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 Figura 4 
 
 
Para verificar a existência de um ponto de inflexão ( )( )kf,kP no gráfico de uma função f, basta 
verificar a mudança de sinal da segunda derivada na passagem por k. 
 
Observe simbolicamente como isto ocorre: 
 
Na figura 3 temos 
 
 
Na figura 4 temos 
 
 
 
 
Exemplo 48. 
 
Determine os intervalos onde a função ( ) 24 x4xxf −= tem concavidade voltada para cima, para 
baixo e os pontos de inflexão. 
Álvaro Fernandes 69
Temos que ( ) x8x4x´f 3 −= e ( ) 8x12x´´f 2 −= . 
 
( )
3
2x
3
2x
3
2
12
8x08x120x´´f 22 −<>⇒=>⇒>−⇒> ou . 
 
( )
3
2x
3
2
3
2
12
8x08x120x´´f 22 <<−⇒=<⇒<−⇒< . 
 
 
 
Assim, f tem C.V.C. no intervalo ( ) ( )∞+∪−∞− ,3232, e tem C.V.B. em 
( )32,32 − . Os pontos de inflexão ocorrem nas abscissa 
3
2x0 −= e 3
2x1 = . 
 
 
 
 
Assíntotas horizontais e verticais 
 
Em algumas aplicações práticas, encontramos gráficos que se aproximam de uma reta. 
 
 
 
Estas retas são chamadas de assíntotas. 
 
Vamos tratar mais detalhadamente das assíntotas horizontais e verticais. 
Álvaro Fernandes 70
Definição: A reta de equação kx = é uma assíntota vertical do gráfico de uma função ( )xfy = , 
se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: 
 
i) ( ) +∞=+→ xflimkx ; 
 
ii) ( ) +∞=−→ xflimkx ; 
 
iii) ( ) −∞=+→ xflimkx ; 
 
iv) ( ) −∞=−→ xflimkx . 
 
 
Exemplo 49 
 
a) A reta de equação 0x = é assíntota vertical da função ( )xlny = , pois ( ) −∞=+→ xlnlim0x . 
 
Observe o gráfico da função ( )xlny = : 
 
 
 
 
 
 
b) A reta de equação 1x = é assíntota vertical da função ( )21x
ly −= , pois ( ) +∞=−→ 21x 1x
1lim . 
 
Observe o gráfico da função ( )21x
ly −= : 
 
 
 
 
 
Álvaro Fernandes 71
Definição: A reta de equação ky = é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função 
( )xfy = , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: 
 
i) ( ) kxflim
x
=
+∞→
 ; 
 
ii) ( ) kxflim
x
=
−∞→
 . 
 
 
Exemplo 50 
 
a) A reta de equação 1y = é assíntota horizontal da função 2
2
x1
1xy +
−= , pois 1
x1
1xlim 2
2
x
x
=+
−
−∞→
+∞→
 
ou
. 
Observe o gráfico da função 2
2
x1
1xy +
−= : 
 
 
 
 
b) A reta de equação 0y = é assíntota horizontal da função ( )
x
xseny = , pois ( ) 0
x
xsenlim
x
x
=
−∞→
+∞→
 
ou
. 
Graficamente podemos perceber que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude e o gráfico da 
função ( )
x
xseny = vai se aproximando da reta 0y = . 
 
 
 
 
Percebemos neste exemplo que a assintota horizontal toca o gráfico da função. 
 
 
Álvaro Fernandes 72
Esboços de gráficos 
 
Utilizando todos os resultados da análise gráfica das funções, podemos resumir numa tabela os 
procedimentos para esboçar o gráfico de uma função. 
 
Passos Procedimento 
 
1o Encontrar o domínio da função; 
2o Calcular os pontos de interseção da função com os eixos (quando não requer muito cálculo); 
3o Calcular os pontos críticos da função; 
4o Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função; 
5o Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos da função; 
6o Determinar a concavidade e os pontos de inflexão; 
7o Determinar as assíntotas horizontais e verticais (se existirem); 
8o Esboçar o gráfico. 
 
 
Exemplo 51. Esboce o gráfico da função ( )
1x
xxfy 2 −== . 
 
 
1o passo (Domínio): 
 
1x1x1x01x 22 ±≠⇒±≠⇒≠⇒≠− . Logo ( ) { }1,1fD −−ℜ= . 
 
 
2o passo (Pontos de interseção com os eixos): 
 
( )
( )


=⇒−==
=⇒−==
 ponto mesmo O : ) (faça eixo o com
 ponto o temosLogo : ) (faça eixo o com
.0,0.0y
10
0y0xy
.0,0.0x
1x
x00yx
2
2
 
 
 
3o passo (Pontos críticos): 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )22
2
22
2
1x
1x...
1x
x2x1x1x'f −
−−==−
−−= . 
 
