSC) Quantos números de cinco algarismos podemos escrever 
apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições 
apresentadas? 
a) 12 c) 6 e) 18 
b) 30 d) 24 
 
SOLUÇÃO 
Temos uma permutação com termo repetidos. 
2,2
5
5! 5 4 3 2! 30
2! 2! 2 1 2!
P × × ×= = =
× × ×
 
 
QUESTÃO 05 
(UEPG-PR) Com uma letra R, uma letra A e um certo número de 
letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M 
é: 
a) 6 c) 4 e) 8 
b) 12 d) 3 
 
DADOS 
n = 2 + x (total de letras) 
n1 = x (quantidade de letras repetidas, no nosso caso a letra M). 
. 
SOLUÇÃO 
Trata-se de uma Permutação com Elementos Repetidos. 
 
 
2 + 2x + x + x² = 20 
x² + 3x - 18 = 0 
∆ = (3)² - 4.1.(-18) 
∆ = 81 
x' = 3 
x'' = - 6 (Não convém, pois estamos trabalhando com fatorial). 
 
QUESTÃO 06 
De quantas maneiras se podem sentar em uma fila de doze 
cadeiras, cinco brasileiros, quatro norte-americanos e três 
alemães, de modo que os de mesma nacionalidade fiquem juntos? 
 
SOLUÇÃO 
Vamos considerar os representantes de cada nacionalidade como 
sendo um só. Assim teremos a permutação simples de 3 
elementos: 
P3 = 3! = 3*2*1 = 6 
Permutando dos 5 brasileiros entre si: 
P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120 
Permutando os 4 americanos entre si: 
P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 
Permutando os 3 alemães entre si: 
P3 = 3! = 3*2*1 = 6 
Podemos encontrar o número de maneiras que eles podem sentar 
na fila multiplicando os valores encontrados. Assim temos: 
N = 6*(5!)*(4!)*(3!) � N = 103680 
 
QUESTÃO 07 
Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, 
sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número de 
maneiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro 
e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos 
é: 
a) 2. c) 8. e) 24.b) 4. d) 16. 
 
SOLUÇÃO 
Vamos colocar Pedro e Luísa dentro de um saco 1 (S1) 
Vamos colocar João e Rita dentro de um saco 2 (S2), dessa forma 
ambos os casais passam a funcionar como se fossem uma única 
pessoa. Ficamos, então com 2 sacos {S1, S2}, para permutarem. 
Temos, então: 2! = 2. 
MUITA ATENÇÃO AGORA, pois cada casal pode mudar de 
posição entre si de duas maneiras diferentes dentro de cada saco. 
Portanto: 2*2!*2! = 8. 
 
QUESTÃO 08 
(PROFMAT – 2011.1) Permutam-se de todas as formas possíveis 
os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e escrevem-se os números formados em 
ordem crescente. O número que ocupa a 50ª posição é: 
a) 25413 c) 31245 e) 31425 
b) 25431 d) 31254 
SOLUÇÃO 
Observe que em ordem crescente, a permutação na primeira 
posição é 12345. Então, fixando o algarismo, pelo princípio 
fundamental da contagem, há 4! = 4*3*2*1 = 24 possibilidades nas 
permutações do tipo 1 _ _ _ _ (isto é, as primeiras 24 permutações 
em ordem crescente tem o algarismo 1 na dezena de milhar). 
Seguindo o raciocínio, tem-se mais 24 permutações cujo algarismo 
na dezena de milhar é 2, esgotando assim as primeiras 48 
permutações em ordem crescente. Portanto, como a 49ª 
permutação é 31245 tem-se que a 50ª permutação é 31254. 
 
QUESTÃO 09 
(PROFMAT – 2012.1) Um engenheiro fará uma passarela de 10 
metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. 
A passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe 
de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares 
de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras são da mesma cor, as 
pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e 
o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De 
quantas maneiras ele pode revestir a passarela? 
 
SOLUÇÃO 
Para uma calçada composta com 10 pedra 1 X 1. Temos: 
10
10
10! 1 modo
10!
P = = 
Para uma calçada composta por 8 pedras 1 X 1 e 1 pedra 2 X 1 (9 
pedra ao todo). Temos: 
8
9
9! 9 8! 9 modos
8! 8!
P ×= = = 
Para uma calçada composta por 6 pedras 1 X 1 e 2 pedras 2 X 1 
(8 pedras ao todo). Temos: 
6,2
8
8! 8 7 6! 28 modos
6!2! 6! 2 1
P × ×= = =
× ×
 
Para uma calçada composta por 4 pedras 1 X 1 e 3 pedras 2 X 1 
(7 pedras ao todo). Temos: 
4,3
7
7! 7 6 5 4! 35 modos
4!3! 4! 3 2 1
P × × ×= = =
× × ×
 
Para uma calçada composta por 2 pedras 1 X 1 e 4 pedras 2 X 1 
(6 pedras ao todo). Temos: 
2,4
6
6! 6 5 4! 15 modos
2!4! 2 1 4!
P × ×= = =
× ×
 
Para uma calçada composta por 5 pedras 2 X 1. Temos: 
 
7 
5
5
5! 5! 1 modo
5! 5!
P = = = 
Somando tudo temos: 
10 8 6,2 4,3 2,4 5
10 9 8 7 6 5 1 9 28 35 15 1 89P P P P P P+ + + + + = + + + + + = 
 
QUESTÃO 10 
De quantas maneiras podemos atribuir os nomes de Paulo, 
Antônio e José a 11 meninos, com a condição de que três deles se 
chamem Paulo, dois se chamem Antônio e seis se chamem José? 
 
SOLUÇÃO 
Temos uma permutação simples com termos repetidos. 
Note que são 11 meninos (n° de termos), onde 3 devem se chamar 
Paulo, 2 Antônio e 6 José. Assim teremos: 
3,2,6
11
11! 11 10 9 8 7 6! 55440 4620
3!2!6! 3 2 1 2 1 6! 12
P × × × × ×= = = =
× × × × ×
 
 
QUESTÃO 11 
Quantos anagramas tem a palavra PROFESSOR? 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se de uma permutação simples com termos repetidos, onde 
temos 9 elementos (9 letras na palavra) com as seguintes 
repetições: 2 R’s, 2 O's e 2 S’s. Assim temos: 
2,2,2
9
9! 362880 45360 anagramas
2!2!2! 8
P = = = 
 
QUESTÃO 12 
De quantos modos é possível sentar 7 pessoas em cadeiras em 
fila de modo que duas determinadas pessoas dessas 7 não fiquem 
juntas? 
SOLUÇÃO 
Primeiramente vamos encontrar P7 em fila: P7 = 5040 maneiras. 
Agora iremos encontrar fazer a permutação da pessoas em fila 
mas considerando duas pessoas quaisquer da fila como sendo 
uma só, ou seja elas fiquem juntas (depois multiplicaremos por 2, 
pois elas podem permutar entre si): 2*P6 = 2*720 = 1440 
maneiras. 
Para finalizar basta subtrair um valor do outro: 5040 – 1440 = 3600 
maneiras distintas. 
 
QUESTÃO 13 
Foi colocado na ordem crescente todos os números formados pela 
permutação dos algarismos 1, 2, 5, 7 e 9. Nesta série, qual a 
posição ocupada pelo número 51972? 
SOLUÇÃO 
Calculando as permutações: 
Iniciados por 1: 
1 __ __ __ __ = 4*3*2*1 = 24 n° iniciados por 1; 
Iniciados por 2: 
2 __ __ __ __ = 4*3*2*1 = 24 n° iniciados por 2; 
Iniciados por 51: 
51279, 51297, 51729, 51792, 51927, 51972. 
Portanto, 24 + 24 + 6 = 54° posição. 
 
