Probabilidade e Estatística - Teoremas e Exemplos

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PROBABILIDADE E ANÁLISE ESTATISTICA
PROF. CLAUDIO MACIEL
Aula 6- Probabilidades - Eventos
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA
Conteúdo Programático desta aula
 Capacidade de conhecer o teorema da probabilidade condicional; Eventos independentes;Teorema do produto
Resolver problemas envolvendo probabilidade através desses teoremas;
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
EVENTOS INDEPENDENTES
 
Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Se A e B são independentes, então:
 
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
 
DEFINIÇÃO: A e B são eventos independentes se 
P (A  B) = P (A).P (B).
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
Observação:
 Para verificar se 3 eventos A, B e C são independentes, as 4 suposições deverão ser satisfeitas:
1- P(ABC) = P(A). P(B). P(C)
2- P(AB) = P(A). P(B)
3- P(AC) = P(A). P(C)
4- P(BC) = P(B). P(C)
Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são independentes. Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro.
 
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
Exemplo 1:
E=lançamento de um dado
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: sair o número 3
A= {3}
B: sair um número ímpar
B= {1,3,5}
P(A) =1/6	;	P(B) =3/6=1/2.
 
Probabilidade de A condicionada à ocorrência de B – redução do espaço amostral. (1/6) / (3/6) = 1/3
 
 
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
Exemplo 2:
E=lançamento de 2 dados
S= {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5) (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),(4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
S= {36 elementos}
A=soma dos números obtidos iguais a 10
A= {(4,6), (5,5), (6,4)}
A= {3 elementos} P(A)=3/36	
B=valor do 1ºdado maior que o do 2º.
B=(2,1), (3,1), (3,2),(4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)} ;	P(B)=15/36
 
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
P (A/B) = (1/36) / (15/36 ) = 1/15 
P (B/A) = (1/36) / (3/36 ) = 1/3
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
TEOREMA DO PRODUTO
 
Sejam A e B eventos que pertencem ao mesmo espaço amostral. Então:
 P(A  B) = P(A). P(B/A) se A e B forem dependentes.
 P(A  B) = P(A). P(B) se A e B forem independentes.
 
A generalização do teorema do produto é:
 𝑃(,𝑖=1-𝑛-,𝐴-𝑖..=𝑃,,𝐴-1..∗𝑃,,,𝐴-2.-,𝐴-1...∗𝑃,,,𝐴-3.-,𝐴-2..∩,𝐴-1..….𝑃(,𝐴-𝑛./,𝐴-1.∩,𝐴-2.∩…,𝐴-𝑛−1.)
Se os eventos A1, A2,... An são dependentes
:
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
Exemplo:
E=lançamento 2 dados 
S= {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5) (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
A= número par no 1ºdado.
B=número maior (>) que 4 no 2ºdado.
 
P(A)=1/2		;		P(B)=1/3
São independentes.
 
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só Matemática, 10 estudam só Física e 5 estudam Matemática e Física. A probabilidade de um aluno que estuda Matemática estudar Física é:
a)1/5
b)1/9
c)2/5
d)1/8
e)2/3
Tema da Apresentação
PROBABILIDADES
Jogando-se dois dados, verifica-se que a soma dos números é 7. Qual é a probabilidade de sair o número três em um dos dados?
a)1/5
b)1/6
c)2/3
d)1/3
e)1/9
Tema da Apresentação
EXERCÍCIOS
Retirando-se duas cartas, ao acaso, com reposição, de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ouros e a segunda de espadas?
a)1/5
b)1/16
c)3/8
d)1/7
e)1/11
Tema da Apresentação
EXERCÍCIOS
Tema da Apresentação