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aula zero de álgebra linear

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Matrizes e
Sistemas
Lineares
Aula Zero - A´lgebra Linear
Professor: Juliano de Bem Francisco
Departamento de Matema´tica
Universidade Federal de Santa Catarina
agosto de 2011
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Outline
Matrizes
Sistemas Lineares
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Part I
Cap´ıtulo 1 - Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o:
Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliac¸o˜es.
Para representar esses dados de maneira organizada, podemos
fazer uso de uma tabela:
Ana 4,5 6,2 7,0 5,5
Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0
Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2
Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0
Edson 6,8 7,2 6,8 7,5
O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazem
desses objetos matema´ticos instrumentos valiosos na
organizac¸a˜o e manipulac¸a˜o de dados.
Matrizes e
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Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o:
Uma matriz e´ um arranjo de nu´meros, s´ımbolos, letras, etc,
dispostos em linhas e colunas.
Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a
matriz tem ordem m × n.
Exemplos:
A =
 0 −2 1 43 −1 0 0
2 5 −1 2
 B = ( 2 −1√
3 5
)
A matriz A e´ de ordem 3× 4 e a matriz B e´ de ordem 2× 2.
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Lineares
Cap´ıtulo 1
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Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o:
Uma matriz A de ordem m × n e´ representada por:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

m×n
Abreviadamente podemos escrever, A = [aij ]m×n, com
1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i , j ∈ N.
Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a14 = 4 e
a22 = −1.
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Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Nula e´ aquela em que todos os seus elementos sa˜o
nulos.
Exemplo:
O =
(
0 0 0
0 0 0
)
O =
(
0 0
0 0
)
Matriz Linha e´ aquela que possui uma u´nica linha (m = 1).
Exemplo:
A =
(
2−1 1 3
√
2
)
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Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Coluna e´ aquela que possui apenas uma coluna
(n = 1).
Exemplos:
A =
 10
−1
 B = ( 5−4
)
Um vetor no plano ou no espac¸o pode ser considerado como
uma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar a
soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es.
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Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada e´ aquela cujo nu´mero de linhas e´ igual ao
nu´mero de colunas (m = n).
Exemplo:
A =
 2 1 00 −1 −2
2 pi
√
3

Matriz Identidade e´ uma matriz quadrada cujos elementos
aij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j .
Exemplo:
A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

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Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Triangular Superior e´ uma matriz quadrada de ordem
n cujos elementos aij sa˜o nulos quando i > j , isto e´:
A =

a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
0 0 · · · ann

Matriz Triangular Inferior e´ uma matriz quadrada de ordem
n cujos elementos aij sa˜o nulos quando i < j , isto e´:
A =

a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann

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Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Sime´trica e´ uma matriz quadrada de ordem n, em que
aij = aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:
A =
 4 3 −13 2 0
−1 0 5

Matriz Anti-Sime´trica e´ uma matriz quadrada de ordem n,
em que aij = −aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:
A =

0 3 0
√
2
−3 0 −1 1
0 1 0 −2
−√2 −1 2 0

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Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Elementar Uma matriz e´ denominada elementar se for
obtida por meio de uma u´nica mudanc¸a na matriz identidade.
Essa mudanc¸a pode ser de um dos seguintes tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou
coluna);
2) A multiplicac¸a˜o de uma linha (ou coluna) por um valor
α ∈ R;
3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor
α ∈ R, com outra linha (ou coluna).
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Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Exemplos:
a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha
1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 e´ dada por:
E1 =
(
0 1
1 0
)
b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha
3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem
3) e´ dada por:
E2 =
 1 0 00 1 0
0 1 −3

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Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Igualdade de Matrizes
Definic¸a˜o
Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n sa˜o iguais quando
aij = bij , ∀ i , j .
Exemplo:
A =
(
9 1 log 1
2 22 5
)
e B =
(
9 sen (pi/2) 0
2 4 5
)
sa˜o iguais.
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Operac¸o˜es com Matrizes - Adic¸a˜o
Definic¸a˜o
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, a matriz A somada com a matriz
B, resulta numa matriz C = [cij ]m×n, cujos elementos sa˜o:
cij = aij + bij , ∀ i , j . Denotamos por: C = A + B = [aij + bij ]m×n.
Exemplo:
 1 −14 0
2 5
+
 0 4−2 5
1 0
 =
 1 32 5
3 5
 .
Propriedades:
(a) Comutatividade: A + B = B + A.
(b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C ).
(c) Elemento Neutro da Adic¸a˜o: A + 0 = 0 + A = A, onde
0 denota a matriz nula.
(d) Elemento Sime´trico: A + (−A) = 0.
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Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Produto de uma matriz por um escalar
Definic¸a˜o
Seja k um nu´mero qualquer. Para multiplicar k por uma matriz
A de ordem m × n, basta multiplicar cada entrada aij de A por
k. Assim, a matriz resultante B sera´ tambe´m m × n e seus
elementos sera˜o bij = k aij .
Exemplo: −2
 2 10 11 −3 0
0 −2 3
 =
 −4 −20 −2−2 6 0
0 4 −6
 .
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Cap´ıtulo 2
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Lineares
Produto de uma matriz por um escalar
Propriedades:
(a) Associativa: k1(k2A) = (k1k2)A.
(b) Distributiva a` direita em relac¸a˜o as matrizes:
k(A + B) = kA + kB.
(c) Distributiva a` esquerda em relac¸a˜o aos escalares:
(k1 + k2)A = k1A + k2B.
(d) Elemento Neutro: 1.A = A.
(e) 0.A = 0.
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Lineares
Matriz transposta
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A = [aij ]m× n, podemos obter uma outra
matriz A′ = [bij ]n×m, cujas linhas sa˜o as colunas de A, isto e´,
bij = aji . A
′ e´ denominada a transposta de A.
Exemplo: Seja A =
(
3 −2 5
1 7 0
)
.
A transposta de A e´ a matriz A′ =
 3 1−2 7
5 0
 .
Propriedades:
(a) (A′)′ = A.
(b) (A + B)′ = A′ + B ′.
(c) A e´ sime´trica se, e somente se, A = A′.
(d) (kA)′ = kA′, k e´ um escalar qualquer.
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Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Produto de Matrizes
Definic¸a˜o
Sejam, A = [aij ]m×n e B = [brs ]n×p, enta˜o, seu produto A.B e´
a matriz m × p dada por: C = [cuv ]m×p. Os elementos da
matriz produto cuv sa˜o dados por: cuv=
n∑
k=1
auk bkv .
Propriedades:
(a) AI = IA = A, onde I e´ a matriz identidade.
(b) Associativa: (AB)C = A(BC ).
(c) Distributiva: A(B + C ) = AB + AC .
(d) (A + B)C = AC + BC .
(e) k(AB) = (kA)B = A(kB).
(f) (AB)′ = B ′ A′.

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