QUESTÃO 14 
A respeito das letras da palavra “TESOURA”: 
a) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U juntas e 
nessa ordem? 
SOLUÇÃO 
Faça a permutação simples considerando as letras “S”, “O” e “U” 
juntas e nessa ordem uma única letra. Assim teremos uma 
permutação simples de 5: 
5 5! 5 4 3 2 1 120 anagramasP = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 
b) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U juntas? 
SOLUÇÃO 
Vamos colocar as letras “S”, “O” e “U” dentro de um saco, em 
seguida façamos a permutação do “saco de letras” com as demais 
letras. Ficamos, então com uma permutação simples de 5 (com no 
item anterior). Temos, então: 
5 5! 5 4 3 2 1 120 anagramasP = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 
MUITA ATENÇÃO AGORA, pois as letras contidas no saco podem 
mudar de posição entre si de 3! = 3.2.1 = 6 maneiras diferentes 
dentro do saco. 
Portanto: 56 6 120 720 anagramasP⋅ = ⋅ = 
 
QUESTÃO 15 
Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os 
lugares de um banco retangular de cinco lugares. 
SOLUÇÃO 
5 5! 5 4 3 2 1 120 anagramasP = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 
 
QUESTÃO 16 
Num grupo de 5 pessoas duas são irmãs. O número de maneiras 
distintas que elas podem ficar em fila, de maneira que as duas 
fiquem sempre juntas, é igual a: 
a) 24 c) 120 e) 420 
b) 48 d) 240 
SOLUÇÃO 
Vamos colocar as duas irmãs dentro de um saco em seguida vão 
fazer a permutação entre o “saco de irmãs” e as demais pessoas 
da fila. Ficamos, então com uma permutação simples de 4 
pessoas. Temos, então: 4 4 3 2 1 24 maneirasP = ⋅ ⋅ ⋅ = 
MUITA ATENÇÃO AGORA, pois as duas irmãs podem mudar de 
posição entre si de 2! = 2.1 = 2 maneiras diferentes dentro do 
saco. 
Portanto o n° de maneiras que as duas irmãs podem ficar juntas na 
fila é: 42 2 24 48 maneirasP⋅ = ⋅ = 
 
QUESTÃO 17 
(UFT) O número de maneiras que 4 italianos e 2 americanos 
podem se sentar numa fila, de modo que as pessoas de mesma 
nacionalidade fiquem juntas, é: 
a) 30 c) 96 
b) 48 d) 720 
SOLUÇÃO 
Vamos colocar os italianos dentro de um saco 1 (S1) 
e os americanos dentro de um saco 2 (S2), dessa forma ambos os 
compatriotas passam a funcionar como se fossem uma única 
pessoa. Ficamos, então com 2 sacos {S1, S2}, para permutarem. 
Temos, então: 2! = 2.1 = 2. 
MUITA ATENÇÃO AGORA, pois cada compatriota pode mudar de 
posição entre si de 4! = 4.3.2.1 = 24 maneiras diferentes (os 
italianos) e 2! = 2.1 = 2 maneiras diferentes (os americanos) dentro 
de cada saco. 
Portanto: 2.24.2 = 96. 
 
QUESTÃO 18 
(ESAF GESTOR – 2000) O número de maneiras diferentes que 3 
rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo 
que somente as moças fiquem juntas é igual a: 
a) 6 c) 24 e) 48 
b) 12 d) 36 
SOLUÇÃO 
Vamos colocar as mulheres dentro de um saco 1 (S1) 
e os homens dentro de um saco 2 (S2), dessa forma ambos do 
mesmo sexo passam a funcionar como se fossem uma única 
pessoa. Ficamos, então com 2 sacos {S1, S2}, para permutarem. 
Temos, então: 2! = 2.1 = 2. 
MUITA ATENÇÃO AGORA, pois cada sexo pode mudar de 
posição entre si de 2! = 2.1 = 2 maneiras diferentes (as mulheres) 
 
8 
e 3! = 3.2.1 = 6 maneiras diferentes (os homens) dentro de cada 
saco. 
Portanto: 2.6.2 = 24. 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
QUESTÃO 01 
Determine de quantas maneiras distintas podemos dispor 4 
homens e 4 mulheres quaisquerem torno de uma mesa de modo 
que cada homem tenha sempre ao seu lado duas mulheres, ou 
seja, uma do lado esquerdo e outra de seu lado direito? 
 
SOLUÇÃO 
Você deve fazer a aplicação da Permutação Circular (PC) entre os 
homens ou entre as mulheres, conforme sua escolha, em seguida 
faça a permutação dos outros entre as pessoas do sexo oposto. 
Da seguinte maneira: 
PC(4)*P4 = (4 – 1)!*4! = 3!*4! = 3*2*1*4*3*2*1 = 144 maneiras. 
 
QUESTÃO 02 
De quantos modos quatro casais podem sentar-se em torno de 
uma mesa circular, não sentando juntos dois homens e nem um 
homem com sua acompanhante? 
a) 21 c) 24 
b) 32 d) 12 
 
SOLUÇÃO 
Bom primeiro colocarei os homens na mesa circular seja eles 
A,B,C,D. 
A quantidade de maneiras possíveis para isso é: 
PC(4) = M = (4 – 1)! 
M = 3*2*1 = 6 maneiras 
Agora vamos imaginar que A faz par com F, B com G, C com H e 
D com I 
A--------F 
B--------G 
C--------H 
D--------I 
Observando na figura do lado que 
cada homem não pode colocar nem o 
seu par e nem o par do seu 
companheiro vizinho, exemplo: A não 
pode com F e B não pode com G. 
Então no espaço entre A e B não 
podemos por nem F nem G. Isso 
serve para os demais... 
Nesse caso podemos colocar uma 
permutação de n – 2 pares para completar as maneiras possíveis. 
Daí teremos: P = 6*(n – 2)! � P = 6*(4 – 2)! � P = 6*2 = 12 
 
 
 
QUESTÃO 03 
De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma 
roda de ciranda de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem 
juntas? 
 
SOLUÇÃO 
Colocando primeiro os meninos em cadeiras alternadas: 
P' = (5 - 1)! � P' = 4! � P' = 24 
Agora podemos distribuir as meninas: 
P" = 5! � P" = 120 
Concluindo: 
P = P'*P" � P = 2880 
 
QUESTÃO 04 
De quantos modos 12 crianças podem formar uma roda, 
alternando meninos e meninas? 
 
SOLUÇÃO 
Considerando 6 meninas e 6 meninos temos: 
6!*5! = 720*120 
6!*5! = 86400 
 
 
 
QUESTÃO 05 
Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas 
diferentes? 
a) 2 c) 6 e) 12 
b) 4 d) 8 
SOLUÇÃO 
Os colares são como uma circunferência e portanto teremos uma 
permutação circular. A permutação circular é dado por P(n-1)! 
onde n é o números de peças diferentes nesse caso. 
PC(4) = (4 – 1)! = 3! = 6 
 
QUESTÃO 06 
De quantas maneiras diferentes um casal, três filhos e duas filhas 
podem sentar-se em torno de uma mesa circular de modo que as 
filhas não fiquem juntas? 
 
