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6 de setembro de 2002
Notas de Aula de Física
02. VETORES E ESCALARES........................................................................................... 2
UM POUCO DE TRIGONOMETRIA............................................................................................ 2
MÉTODO GEOMÉTRICO........................................................................................................ 2
MÉTODO ANALÍTICO ............................................................................................................ 3
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES............................................................................................... 3
Multiplicação de um vetor por um escalar..................................................................... 4
Produto escalar ............................................................................................................. 4
Produto vetorial ............................................................................................................. 5
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 7
02 .................................................................................................................................. 7
06 .................................................................................................................................. 7
32 .................................................................................................................................. 8
39 .................................................................................................................................. 8
45 .................................................................................................................................. 9
46 .................................................................................................................................. 9
47 ................................................................................................................................ 10
51 ................................................................................................................................ 10
Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 2
02. Vetores e escalares
Algumas grandezas físicas ficam completamente definidas quando informamos um
número e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 370C a
informação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que a
velocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completamente a informação.
Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessa
informação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.
Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor com
módulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de dois
modos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico.
Um pouco de trigonometria
 Vamos considerar um triângulo retângulo com hipote-
nusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema de
Pitágoras diz que:
a2 = b2 + c2
 As funções seno e cosseno são definidas como:
\u3b1\u3b8 cossen ==
a
c
\u3b1\u3b8 sencos ==
a
b
E do Teorema de Pitágoras, encontramos que:
1cossen 22 =+\u3b8
\u3b1
\u3b1
\u3b1\u3b8
\u3b8
\u3b8
sen
coscottan
cos
sen
====
a
c
 \u3b1
 c a
 \u3b8
 b
Método geométrico
No método geométrico, a visualização dos vetores fica mais óbvia, mas não é ade-
quado para a operações com diversos vetores.
 A força é uma grandeza vetorial.
Quando consideramos duas forças atuando
sobre um dado corpo, o efeito resultante será
igual à atuação de uma única força que seja
a soma vetorial das duas forças menciona-
das.
 A soma desses dois vetores pode ser
efetuada usando-se a regra do paralelogra-
mo.
Método geométrico
 a
!
 b
!
 c
!
 a
!
 b
!
bac
!!!
+=
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Método analítico
O método analítico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadas
cartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos.
 Vamos considerar um sistema de coordenadas
bidimensional, definido pelos eixos x e y , como
mostrados na figura ao lado. O vetor a
!
 tem compo-
nentes cartesianas ax e ay que tem a forma:
ax = a . cos\u3b8
ay = a . sen\u3b8
Ou de maneira inversa:
22
yx aaa +=
x
y
a
a
=\u3b8tan
 y
 a
!
 ay
 \u3b8
 ax x
Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado
sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:
yx ajaia \u2c6\u2c6 +=
!
onde jei \u2c6\u2c6 são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x
e y respectivamente e têm módulos iguais a um.
A soma de dois vetores será então definida como:
( ) ( )yyxx
yx
yx
bajbaic
bjbib
e
ajaia
ondebac +++=\u21d2
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
+=
+=
+= \u2c6\u2c6
\u2c6\u2c6
\u2c6\u2c6
!
!
!
!!"
ou seja:
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
+=
+=
+=
yyy
xxx
yx
bac
e
bac
ondecjcic \u2c6\u2c6
!
Multiplicação de vetores
As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para
expressar as relações que existem entre as diversas grandezas.
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Multiplicação de um vetor por um escalar
 Sejam dois vetores a
!
 e b
!
 e um escalar k. Defi-
nimos a multiplicação mencionada como:
akb
!!
=
O vetor ak
!
 tem a mesma direção do vetor a
!
 . Terá
mesmo sentido se k for positivo e sentido contrário se
k for negativo.
 a
!
 ak
!
Produto escalar
 Define-se o produto escalar de dois vetores a
!
 e
b
!
 como a operação:
\u3d5cosabba =\u22c5
!!
onde \u3d5 é o ângulo formado pelos dois vetores.
 a
!
 \u3d5
 b
!
Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro
vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso
pode-se resumir na propriedade :
abba
!!!!
\u22c5=\u22c5
Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma
força constante que atua ao longo de um percurso d:
\u3b8cos. FddFW ==
!!
Usando o conceito de vetor unitário encontramos que:
10cos\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 0 ==\u22c5 iiii
1\u2c6\u2c6 =\u22c5 jj
1\u2c6\u2c6 =\u22c5 kk
e de modo equivalente:
090cos\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 0 ==\u22c5 jiji
0\u2c6\u2c6 =\u22c5 ki
0\u2c6\u2c6 =\u22c5 kj
 z
 k\u2c6
 i\u2c6 j\u2c6 y
 x
Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes car-
tesianas e definir o produto escalar:
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zyx akajaia \u2c6\u2c6\u2c6 ++=
!
zyx bkbjbib \u2c6\u2c6\u2c6 ++=
!
( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaiba \u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6\u2c6 ++\u22c5++=\u22c5 !!
e portanto:
zzyyxx babababa ++=\u22c5
!!
Fica fácil perceber que:
2222
zyx aaaaaa ++==\u22c5
!!
Como \u3d5cosbaba =\u22c5
!!
 , temos que 
ba
ba
!!
.cos =\u3d5 , e assim poderemos calcular o
ângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas:
222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
++++
++
=\u3d5
Produto vetorial
 Define-se o produto vetorial de dois vetores a
!
 e
b
!
 como a operação:
bac
!!!
×=
e módulo c é definido como:
\u3d5senbac =
onde c
!
 é um vetor perpendicular ao plano defino pe-
los vetores a
!
 e