Introdução à Transformada de Laplace

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Introdução aos Circuitos Elétricos
A Transformada de Laplace
Prof. Roberto Alves Braga Jr.
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
UFLA - Departamento de Engenharia
A Transformada de Laplace
História
Pierri Simon de Laplace (1749–1827),
astrônomo, matemático e físico francês,
nasceu na localidade de Beumont, Província
da Normandia. Fez importantes contribuições
à mecânica celeste e em sua obra “Theórie
Analitique”(1812) apresenta a transformada que
leva o seu nome, a Transformada de Laplace. Considerado um
dos mais influente cientista francês de toda a história.
A Transformada de Laplace
Introdução
I Importante ferramenta de trabalho em engenharia
I Abordagem de problemas em uma nova dimensão: s
I Principal objetivo:
I Resolver equações diferenciais lineares
I Normalmente vista em disciplinas como cálculo
I Apenas uma breve introdução será apresentada nesta
disciplina
A Transformada de Laplace
Etapas:
1. Um problema difícil é transformado em uma equação
simples (equação subsidiária)
2. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações
puramente algébricas
3. A resolução da equação subsidiária é transformada
novamente para se obter a solução do problema dado
(tabela)
A Transformada de Laplace
Definição:
I Seja f(t) uma função qualquer no domínio do tempo
(t > 0). Assim a transformada de Laplace de f(t) é dada
por:
L{f(t)} = F(s) =
∫ ∞
0
e−s t f(t) dt
sendo s um número complexo: s = σ+ jω
I Não vamos entrar em detalhes sobre condições e
definições, vamos aprendê-la por meio de exemplos
I Inicialmente faremos a transformada de algumas funções
e depois veremos algumas aplicações
A Transformada de Laplace
Exemplo 1: A função degrau
I f(t) = 1 quando t > 0. Encontrar L{f(t)}
L{f(t)} = L{ 1 } = F(s),
F(s) =
∫ ∞
0
e−s t dt = −1
s
e−s t
∣∣∣∣∣∣∣
∞
0
Assim, quando s > 0,
L{1} = 1
s
A Transformada de Laplace
Exemplo 2: A função exponencial
I f(t) = eα t quando t > 0 e α é constante. Encontrar L{f(t)}
L{f(t)} = L{ eα t } = F(s),
F(s) =
∫ ∞
0
eα t e−s t dt =
∫ ∞
0
e−(s−α) t dt
=
−1
s − αe
−(s−α) t
∣∣∣∣∣∣∣
∞
0
A Transformada de Laplace
Exemplo 2: A função exponencial
F(s) =
∫ ∞
0
eα t e−s t dt =
∫ ∞
0
e−(s−α) t dt
=
−1
s − αe
−(s−α) t
∣∣∣∣∣∣∣
∞
0
Assim, para s − α > 0,
L{eα t } = 1
s − α(−e
−(s−α)∞ + e−(s−α)0)
L{eα t } = 1
s − α
A Transformada de Laplace
Algumas propriedades da Transformada de Laplace
I Linearidade:
a x(t) + b y(t) L←→ a X(s) + b Y(s)
I Derivada:
L{f ′} = sL{f } − f(0)
L{f (n)} = snL{f } − sn−1f(0) − sn−2f ′(0) − . . . − f (n−1)(0)
I Convolução:
x(t) ∗ y(t) L←→ X(s)Y(s)
A Transformada de Laplace
Algumas propriedades da Transformada de Laplace
I Exemplo: Encontrar L{f ′′}, em que f(t) = t2,
para f(0) = 0, f ′(0) = 0 e f ′′(0) = 2:
L{f ′′} = L{2} = 2
s
ou,
L{f ′′} = s2L{f } − s f(0) − f ′(0)
como L{t2} = n!sn+1 ,
L{f ′′} = s2 2
s3
=
2
s
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Carga do Capacitor
I Encontrar υ(t). Como V = R i + υ e i = C d υd t :
V = R C
d υ
d t
+ υ
d υ
d t
+
1
R C
υ =
1
R C
V
L
{d υ
d t
}
+L
{ 1
R C
υ
}
= L
{ 1
R C
V
}
sV(s) − υ(0) + 1
R C
V(s) = 1
R C
V
s
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Carga do Capacitor
V(s)
(
s +
1
R C
)
− υ(0) = 1
R C
V
s
V(s) =
( 1
R C
V
s
+ υ(0)
) R C
R C s + 1
=
( 1
R C
V
s
+ υ(0)
) 1
s + 1R C
como υ(0) = 0
V(s) = V
R C s
1
s + 1R C
I Na Tabela de Transformadas:
L−1{V(s)} = 1
s − a
1
s − b =
1
a − b
(
ea t − eb t
)
, a , b
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Carga do Capacitor
I Neste caso, para b = −1R C e a = 0,
L−1{V(s)} = L−1
 VR Cs − 0 1s + 1R C
 = VR C1
R C
(
e0 − e− 1R C t
)
υ(t) = V
(
1 − e− 1R C t
)
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Massa-mola
I Encontrar x(t).