SOLUÇÃO 
AB = Casal 
DEF = Três filhos 
GH = Duas filhas. 
Total de pessoas = 7 
Como podemos permutar essas 7 pessoas na mesa circular? 
PC(7) = (7 – 1)! = 6! = 6*5*4*3*2*1 = 120*6 = 720 
Agora vamos imaginar que as irmãs estão juntas GH. 
Considerando GH um 
corpo só podemos permutar ABCDEFGH 
PC(6) = (6 – 1)! = 5! = 5*4*3*2*1 = 120. 
Como GH permutam entre si as permutações possíveis são 
120*2 = 240. Então as maneiras diferente que podemos fazer é. 
M = 720 – 240 = 480 
 
QUESTÃO 07 
Dez crianças vão fazer uma roda e entre as crianças estão os 
irmãos Leonardo e Juliana. Quando Leonardo não dá a mão para 
Juliana ele chora muito. De quantas maneiras podem essas 
crianças dar as mãos e formar uma roda de modo que não 
perturbe o pequeno Leonardo? 
a) 40320 c) 20160 
b) 80640 d) 10080 
 
SOLUÇÃO 
O número de permutações circulares é dado por: (n – 1)! 
Como as crianças Leonardo e Juliana devem ficar sempre juntas, 
as duas crianças devem ser consideradas apenas uma. Seria 
como se tivéssemos apenas 9 crianças, porém elas podem trocar 
de lugar entre si logo, o número de maneiras será: 
2*(n – 1)! = 2*(9 – 1)! = 2*8! = 2*40320 = 80 640 
QUESTÃO 08 
Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas (A, B, C, D e E) 
em mesa circular. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a 
lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa? 
 
SOLUÇÃO 
A permutação em circular é dada por PC(m) = (m – 1)! a 
permutação total que podemos fazer nessa mesa é: 
PC(5) = (5 – 1)! = 4! = 24 
Agora iremos considerar AB como um único corpo. Assim temos 
|AB|, C, D, E 
Distribuindo esses 4 corpo na mesa temos: 
 PC(4) = (4 – 1)! = 3! = 6. 
 
9 
Só que AB podem permutar entre si, ou seja, 2*6=12 com eles 
juntos. 
As maneiras de se dispor as pessoas na mesa são: 
M = 24 – 12 = 12 
 
QUESTÃO 09 
8 pessoas que devem sentar-se à mesa circular, A e B nunca 
podem ser vizinhas. Quantas são as disposições possíveis? 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se se um permutação circular onde as formas que as 8 
pessoas devem se sentar ao redor de uma mesa circular é dado 
por: PC(8) = (8 - 1)! � PC(8) = 7! � PC(8) = 5040 
Considerando que as pessoas A e B sejam sempre vizinhas 
(Vamos amarrá-las juntas, assim elas funcionam como se fossem 
uma só pessoa). Nesse caso temos 7 pessoas. 
Forma de 7 pessoas se sentarem ao redor de uma mesa circular. 
PC(n) = (n – 1)! � PC(7) = (7 – 1)! � PC(7) = 6! � PC(7) = 720. 
OBS.: MUITA ATENÇÂO AGORA! Como as pessoas A e B estão 
amarradas juntas elas podem mudar de lugar entre si de 2 formas 
(AB ou BA). Portanto: 2*720 = 1440. 
Logo: 5040 – 1440 = 3600 possibilidades. 
 
QUESTÃO 10 
De quantos modos diferentes 7 pessoas poderão sentar-se em 
torno de uma mesa redonda se: 
 
a) elas puderem sentar-se em qualquer lugar? 
SOLUÇÃO 
PC(7) = (7 – 1)! � PC(7) = 6! � PC(7) = 720 
 
b) duas determinadas pessoas não puderem sentar-se uma ao 
lado da outra? 
SOLUÇÃO 
Considera-se os dois com um única pessoa e note também que 
eles podem permutar entre si (AB ou BA). 
Calculando a permutação circular dos 6 termos: 
2*PC(6) = 2*(6 – 1)! � 2*PC(6) = 2*5! � 2*PC(6) = 2*120 
2*PC(6) = 240 {Os dois juntos} 
Mas o problema determina que eles fique separado. Então subtraia 
esse valor do total de permutações. 
PC(7) – 2*PC(6) = 720 – 240 = 480 
 
QUESTÃO 11 
De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 
crianças de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem 
juntas? 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se de uma questão que envolve conhecimento de 
permutação circular. 
Encontrando o número total de permutações circulares: 
PC(n) = (n – 1)! � PC(6) = (6 – 1)! � PC(6) = 5! � PC(6) = 120 
No total temos 6 elementos para dispor em círculo, ou seja, 
novamente utilizaremos Permutação Circular. Mas agora a 
restrição é diferente, as duas crianças NÃO podem ficar juntas. 
Para esta situação, iremos calcular o número total de disposições 
(sem restrição) e diminuir deste resultado o número de disposições 
em que as crianças estão juntas. 
Encontrando o número permutações com Vera e Isadora juntas 
{Vamos considerar as duas crianças uma só, daí teremos uma 
permutação circular de 5 elementos e multiplicamos por 2 porque 
elas por permutar entre si}: 
2*PC(5) = 2*(5 – 1)! � 2*PC(5) = 2*4! � 2*PC(5) = 48 
Logo, o número de disposições em que Vera e Isadora não estão 
juntas é: 120 – 48 = 72. 
 
QUESTÃO 12 
De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma 
roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas? 
 
SOLUÇÃO 
Considere todas as mulheres uma pessoa só e aplique a 
permutação circular com os 6 homens (Teremos uma permutação 
circular de 7 elementos). 
PC(7) = (7 – 1)! � PC(7) = 6! � PC(7) = 720 
Note que as mulheres podem permutar entre si (Teremos 
permutação simples das 5 mulheres). 
P5 = 5! = 120 
Multiplicando os dois teremos: 
PC(7)*P5 = 720*120 = 86400 modos 
 
 
ARRANJO SIMPLES 
 
QUESTÃO 01 
Num ônibus há 10 lugares. Se seis pessoas entrarem nesse 
ônibus, então, quantas maneiras diferentes podemos encontrá-las 
sentadas? 
 
SOLUÇÃO 
Temos um arranjo simples de 10 termos (número de cadeiras) 
tomados 6 a 6 (número de pessoas). 
A10,6 = 10*9*8*7*6*5 
 
QUESTÃO 02 
Um torneio de xadrez no qual cada jogador joga com todos os 
outros, uma única vez, tem 351 partidas. O número de jogadores 
que disputam o torneio é: 
a) 19 c) 23 e) 27 
b) 22 d) 26 
 
SOLUÇÃO 
Trata-sede uma questão sobre arranjo simples de n termos 
tomados 2 a 2. Assim temos: 
An,2 = n!/[2!(n – 2)!] = 351 � n*(n – 1)/2 = 351 
 n² – 2 – 702 = 0 
Resolvendo essa equação do 2° grau encontramos como resposta 
n = 27. 
 
