Lista 2

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Lista de Exercícios de Geometria Analítica 
 
1. Determine o vetor v = (vx; vy) que translada do ponto A para o ponto B nos 
itens abaixo: 
(a) A = (1; 3) e B = (4; 4); 
(b) A = (-1;-1) e B = (-3; 4); 
(c) A = (4;-1) e B = (1; 2); 
(d) A = (-2; 2) e B = (3; 0); 
 
2. Responda o que se pede: 
(a) Determine o ponto B tal que o vetor v = (vx; vy) = (1; 2) desloca do ponto A = 
(2; 1) para o ponto B; 
(b) Determine o ponto B tal que o vetor v = (vx; vy) = (5; 2) desloca do ponto A = 
(-2; 1) para o ponto B; 
 
3 – Dados os vetores v=(1,2), w=(-2,3), p=(x,-2) e q=(1,-1), 
a)Encontre α e β tais que: 
q = αv + βw 
b)Encontre x tal que p-2q=(0,0) 
c)Encontre x e α tal que -3p-w=v+αq 
 
4. Resolva as seguintes equações para α e b: 
(a) (2;-3) = α (-2;-1) + (5; b) 
(b) (5; α) = (α; 4) + (b;-10) 
(c)
  )3;0(0;23;2 4 333
1
b




 
; 
 
5 – Seja um barco cuja posição em relação a um farol é dada por: 
N(t)=(10+2t , 15-5t), onde t é o tempo. 
a)Encontre a posição do barco para t=3, t=5 e t=15. 
b)O barco se chocará em algum momento com um recife cujas coordenadas são:R1=( 
15 ; 2,5). Em que tempo? 
c)E no recife localizado em R2=( 18 ; -6)? Justifique a resposta. 
 
6 – Um móvel parte da origem O=(0,0), e após 10 minutos encontra-se em P1=(2,3). 
Move-se então 3km na direção 45º - sudeste, chegando em P2. A partir de P2 move-se 
agora 1km ao norte e 1km a leste chegando em P3. 
a)Quais as coordenadas de P2? 
b)Qual a distância de P2 à origem? 
c)Quais as coordenadas finais de P3? 
d)Qual a distância de P2 a P3? 
e)Qual a distância de P3 em relação à origem? 
 
7. Faça o que se pede: 
(a) Desenhe os vetores a = (3; 2), b = (2;-1) e c = (7; 1). 
 
 
(b) Mostre por um esboço que existem escalares α e β tais que 
c = αa + βb 
 
(c) Faça um esboço para estimar os valores de α e de β. 
(d) Determine os valores exatos de α e de β. 
 
8. Duas forças F1 e F2 com magnitudes 10N e 12N agem sobre um objeto num 
ponto P como mostrado na figura. Determine a força resultante F agindo em P 
assim como 
seu módulo direção e sentido. (Indique a direção determinando o ângulo 
mostrado na figura.) 
 
9. Um barco está tentando atravessar um rio mas está sendo arrastado pela 
correnteza. 
Sem a correnteza, a velocidade do barco seria de 5m/h, atravessando 
diretamente o rio; com o motor desligado, o barco seria empurrado pelo rio com 
uma velocidade de 3m/h rio abaixo. Encontre a velocidade do barco com o 
motor ligado atravessando o rio de fato. (Assuma que as velocidades podem 
ser representadas geometricamente como vetores no plano). 
 
10. Sejam u = (4α; b), v =(1; ½) e w = (4; α) vetores tais que u // v, v // w. 
Suponha também que α, b є R. Determine o vetor u. 
 
11. Um vetor que tem comprimento 10 faz um ângulo de π/6 com o eixo x. 
Encontre suas componentes. 
 
12. O capitão de um barco deseja viajar na direção do sul a 40 milhas náuticas. 
Se a correnteza marítima se move preponderantemente na direção nordeste a 
16 milhas náuticas por hora, em que direção e com que intensidade o barco 
ligado deveria se mover ? 
 
13. A velocidade de uma aeronave em relação ar é chamada “airspeed", 
enquanto que a velocidade absoluta do avião, ‘groundspeed", é a velocidade 
real que resulta dos efeitos combinados da ‘airspeed" e velocidade do vento. 
Suponha que uma velocidade da aeronave em relação ao ar, a ‘airspeed", é 
140mph. Se o avião deseja viajar para a direção oeste e o vento está soprando 
preponderantemente para o norte a 20m/h,encontre a velocidade absoluta do 
avião, a “groundspeed", e a direção do movimento do avião. 
 
 
14. Cordas de 3m e 5m de comprimento são atadas na decoração natalina que 
está suspensa sobre uma praça. A decoração tem massa de 5Kg. As cordas, 
atadas em diferentes alturas, fazem ângulos de 52º. e 40º. com a horizontal. 
Determine a tensão em cada fio e a magnitude de cada tensão. 
 
15 – Dados os vetores v = (2,3), m=(2,2), encontre: 
a)Encontre a e b tais que: 
v = a i + b j 
b)Encontrar o versor em associado a m. 
c)Encontrar um vetor en unitário ortogonal a em 
d)Encontre α e β tais que: 
v = αem + βen 
e)Interpretar α e β geometricamente. 
 
16 - Dados os vetores v=(2,1), w=(-2,3). 
a)Encontre um versor associado a w e um associado a v. 
b)Encontre a projeção de v na direção de w, e projeção de w na direção de v. 
c)Qual o ângulo entre os vetores? 
d)Qual o ângulo entre o vetor u=2v+w com o eixo X?. E com o eixo Y?