( ) ( ) 1x01x01x
1x0x'f 2222
2
−=⇔=−−⇔=−
−−⇔= . Não existem pontos críticos, 
pois não existe ℜ∈x tal que 1x2 −= . 
Álvaro Fernandes 73
4o passo (Intervalos de crescimento e decrescimento): 
 
 
 ( ) ( )22
2
1x
1xx'f −
−−= . Estudando o sinal da derivada... 
 
 
 
 
A função é decrescente { }1,1x −−ℜ∈∀ . 
 
 
 
5o passo (Pontos de máximos e mínimos relativos): 
 
Como o sinal de ( )x'f não muda (é sempre negativo), então não existem extremos relativos para f. 
 
 
 
6o passo (Concavidade e pontos de inflexão): 
 
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )
( )32
2
42
2222
1x
3xx2...
1x
x21x21x1xx2x''f −
+==−
−−−−−−= . 
 
Estudando o sinal da segunda derivada... 
 
 
 
 
f tem C.V.C. ( ) ( )∞+∪−∈∀ ,10,1x . 
 
f tem C.V.B. ( ) ( )1,01,x ∪−∞−∈∀ . 
 
 
Como 1x −= e 1x = não fazem parte do domínio da função f , então o único ponto de inflexão é 
0x = pois ''f muda de sinal quando passa por ele. 
Álvaro Fernandes 74
7o passo (Assíntotas horizontais e verticais): 
 
 
 
Vertical: 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )







−=



−∞==−
−=−+=−
+∞==−
−=−+=−
=



−∞===−+=−
+∞===−+=−
−−−→−→
++−→−→
−−→→
++→→
−−
++
−−
++
assíntota. é retaA 
 
 
assíntota. é retaA 
 
 
1x
.
0
1
20
1
1x1x
xlim
1x
xlim
.
0
1
20
1
1x1x
xlim
1x
xlim
1x
.
0
1
02
1
1x1x
xlim
1x
xlim
.
0
1
02
1
1x1x
xlim
1x
xlim
1x21x
1x21x
1x21x
1x21x
 
 
 
 
 
Horizontal: assíntota. é retaA 
 l)(L´Hospita 
 l)(L´Hospita 
0y
.0
x2
1lim
1x
xlim
.0
x2
1lim
1x
xlim
x2x
x2x =



===−
===−
−∞→−∞→
+∞→+∞→
 
 
 
 
8o passo (Esboço do gráfico): 
 
Reunindo todos o elementos calculados, podemos agora traçar o gráfico: 
 
 
 
 
 
Álvaro Fernandes 75
Atividades (grupo 33) 
 
 
Pontos críticos. 
 
1. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem. 
 
a) ( )f x x= +3 2 . d) ( )f x e xx= − . 
 
b) ( )f x x x= − +2 3 8 . e) ( ) ( )4xxxf 2 −= . 
 
c) ( )f x x= −3 3 . f) ( )f x x x= −4 123 2 . 
 
 
Crescimento e decrescimento. 
 
2. Determinar os intervalos nos quais as funções a seguir são crescentes ou decrescentes. 
 
a) ( )f x x= −2 1 . e) ( )f x x e x= −. . 
 
b) ( )f x x x= + +3 6 72 . f) ( )f x x
x
= + 1 . 
 
c) ( )f x x x x= + − +3 22 4 2 . g) ( ) ( ) ( ) [ ]f x x x x= + ∈2 2 0 2cos sen , , π . 
 
d) ( )f x e x= − . h) ( ) ( )1xxxf 2 −= . 
 
 
Pontos de extremos relativos. 
 
3. Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem. 
 
a) ( )f x x x= + +3 23 1 . d) ( )f x x x= −5 255 3 . 
 
b) ( )f x x x= −8 42 3 . e) ( ) ( ) ( )1x1xxf +−= . 
 
c) ( ) ( ) ( ) 5x62x3xxf 23 +−+= . f) ( )f x xex= . 
 
4. Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos da função 
( ) ( ) ( ),x2cosxsen2xf += [ ]π∈ 2,0x , usando o critério da segunda derivada. 
Álvaro Fernandes 76
Concavidade e ponto de inflexão. 
 
5. Determinar os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima (C.V.C.) e 
concavidade voltada para baixo (C.V.B.). Determine também os pontos de inflexão (P.I.). 
 
a) ( )f x x x x= − + +3 22 1 . d) ( ) ( )f x x= −2 21 . 
 
b) ( )f x x x= − +3 4 64 3 . e) ( )f x x= −5 1 . 
 
c) ( )f x x x= −2 66 4 . f) ( )f x xex= . 
 
 
 
Assíntotas. 
 
6. Determine as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo, se existirem. 
 
a) ( )f x x x= − +3 23 2 . 
d) ( )f x x
x x
= −− −
2
2 2
. 
 
b) ( )f x x
x
= −
2
9
2
2 . e) ( ) ( )f x xx=
sen
. 
 
c) ( )f x x
x
= −+
2
9
. f) ( ) ( )f x x
x
= ln3 .