QUESTÃO 03 
(Concurso de professor da Bahia) Seis amigos - Alfredo, Bruno, 
Caio, Davi, Eduardo e Fred - vão participar de um evento e devem 
formar três duplas, de modo que, em cada dupla, haja um líder e 
um auxiliar, podendo qualquer um dos amigos ser escolhidos líder 
de dupla ou auxiliar. Calcule o número de maneiras diferentes de 
os seis amigos poderem organizar-se. 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se de arranjo, pois temos a distinção de "um líder e um 
auxiliar". 
Arranjo de 6 tomados 2 a 2: A6,2 = 30 
Arranjo de 4 tomados 2 a 2: A4,2 = 12 
Arranjo de 2 tomados 2 a 2: A2,2 = 2 
Número de maneiras diferentes de os seis amigos poderem 
organizar-se: A6,2*A4,2*A2,2 = 30*12*2 = 720 
 
QUESTÃO 04 
Numa promoção feita por uma conhecida empresa fabricante de 
refrigerantes, em cada tampinha vinha um prognóstico com relação 
ao primeiro, segundo e terceiro colocados, respectivamente, dentre 
os vinte e quatro participantes da 15ª Copa do Mundo de Futebol. 
Para ser contemplada, uma pessoa devia possuir uma tampinha 
que, ao final do campeonato, trouxesse, na ordem, os primeiros 
classificados. Assim, para ter a certeza de ser premiada, quantas 
tampinhas, no mínimo, uma pessoa deveria juntar, antes do início 
da copa? 
 
SOLUÇÃO 
 
10 
Trata-se de um problema que envolve conhecimentos de arranjo 
simples, pois a ordem que os times aparecem no prognóstico 
influencia na sua classificação. 
O n° mínimo de tampinhas é dado pelo arranjo das 24 seleções 
tomadas 3 a 3. Assim temos: 
24! 24 23 22 21!24,3 (24 3)!A
× × ×
= =
− 21!
12144 tampinhas= 
 
QUESTÃO 05 
Quantos jogos serão disputados pelos times Vasco da Gama, 
Flamengo, Fluminense e Botafogo em um torneio de futebol 
dividido em dois turnos? 
 
 
SOLUÇÃO 
Como são dois turnos trata-se de um arranjo simples (se fosse 
apenas um turno seria uma combinação simples). 
Então temos arranjo de 4 tomados 2 a 2: 
4! 4 3 2!4, 2 (4 2)!A
× ×
= =
− 2!
12 jogos= 
 
QUESTÃO 06 
Uma banda de rock deve escolher 10 músicas, dentro de um 
conjunto de 15 músicas, para formar seu novo CD. A ordem da 
escolha é importante, pois é a sequência em que as músicas 
aparecerão no CD. Quantas escolhas são possíveis? 
 
SOLUÇÃO 
Primeiro temos que a ordem das músicas é importante e, por 
último, que será preciso escolher 10 dentre 15 músicas para 
montar o CD. Portanto, trata-se de um arranjo simples de 15 
elementos tomados 10 a 10. Assim: 
A15,10 = 10897286400 possibilidades de fazer o CD. 
 
QUESTÃO 07 
Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos 
resultados são possíveis para os três primeiros lugares? 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se de um arranjo simples, pois a ordem em que os times são 
dispostos formam conjuntos diferentes. Assim teremos arranjo de 
20 times tomados 3 a 3: 
A20,3 = 6840 possibilidades de formação. 
 
QUESTÃO 08 
Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, 
quantos jogos são disputados? 
 
SOLUÇÃO 
Se fosse um único turno teríamos uma combinação, mas com se 
trata de dois turno temos um arranjo simples de 6 times tomados 2 
a 2. Então temos: 
A6,2 = 30 partidas. 
 
 
 
QUESTÃO 09 
Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes 
devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de 
partida e de chegada respectivamente? 
 
SOLUÇÃO 
Como a ordem das estações faz diferença (estação de partida e 
estação de chegada) temos, portanto um arranjo simples de 16 
elementos tomados 2 a 2. Então teremos: 
A16,2 = 240 tipos de bilhetes. 
 
QUESTÃO 10 
As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, 
Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina, e Miss Noruega. De 
quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e o 
terceiro lugares neste concurso? 
 
SOLUÇÃO 
Como a ordem de colocação das Misses faz diferença, portanto 
temos um arranjo simples de 5 tomados 3 a 3. Então teremos: 
A5,3 = 60 possibilidades. 
 
QUESTÃO 11 
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O 
segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos. Se 
uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer 
(no máximo) para abri-lo (Suponha que a pessoa sabe que o 
segredo é formado por dígitos distintos). 
 
SOLUÇÃO 
Como as ordens que os dígitos são escolhidos dão origem a 
senhas diferentes e os dígitos são distintos, portanto teremos um 
arranjo simples de 10 elementos tomados 3 a 3. Então teremos: 
A10,3 = 720 tentativas. 
 
QUESTÃO 12 
Dez automóveis disputam uma corrida. De quantas maneiras 
diferentes pode ocorrer a classificação dos 3 primeiros colocados 
se não pode haver empate? 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se de um arranjo simples de 10 carros nos quais são 
tomados 3 a 3 (3 primeiros colocados). 
A10,3 = 720 modos diferentes. 
 
 
 
QUESTÃO 13 
Quando havia exatamente 20 quartos vagos em um hotel, 
chegaram 10 hóspedes. O número de maneiras diferentes que 
esses hóspedes podem ser distribuídos nos quartos de modo que 
cada quarto seja ocupado por um único hóspede é: 
a)A10,10 c)A20,2 e)A10,2 
b)A20,20 d)A20,10 
 
SOLUÇÃO 
É só pensar: 
Para o primeiro hóspede vão haver 20 possibilidades. Para o 
segundo que entrar, 19 possibilidades (O primeiro já pegou um 
quarto!). O terceiro, 18 (Já tem dois quartos ocupados!)... O quarto, 
17... E assim vai até o décimo hóspede que terá 11 possibilidades 
dentro das 20 possibilidades iniciais no hotel. 
 
Então fica: 
20*19*18*17*16*15*14*13*12*11 possibilidades. Que é o mesmo 
que A20,10. 
 
QUESTÃO 14 
(ESAF TFC) Em um campeonato participam 10 duplas, todas com 
a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes 
poderemos ter a classificação para os três primeiros lugares? 
a) 240 c) 420 
b) 270 d) 720 
SOLUÇÃO 
Teremos um arranjo simples de 10 tomados 3 a 3: 
10,3
10! 10 9 8 7!
(10 3)!A
⋅ ⋅ ⋅
= =
− 7!
720 maneiras= 
 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
 
QUESTÃO 01 
 
11 
(PROFMAT – 2011.2) Um campeonato com 25 clubes é disputado 
num ano, com um único turno, pelo sistema de pontos corridos 
(cada clube joga uma vez com cada um dos outros). Em cada 
semana há sempre o mesmo número de jogos e não há jogos na 
semana do Natal nem na do Carnaval. O número de jogos que 
devem ser disputados em cada semana é: 
a) 5 c) 8 e) 10 
b) 4 d) 6 
 
SOLUÇÃO 
Como cada clube joga uma vez com cada um dos outros clubes, 
temos que o número de jogos no campeonato será: 
C25,2 = 300 jogos 
Lembre-se que em um ano temos aproximadamente 52 semanas, 
pois 
365 52
7
≅ . 
Sabemos que não há jogos em duas semanas do ano, logo só 
haverá jogos em 50 semanas do ano, assim, o número de jogos 
que serão disputados em cada semana será: 
300 6 jogos por semana
50
= 
 
QUESTÃO 02 
Dez pessoas participaram de uma reunião e no final, cada uma 
cumprimentou outra, apenas uma vez, através de um aperto de 
mão. Quantos apertos de mão foram dados ao todo? 
 