m
d2 x
d t2
+ k x = 0
L
{
m
d2 x
d t2
}
+L{k x} = 0
L
{
d2 f
d t2
}
= s2L{f } − s f(0) − f ′(0)
s2 mX(s) − s m x0 + k X(s) = 0
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Massa-mola
s2 mX(s) − s m x0 + k X(s) = 0
X(s) =
s m x0
s2 m + k
=
x0 s
s2 + km
I Na Tabela de Transformadas:
L−1
{ s
s2 + ω2
}
= cosω t
assim, para ω =
√
k
m ,
L−1{X(s)} = x0 cos
√
k
m
t
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Descarga do capacitor
I Encontrar υc(t), sendo υc(0) = V .
i = C
d υc
d t
, υc + R i = 0 ⇒ υc + R C d υcd t = 0
d υc
d t
+
1
R C
υc = 0
L−→ L
{d υc
d t
}
+L
{ 1
R C
υc
}
= 0
sVc(s) − υc(0) + 1RC Vc(s) = 0
Vc(s) = υc(0)
s + 1R C
L−1
{ 1
s + a
}
= e−a t
L−1{Vc(s)} = υc(t) = υc(0)e −1R C t = V e −1R C t
Aplicações da Transformada de Laplace
Exercício: Resolva por Laplace
L C
d2υ
d t2
+ R C
d υ
d t
+ υ = V
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Corrente de inrush
I Encontrar i(t), sendo i(0) = i0 e υL (t) = L
d i(t)
d t .
V − R i − L d i
d t
= 0
L{V } = L{R i}+L
{
L
d i
d t
}
V
s
= R I(s) + L (s I(s) − i0) = I(s) (R + s L) − L i0
I(s) =
[V
s
+ L i0
] 1
R + s L
=
[1
L
V
s
+
1
L
L i0
] 1
R
L + s
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Corrente de inrush
I(s) =
V
L + s i0
s
(
s + RL
)
I Tabela de Transformadas?
I Frações Parciais:
I(s) =
A
s − p1 +
B
s − p2
I para p1 = 0 e p2 = −RL
I(s) =
A
s
+
B
s + RL
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Corrente de inrush
I Frações Parciais:
I(s) =
A
s
+
B
s + RL
=
V
L + s i0
s
(
s + RL
)
A = s I(s)
∣∣∣∣∣∣∣
s=0
=
V
L + s i0
s + RL
∣∣∣∣∣∣∣
s=0
A =
V
L
L
R
=
V
R
B =
(
s +
R
L
)
I(s)
∣∣∣∣∣∣∣
s=−RL
=
V
L + s i0
s
∣∣∣∣∣∣∣
s=−RL
B =
(V
L
− R
L
i0
) (
− L
R
)
= −V
R
+ i0
Aplicações da Transformada de Laplace
Exemplo: Corrente de inrush
I Expansão em Frações Parciais:
I(s) =
A
s
+
B
s + RL
=
V
L + s i0
s
(
s + RL
)
I(s) =
V
R
s
+
−V
R + i0
s + RL
i(t) = L−1{I(s)} = V
R
+
(
i0 − VR
)
e−
R
L t
I Consistência:
lim
t→∞ i(t) =
V
R
e lim
t→0 i(t) = i0
Expansão em Frações Parciais
Exemplo com raízes não múltiplas
s + 1
s3 + s2 − 6s =
s + 1
s(s − 2)(s + 3) =
A
s
+
B
s − 2 +
C
s + 3
A = s
s + 1
s(s − 2)(s + 3)
∣∣∣∣∣∣∣
s=0
= −1
6
B = (s − 2) s + 1
s(s − 2)(s + 3)
∣∣∣∣∣∣∣
s=2
=
3
10
C = (s + 3)
s + 1
s(s − 2)(s + 3)
∣∣∣∣∣∣∣
s=−3
= − 2
15
Expansão em Frações Parciais
Exemplo com raízes múltiplas
3 s3 + 15 s2 + 29 s + 21
(s + 1)2(s + 2)(s + 3)
=
A1
s + 1
+
A0
(s + 1)2
+
B
s + 2
+
C
s + 3
B = (s + 2)
3 s3 + 15 s2 + 29 s + 21
(s + 1)2(s + 2)(s + 3)
∣∣∣∣∣∣∣
s=−2
B = −1
C = (s + 3)
3 s3 + 15 s2 + 29 s + 21
(s + 1)2(s + 2)(s + 3)
∣∣∣∣∣∣∣
s=−3
C = 3
Expansão em Frações Parciais
Exemplo com raízes múltiplas
3 s3 + 15 s2 + 29 s + 21
(s + 1)2(s + 2)(s + 3)
=
A1
s + 1
+
A0
(s + 1)2
+
B
s + 2
+
C
s + 3
A0 = (s + 1)2
3 s3 + 15 s2 + 29 s + 21
(s + 1)2(s + 2)(s + 3)
∣∣∣∣∣∣∣
s=−1
= 2
Ai =
1
i!