SOLUÇÃO 
10, 2 45 apertos de mãoC = 
QUESTÃO 03 
(ITA-SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos 
formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 
duas das letras a,b, e c? 
a)1692 c)1520 e)1392 
b)1572 d)1512 
 
SOLUÇÃO 
Para escolhermos 4 letras, sem importar a ordem, de modo que 
contenham duas das letra a, b e c, temos: 
C3,2 * C7,2 = 3*21 = 63 modos. 
Como os anagramas são as permutações das 4 letras escolhidas, 
o número de anagramas é: 
C3,2 * C7,2*4! = 3*21*24 = 1512 
 
QUESTÃO 04 
De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser 
dividido em 3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas?SOLUÇÃO 
Os grupos serão divididos em grupos e essas escolhas 
independem da ordem. Uma vez formado o 1° grupo, o número de 
pessoas diminui. 
I) 1ª escolha: 10,5
10! 10 9 8 7 6 5!
5! 5!
C × × × × ×= =
× 5! 5!×
252= 
II) 2ª escolha: 5,3
5! 5 4 3!
3! 2! 3!
C × ×= =
×
10
2!
=
×
 
III) 3ª escolha: 2,2
2! 2!
2! 0!
C = =
× 2!
1
1
=
×
 
Logo há 252x10x1 = 2520 maneiras. 
QUESTÃO 05 
(UFRJ) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do 
livro "Combinatória é fácil" e 5 exemplares de "Combinatória não é 
difícil". Considere que os livros com mesmo título sejam 
indistinguíveis. Determine de quantas maneiras diferentes 
podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois 
exemplares de Combinatória não é difícil nunca estejam juntos. 
 
SOLUÇÃO 
Fixando os livros de combinatória é fácil (F), teremos algo assim: 
_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_ 
Onde “_” são os espaços em brancos que poderemos colocar os 
livros combinatória não é difícil. 
Logo temos 12 possibilidades para colocar os livros, mas só 
dispomos de 5 livros, então desses 12 devemos escolher 5 
espaços, portanto: C12,5*C7,7 = 792*1 = 792 
 
QUESTÃO 06 
De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, 
tendo cada grupo, 4 pessoas? 
 
SOLUÇÃO 
No primeiro grupo temos 12 pessoas tomadas 4 a 4: 
C12,4 = 495 
No segundo grupo (como já foi formado o 1° grupo de 4 pessoas 
12 – 4 = 8 ) temos 8 pessoas tomadas 4 a 4: 
C8,4 = 70 
No terceiro e último grupo (como já foi formado o 1° grupo e o 2° 
grupo e tirado de 4 pessoas em cada 12 – 8 = 4) temos 4 pessoas 
tomadas 4 a 4: 
C4,4 = 1 
Agora vamos multiplicar os resultados encontrados em cada grupo 
e dividir pela permutação entre eles 3!: 
12, 4 8, 4 4,4 495 70 1 5775 modos
3! 3 2 1
C C C× × × ×
= =
× ×
 
 
QUESTÃO 07 
De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 
pessoas cada? 
a) 15 b) 20 e) 95 
c) 35 d) 70 
 
SOLUÇÃO 
Para o primeiro grupo temos: 
C8,4 = 70 
Para o segundo grupo temos: 
C4,4 = 1 
Multiplicando tudo e dividindo por 2! (porque os grupos podem 
permutar entre si, então são contados 2 vezes): 
8,4 4,4 70 1 70 35 modos
2! 2 1 2
C C× ×
= = =
×
 
 
QUESTÃO 08 
Uma equipe de competição com 9 membros, sendo um 
coordenador e seu adjunto, costuma expor seus projetos em 
eventos. Para isso, a delegação enviada deve ser de no mínimo 
dois e no máximo quatro componentes, sendo, pelo menos, um 
desses, o coordenador ou o adjunto. O número de possibilidades 
de se compor cada delegação é de: 
a) 5*31 c) 2³*23 e) 2³*5*31 
b) 5²*31 d) 2²*5*23 
 
SOLUÇÃO 
1) Total de combinações: 
9,2 9,3 9,4 36 84 126 246C C C+ + = + + = 
2) Combinações que não têm nem o coordenador nem o adjunto: 
7,2 7,3 7,4 21 35 35 91C C C+ + = + + = 
Para finalizar vamos encontrar o número de possibilidades de se 
compor uma delegação subtraindo o 2 do 1: 
246 – 91 = 155 = 5*31 
 
12 
 
QUESTÃO 09 
Um grupo de 8 rapazes decidiu acampar e levam duas barracas 
diferentes: uma com capacidade máxima de 3 pessoas e a outra 
de 5 pessoas. De quantos modos diferentes todas as pessoas do 
grupo podem ser alojadas? 
 
SOLUÇÃO 
Na barraca com 5 lugares: Na barraca com 3lugares: 
C8,5 = 56 C3,3 = 1 
As duas barracas juntas: 
C8,5*C3,3 = 56*1 = 56 
 
QUESTÃO 10 
(Unb – DF) Sete pessoas trabalham em um mesmo setor de uma 
fábrica que funciona em três turnos diários. No primeiro turno 
trabalham duas pessoas, no segundo turno trabalham duas e no 
terceiro três. Calcule de quantas maneiras pode-se fazer a escala 
do dia, sabendo-se que as únicas duas mulheres da equipe não 
podem trabalhar no terceiro turno. 
 
SOLUÇÃO 
Temos 5 homens e 2 mulheres e as mulheres não trabalham no 3º 
turno. 
Para o 3° turno temos 5 homens para 3 vagas: C5,3 = 10 
Para o 1° turno temos 7 – 3 = 4 (2 homens e 2 mulheres) para 2 
vagas: C4,2 = 6 
Para o 2° turno temos 4 – 2 = 2 (não se sabe ao certo se são 
homens, mulheres ou homem e mulher) para 2 vagas: C2,2 = 1 
Para encontrar a quantidade de maneiras de se fazer uma escala 
basta multiplicar os valores encontrados: 
C5,3* C4,2* C2,2 = 10*6*1 = 60. 
 
QUESTÃO 11 
De um grupo de 5 mesa tenistas três serão escolhidos para 
representar o Brasil.Quantos trios podemos formar? 
 
SOLUÇÃO 
Temos uma combinação simples de 5 tomados 3 a 3. Assim: 
C5,3 = 5!/2!*3! = 5*4*3!/2*3! = 10 
 
 
QUESTÃO 12 
(CEFET – MG) O dono de um sítio tem 6 vacas e alguns porcos. 
Ao agrupar seus animais em grupos de 3 vacas e 2 porcos, 
observou que havia 720 maneiras diferentes de fazê-lo. O número 
de porcos do sítio é igual a: 
a) 5 c) 8 e) 10 
b) 6 d) 9 
 
SOLUÇÃO 
C6,3*Cn,2 = 720 
(6!/3!.3!)*(n!/2!(n-2)!) = 720 
10*n*(n-1) = 720 
n² – n – 72 = 0 
n = 9 porcos 
 
QUESTÃO 13 
(IME – 2007) Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas 
irmãos, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três 
e quatro integrantes. Sabendo que os dois irmãos não podem ficar 
na mesma equipe, o número de equipes que podem ser 
organizadas é: 
a) 288 c) 480 e) 960 
b) 455 d) 910 
 
SOLUÇÃO 
Caso não houvesse restrição teríamos: 
 C9,2*C7,3*C4,4 = 1260 
Se os 2 irmãos estivessem no grupo de 2 pessoas: 
C2,2*C7,3*C4,4 = 35 
Se os 2 irmãos estivessem no grupo de 3 pessoas: 
C7,1*C6,2*C4,4 = 105 
Se os 2 irmãos estivessem no grupo de 4 pessoas: 
C7,2*C5,2*C3,3 = 210 
Logo, temos 35 + 105 + 210 = 350 possibilidades de formar grupos 
em que os dois irmãos estão juntos. 
Daí, o nº procurado é 1260 – 350 = 910. 
 
QUESTÃO 14 
Teresa pretende convidar 5 de 11 amigos para um jantar em sua 
casa. 
 
(a) Quantas escolhas Teresa possui, se 2 dos 11 amigos são 
desafetos e não aceitam estar juntos? 
SOLUÇÃO 
R = Total – (caso em que escolhe os dois amigos desafetos juntos) 
R = C11,5 – C9,3 (escolhidos eles, restaram 3 amigos de 9 para 
convidar) 
R = 378 
 
(b) Quantas escolhas Teresa tem, se 3 dos 11 amigos não aceitam 
participar do jantar a menos que juntos? 
SOLUÇÃO 
1 – Se nessa escolha, não incluir os 3 amigos teremos o seguinte: 
C8,5 = 56; 
2 – Se nessa escolha, incluir os 3 amigos teremos o seguinte: 
C8,2 = 28. 
Encontrando o número de escolhas: C8,5 + C8,2 = 84 
 
QUESTÃO 15 
De quantas maneiras diferentes podemos colocar 8 livros em 3 
gavetas de modo que fiquem 2 na primeira gaveta,3 na segunda 
gaveta e 3 na terceira gaveta? 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se de uma combinação simples. Onde temos: 
1 – Na primeira gaveta (8 tomados 3 a 3): C8,3 = 56; 
2 – Na segunda gaveta (8 – 3 = 5 tomados 2 a 2): C5,2 = 10; 
3 – Na terceira gaveta (5 – 2 = 3 tomados 3 a 3): C3,3 = 1. 
Para encontrar o número de maneiras é só multiplicar os valores 
encontrados: 
C8,3*C5,2*C3,3 = 56*10*1 = 560 possibilidades. 
 
QUESTÃO 16 
Um piano de brinquedo possui 7 teclas, que emitem sons distintos 
entre si, correspondentes às 7 notas. Se forem pressionadas, ao 
mesmo tempo, no mínimo 3 e no máximo 6 teclas, o total de sons 
diferentes que podem ser obtidos é de: 
a) 21 c) 42 e) 98 
b) 28 d) 63 
 
SOLUÇÃO 
Como a ordem não importa se trata de uma combinação, portanto: 
C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 = 98 
 
QUESTÃO 17 
Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 
engenheiros. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem 
ser formadas com, pelo menos, 1 geólogo? 
 
SOLUÇÃO 
Com 1 geólogo: 
C3,1*C4,2 = 3*6 = 18 {Pois os geólogos tem uma vaga e os 
engenheiros tem 2 vagas}. 
Com 2 geólogos: 
C3,2*C4,1 = 3*4 = 12 {Pois os geólogos tem 2 vagas e os 
engenheiros tem 1 vaga}. 
Com 3 geólogos: 
C3,3*C4,0 = 1*1 = 1 {Pois os geólogos tem 3 vagas e o 
engenheiros nenhuma}. 
Então o número de comissões possíveis é: 
 
13 
C3,1*C4,2 + C3,2*C4,1 + C3,3*C4,0 = 18 + 12 + 1 = 31 
 
QUESTÃO 18 
Adriana tem dinheiro apenas para ir ao parque de diversõese 
brincar em apenas um dos 7 brinquedos disponíveis ou ir ao 
cinema e assistir apenas um filme dos 5 disponíveis. Dessa forma 
de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir? 
a) 35 c) 24 
b) 64 d) 12 
 
SOLUÇÃO 
Se Adriana resolver ir ao parque: 
C7,1 = 7 
Se resolver ir ao cinema: 
C5,1 = 5 
Então o número de maneiras diferentes que ela pode se divertir é: 
C7,1 + C5,1 = 7 + 5 = 12 
 
QUESTÃO 19 
Uma equipe de corrida de aventura é composta por quatro 
membros, sendo um deles obrigatoriamente mulher. Dez pessoas 
foram convidadas a participar da seleção da equipe, das quais 4 
são mulheres. Quantas equipes diferentes podem formar com esse 
grupo? 
a) 250 c) 240 e) 300 
b) 195 d) 210 
 
SOLUÇÃO 
Temos 10 pessoas = 4 mulheres e 6 homens. 
Equipe com 1 mulher e 3 homens: 
C4,1*C6,3 = 4*20 = 80 
Equipe com 2 mulheres e 2 homens: 
C4,2*C6,2 = 6*15 = 90 
Equipe com 3 mulheres e 1 homem: 
C4,3*C6,1 = 4*6 = 24 
Equipe com 4 mulheres e nenhum homem: 
C4,4*C6,0 = 1*1 = 1 
Então o número de equipes diferentes é: 
C4,1*C6,3+C4,2*C6,2+C4,3*C6,1+C4,4*C6,0 = 
80 + 90 + 24 + 1 = 195 
 
QUESTÃO 20 
(Concurso para professor da Bahia) Seis amigos - Alfredo, Bruno, 
Caio, Davi, Eduardo e Fred - vão participar de um evento e devem 
formar três duplas, de modo que não haja liderança, isto é, os dois 
membros de cada dupla tenham as mesmas responsabilidades. 
Calcule o número de maneiras diferentes de os seis amigos 
poderem organizar-se. 
 
SOLUÇÃO 
Nesse caso temos uma combinação simples. 
C6,2*C4,2*C2,2 = 15*6*1 = 90 
 
QUESTÃO 21 
De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo 
menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres? 
 
SOLUÇÃO 
Grupo formado por 2 mulheres e 4 homens: 
C4,2*C7,4 = 6*35 = 210 
Grupo formado por 3 mulheres e 3 homens: 
C4,3*C7,3 = 4*35 = 140 
Grupo formado por 4 mulheres e 2 homes: 
C4,4*C7,2 = 1*21 = 21 
O número de modos de escolha é: 
C4,2*C7,4 + C4,3*C7,3 + C4,4*C7,2 = 210 + 140 + 21 = 371. 
 
QUESTÃO 22 
Quantas somas podem ser formadas usando 5 moedas de valores 
diferentes. 
 
SOLUÇÃO 
Para uma única moeda: 
C5,1 = 5 
Para duas moedas: 
C5, 2 = 10 
Para três moedas: 
C5,3 = 10 
Para quatro moedas: 
C5,4 = 5 
Para cinco moedas: 
C5,5 = 1 
Somando tudo: 
C5,1 + C5, 2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31 
 
QUESTÃO 23 
De quantos modos podemos repartir 8 brinquedos diferentes entre 
3 garotos, sendo que os dois mais velhos recebam 3 brinquedos 
cada e o mais novo 2 brinquedos? 
 
SOLUÇÃO 
Para o primeiro garoto mais velho temos uma combinação simples 
de 8 brinquedos tomados 3 a 3: 
C8,3 = 56 
Para o segundo garoto mais velho temos uma combinação simples 
de 8 – 3 = 5 (pois já foram retirado 3 pelo primeiro menino) 
brinquedos tomados 3 a 3: 
C5,3 = 10 
Para o último e mais novo garoto temos uma combinação simples 
de 5 – 3 = 2 (pois já foi retirado 3 pelo segundo menino) 
brinquedos tomados 2 a 2: 
C2,2 = 1 
Multiplicando tudo temos: 
C8,3*C5,3*C2,2 = 56*10*1 = 560 
 
QUESTÃO 24 
Num exame, um professor entregou aos alunos uma prova com 10 
questões, das quais eles deveriam escolher seis. De quantas 
maneiras os alunos poderiam responder a prova, considerando-se 
que, em cada uma, pelo menos 4 das questões escolhidas 
deveriam estar entre as sete primeiras da prova entregue pelo 
professor? 
 