d i
d s i
{
(s − p)mF(s)} ∣∣∣∣∣∣∣
s=p
A1 =
1
1!
d
d s
{
(s + 1)2
3 s3 + 15 s2 + 29 s + 21
(s + 1)2(s + 2)(s + 3)
} ∣∣∣∣∣∣∣
s=−1
A1 =
(9s2+30s+29)(s2+5s+6) − (3s3+15s2+29s+21)(2s+5)
(s2 + 5s + 6)2
∣∣∣∣∣∣∣
s=−1
A1 = 1
Expansão em Frações Parciais
Exemplo com raízes complexas
s2 + s − 2
s3 + 3s2 + 5s + 3
=
s2 + s − 2
(s + 1)(s2 + 2s + 3)
I Completar os quadrados:
s2 + 2s + 3 = s2 + 2s + 1 + 2 =(s + 1)2 + (
√
2)2
s2 + s − 2
(s + 1)(s2 + 2s + 3)
=
A
s + 1
+
Bs + C
(s + 1)2 + (
√
2)2
Expansão em Frações Parciais
Exemplo com raízes complexas
s2 + s − 2
(s + 1)(s2 + 2s + 3)
=
A
s + 1
+
Bs + C
(s + 1)2 + (
√
2)2
A = (s + 1)
s2 + s − 2
(s + 1)(s2 + 2s + 3)
∣∣∣∣∣∣∣
s=−1
= −1
Bs + C
(s + 1)2 + (
√
2)2
=
s2 + s − 2
(s + 1)(s2 + 2s + 3)
− −1
s + 1
Bs + C
(s + 1)2 + (
√
2)2
=
2s + 1
(s + 1)2 + (
√
2)2
B = 2 C = 1
Expansão em Frações Parciais
Exemplo com raízes complexas
s2 + s − 2
(s + 1)(s2 + 2s + 3)
=
−1
s + 1
+
2s + 1
(s + 1)2 + (
√
2)2
I Tabela de Transformadas?
−1
s + 1
+
2s + 1
(s + 1)2 + (
√
2)2
−1
s + 1
+
2s + 2 − 1
(s + 1)2 + (
√
2)2
−1
s + 1
+ 2
s + 1
(s + 1)2 + (
√
2)2
− 1√
2
√
2
(s + 1)2 + (
√
2)2
Aplicação da Transformada de Laplace
Controle de Posição
I Controle Malha Fechada:
I Circuito elétrico:
Aplicação da Transformada de Laplace
Controle de Posição
I Circuito elétrico:
I Controle Malha Fechada:
Aplicação da Transformada de Laplace
Controle de Posição
ef − Rf if − Lf d ifd t = 0
L{ef } = L{Rf if }+L{Lf d ifd t }
Ef (s) = Rf If (s) + Lf s If (s) = If (s) [Rf + Lf s]
G1(s) =
If (s)
Ef (s)
=
1
Rf + Lf s
Aplicação da Transformada de Laplace
Controle de Posição
I No gerador, e = k φω, onde φ = L i, assim, e = k L i ω e
considerando ω constante, Kg = k L ω. Portanto,
eg = Kg if
L{eg} = Kg L{if }
Eg(s)
If (s)
= Kg = G2(s)
Aplicação da Transformada de Laplace
Controle de Posição
eg − em = (Lg + Lm) d imd t + (Rg + Rm) im
Im(s)
Eg(s) − Em(s) =
1
Rg+Rm
1 + Lg+LmRg+Rm s
Im(s)
Eg(s) − Em(s) =
1
Rgm
1 + LgmRgm s
=
1
Rgm
1 + Tgm s
= G3(s)
Aplicação da Transformada de Laplace
Controle de Posição
I Do motor para a carga:
T = k φ im
G4(s) =
T(s)
Im(s)
= KT
I Na carga:
T = J
d2 θ0
d t
+ B
d θ0
d t
G5(s) =
θ0(s)
T(s)
=
1
B
s( JB s + 1)
=
1
B
s(1 + Tn s)
Aplicação da Transformada de Laplace
Controle de Posição
I Retroação:
em = k φω = Kb
d θ0
d t
H1(s) =
Em(s)
θ0(s)
= Kb s
I Simplificação do diagrama:
Ef (s)
Kg
Rf
1 + Tf s
KT
RgmB
s
[
(1 + Tgms)(1 + Tns) +
(
KT Kb
RgmB
)]
θ0(s)
Ef (s)
=
Kg KT
Rf Rgm B
s(1 + Tfs)
[
(TgmTn s2) + (Tn + Tgm)s +
(
1 + KT KbRgmB
)]
	A Transformada de Laplace