SOLUÇÃO 
Escolher 4 questões das 7 primeiras e 2 questões das 3 últimas: 
C7,4*C3,2 = 35*3 = 105 maneiras 
Escolher 5 questões das 7 primeiras e 1 questão das 3 últimas: 
C7,5*C3,1 = 21*3 = 63 maneiras 
Escolher 6 questões das 7 primeiras e nenhuma das 3 últimas: 
C7,6*C3,0 = 7*1 = 7 maneiras 
A quantidade de maneiras possíveis que os alunos podem fazer 
isso é somando tudo. Assim temos: 
C7,4*C3,2 + C7,5*C3,1 + C7,6*C3,0 = 105 + 63 + 7 = 175 
 
QUESTÃO 25 
(MAPOFEI - 76) Um químico possui 10 (dez) tipos de substâncias. 
De quantos modos possíveis poderá associar 6 (seis) dessas 
substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser 
juntadas porque produzem mistura explosiva? 
 
SOLUÇÃO 
Sendo maneiras de associar 6 substâncias entre 
10 e maneiras de associar 6 substâncias em que as 
duas estão inclusas. 
Portanto, 
 
QUESTÃO 26 
(UFSM – RS) Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecido 
é detectada pelo médico, se o paciente apresentar 4 ou mais 
 
14 
desse sintomas. Para que seja feito um diagnóstico seguro, o 
número de combinações possíveis de sintomas diferentes é: 
a) 1 c) 21 e) 64 
b) 7 d) 35 
 
SOLUÇÃO 
Como a ordem não interessa e sim o número de sintomas trata-se 
de uma combinação simples, onde está se dizendo que a 
enfermidade será confirmada se tiver no mínimo 4 sintomas, pode 
ter 4 ou 5 ou 6 ou até 7. 
Para que o diagnóstico seja feito com segurança. Temos o 
seguinte: C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 = 64 
 
QUESTÃO 27 
De quantas maneiras podem-se distribuir 12 brinquedos diferentes 
entre três crianças, de modo que cada uma receba quatro 
brinquedos? 
a) 23560 c) 32742 
b) 480 d) 34650 
 
SOLUÇÃO 
Trata-se de uma Combinação Simples, pois a ordem que é dado 
os brinquedos não altera os brinquedos que a criança recebe. 
Criança 1 (12 tomados 4 a 4): 
Criança 2 (8 tomados 4 a 4): 
Criança 3 (4 tomados 4 a 4): 
O número de maneiras que os brinquedos podem ser 
distribuídos: 
 
 
QUESTÃO 28 
Num acampamento estão 14 jovens sendo 6 paulista , 4 cariocas e 
4 mineiros.Para fazer a limpeza do acampamento será formado 
por uma equipe com 2 paulista ,1 carioca e 1 mineiro escolhido ao 
acaso.O número de maneiras possíveis para se formar essa 
equipe de limpeza é: 
 
SOLUÇÃO 
C6,2*C4,1*C4,1 = 15*4*4 = 240 maneiras 
 
QUESTÃO 29 
Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De 
quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse 
grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico entre os 
escolhidos? 
a) 140 c) 285 e) 392 
b) 240 d) 336 
 
SOLUÇÃO 
Encontrando o número de maneiras de formar o grupo: 
C10,4 = 210 maneiras. 
Quando pensamos que haja pelo menos um daltônico entre os 
escolhidos, isso que dizer que pode ter um ou dois. O que não 
pode acontecer é de não haver nenhum daltônico, ou seja, tiramos 
isso do total de maneiras possíveis. 
Encontrando o número de maneiras que não haja daltônicos no 
grupo (10 – 2 = 8 pessoas não daltônicas): 
C8,4 = 70 
Encontrando o número de maneiras de que haja pelo menos um 
daltônico no grupo: 210 – 70 = 140 
 
QUESTÃO 30 
Nove pessoas desejam subir à cobertura de um edifício, dispondo, 
para isso, de dois elevadores, um com 4 lugares e outro com 5 
lugares. O número de formas de distribuí-las nos elevadores é: 
a) 630 c) 180 e) 126 
b) 252 d) 378 
 
SOLUÇÃO 
Podemos distribuir primeiro no elevador de 4 lugares e depois no 
de 5 lugares, ou podemos primeiro no de 5 lugares e depois no de 
4 lugares, por tanto, existe essas duas possibilidades. 
2*C9,4*C5,5 = 2*126 � 2*C9,4*C5,5 = 252 
QUESTÃO 30 
Num determinado setor de um hospital trabalham 5 médicos e 10 
enfermeiros.Quantas equipes distintas, constituídas cada uma por 
1 médico e 4 enfermeiros podem ser formadas nesse setor? 
 
SOLUÇÃO 
Encolhendo os médicos: C5,1 = 5 
Escolhendo os enfermeiros: C10,4 = 210 
Encontrando o número de equipes: C5,1*C10,4 = 5*210 = 1050 
 
COMBINAÇÃO COMPLETA 
 
QUESTÃO 01 
Qual é o número total de maneiras distintas de se distribuir 20 
notas, de R$100,00 cada uma, entre 4 pessoas? 
 
SOLUÇÃO 
C23,20 = 1771 
Você pode usar: ache o número de soluções da equação abaixo. 
Aqui no nosso fórum há algumas questões que fala desse assunto. 
a + b + c + d = 20 
 
 
QUESTÃO 02 
(ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da 
equação x + y + z + w = 5 é: 
a) 36 c) 52 e) 56 
b) 48 d) 54 
 
SOLUÇÃO 
Um raciocínio alternativo, seria o seguinte:Temos que parti 5 unidades em 4 partes ordenadas,de modo que 
fique cada parte um número maior ou igual a zero. 
Indiquemos cada unidade por um ponto então elas serão 
representadas por: 
|. . . . .| 
Como queremos dividir as 5 unidades em 4 parte,vamos usar 3 
barras para fazer a separação. 
Cada modo de dispormos os pontos e as barras dará origem a 
uma solução. 
Por Exemplo: 
|.|..|.|.| 
|..|..|.|0| 
Ora, como temos 8 símbolos 5 . e 3 | 
Os números de soluções inteiras e não negativa da Equação 
x+y+z+w=5 é: 
N=8!/5!*3! 
N=8*7*6*5!/5!*3! 
N=8*7*6/3*2*1 
N=8*7 
N=56 
 
QUESTÃO 03 
Uma indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em caixas 
de 20 balas, de um só tipo ou sortidas. Quantos tipos de caixas 
podem ser montados? 
 
SOLUÇÃO 
A equação fica assim: x + y + z + u + v = 20. 
4 : nº de sinais de mais; 
20: solução. 
Faça a combinação simples de (20 + 4) tomados 20 a 20: 
C24,20 = 10626 tipos de caixas 
 
QUESTÃO 04 
 
15 
De quantos modos podemos compras 3 refrigerantes em uma loja 
onde há 5 tipos de refrigerantes? 
 
SOLUÇÃO 
A equação fica assim: x + y + k + z + w = 3. 
4: n° de sinais de mais; 
3: solução. 
Faça a combinação simples de (3 + 4) tomados 3 a 3: 
C7,3 = 35 modos 
 
QUESTÃO 05 
Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z = 5? 
 
SOLUÇÃO 
2: n° de sinais de mais; 
5: solução. 
Faça a combinação simples de (2 + 5) tomados 5 a 5: 
C7,5 = 21 soluções 
 
QUESTÃO 06 
Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De 
quantas formas uma pessoa pode escolher cinco pastéis? 
a) 18 c) 15 e) 25 
b) 21 d) 35 
 
SOLUÇÃO 
Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a 
seguinte equação: c + q + p = 5 
2: n° de sinais de mais; 
5: solução. 
Faça a combinação simples de (2 + 5) tomados 5 a 5: 
C7,5 = 21 soluções. 
 
QUESTÃO 07 
Uma mercearia tem em seu estoque, pacotes de café de 6 marcas 
diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. De 
quantas formas pode fazê-lo? 
 
SOLUÇÃO 
Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a 
seguinte equação: a + b + c + d + e + f = 8 
5: n° de sinais de mais; 
8: solução. 
Faça a combinação simples de (5 + 8) tomados 8 a 8: 
C13,8 = 1287 formas. 
 
QUESTÃO 08 
Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa, deseja 
comprar 3 doces. De quantas formas isto pode ser feito? 
 
SOLUÇÃO 
Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a 
seguinte equação: a + b + c + d + e = 3 
4: n° de sinais de mais; 
3: solução. 
Faça a combinação simples de (4 + 3) tomados 3 a 3: 
C7,3 = 35 formas. 
 
QUESTÃO 09 
Temos duas urnas A e B. De quantas formas podemos colocar 5 
bolas indistinguíveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar 
vazia? 
 
SOLUÇÃO 
Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a 
seguinte equação: a + b = 5 
1: n° de sinais de mais; 
5: solução. 
Faça a combinação simples de (1 + 5) tomados 5 a 5: 
C6,5 = 6 formas. 
 
QUESTÃO 10 
De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que 
os oferece em 7 sabores? 
 
SOLUÇÃO 
Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a 
seguinte equação: a + b + c + d + e + f + g = 4 
6: n° de sinais de mais; 
4: solução. 
Faça a combinação simples de (6 + 4) tomados 4 a 4: 
C10,4 = 210 modos. 
 
QUESTÃO 11 
Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z ≤ 5? 
 
SOLUÇÃO 
As soluções inteiras e não negativas de x + y + z ≤ 5 dividem-se 
em vários grupos: 
x + y + z = 5 {2 ‘+’ e 5 ‘solução’ � C7,5}; 
x + y + z = 4 {2 ‘+’ e 4 ‘solução’ � C6,4}; 
x + y + z = 3 {2 ‘+’ e 3 ‘solução’ � C5,3}; 
x + y + z = 2 {2 ‘+’ e 2 ‘solução’ � C4,2}; 
x + y + z = 1 {2 ‘+’ e 1 ‘solução’ � C3,1}; 
x + y + z = 0 {2 ‘+’ e 0 ‘solução’ � C2,0}. 
Basta somar tudo: 
C7,5 + C6,4 + C5,3 + C4,2 + C3,1 + C2,0 = 
21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56 
 
 
QUESTÃO 12 
Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação 
x + y + z ≤ 20 com x ≥ 2, y ≥ 2 e z ≥ 2? 
 
SOLUÇÃO 
O problema que sabemos resolver é contar as soluções inteiras 
com as variáveis sendo maiores ou iguais a zero. Para fazer um 
problema recai no outro, pomos: 
x = a + 2; 
y = b + 2; 
z = c + 2. 
Substituindo os novos valores na equação inicial: 
a + 2 + b + 2 + c + 2 = 20 � a + b + c = 20 – 6 � a + b + c = 14. 
 
Na nova equação temos: 
2: n° de sinais positivos; 
14: solução. 
Faça a combinação simples de (2 + 14) tomados 14 a 14: 
C16,14 = 120 modos. 
 
QUESTÃO 13 
Quantas são as soluções inteiras não negativas de 
x + y + z + w < 6? 
 
SOLUÇÃO 
A inequação x + y + z + w < 6 possui uma relação biunívoca com a 
equação x + y + z + w + f = 5 (porque o primeiro inteiro menor que 
6 é o 5). Assim teremos: 
4: n° de sinais positivos; 
5: solução. 
Faça a combinação simples de (4 + 5) tomados 5 a 5: 
C9,5 = 126 formas. 
 
QUESTÃO 14 
A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em 
caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas 
caixas diferentes podem ser formadas? 
 
SOLUÇÃO 
Oito tipos de bombons: x, y, z, k, w, t, u, v. São vendidos em caixas 
contendo 30 unidades: x + y + z + k + w + t + u + v = 30. Assim 
temos: 
 
16 
7: n° de sinais positivos; 
30: solução. 
Faça a combinação simples de (7 + 30) tomados 30 a 30: 
C37,30 = 10 295 472 caixas diferentes. 
 
QUESTÃO 15 
Quantas são as soluções inteiras e não negativas de 
x + y + z < 10? 
 
SOLUÇÃO 
A inequação x + y + z < 10. Agora note que é pedido as soluções 
positivas, ou seja, maiores que zero. Portanto: 
x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. 
A nova inequação fica a + 1 + b + 1 + c + 1 < 10 � a + b + c < 7 e 
ela possui uma relação biunívoca com a equação a + b + c + f = 6 
(porque o primeiro inteiro menor que 7 é o 6). 
3: n° de sinais positivos; 
6: solução. 
Faça a combinação simples de (3 + 6) tomados 6 a 6: 
C9,6 = 84 soluções. 
 
QUESTÃO 16 
Quantas são as soluções inteiras positivas x + y + z = 10? 
 
SOLUÇÃO 
A equação x + y + z = 10. Agora note que é pedido as soluções 
positivas, ou seja, maiores que zero. Portanto: 
x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. 
A nova equação fica a + 1 + b + 1 + c + 1 = 10 � a + b + c = 7. 
2: n° de sinais positivos; 
7: solução. 
Faça a combinação simples de (2 + 7) tomados 7 a 7: 
C9,7 = 36 soluções. 
 
QUESTÃO 17 
Quantas soluções inteiras positivas têm a equação: x*y*z*k = 512? 
a) 220 c) 135 e) 48 
b) 210 d) 72 
 
SOLUÇÃO 
512=29 
x.y.z.k = 29 
Reescrevendo: 
2t.2n.2m.2p =29 
2(t+n+m+p) = 29 
Logo, t + n + m + p = 9 
Usando o método "pau-bola": 
ooo | | | | | | | | | 
Permutando: 
9,3 9,3
12 12
12! 220 soluções
9!3!
P P= ⇒ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
[1] HAZZAN, S.: Fundamentos de Matemática Elementar: Combinatória Probabilidade. 3 ed. São Paulo: Atual, v. 5, (ano). 
 
[2] MORGADO, A.O.L.; CARVALHO, J.B.P.; CARVALHO, P.C.P.; FERNADEZ, P.; Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de 
Janeiro: SBM, 1991. 
 
Sites acessados: 
 
http://pir2.forumeiros.com/f48-probabilidades-e-analise-combinatoria 
 
http://cursomentor.files.wordpress.com/2010/06/lista-de-exercicios-e28094-analise-combinatoria-v-1.pdf 
 
http://fortium.edu.br/blog/vanderlan_marcelo/files/2010/04/Folha-de-matem%C3%A1tica_Fortium_ANVISA_Anal-Comb-e-
Probabilidade.pdf