03 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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ÁLGEBRA LINEAR 
Tereza Melo
Matrizes e Sistemas de Equações 
Lineares
EQUAÇÕES LINEARES
Uma equação linear muito simples é aquela com duas variáveis apenas. E as soluções 
dessa equação correspondem a uma reta.
Por exemplo: A equação 𝑦 = −𝑥 + 1 é linear porque suas variáveis têm grau no 
máximo 1. 
− − −      
−
−
−





x
y
Se pensarmos qual a solução dessa 
equação, estaremos buscando todos os 
pares de números (𝑥, 𝑦) que 
satisfazem a equação 𝑦 = −𝑥 + 1. Ou 
seja, esses pontos formam uma reta cujo 
gráfico está ao lado.
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Uma equação linear nas incógnitas 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛 é aquela que pode ser escrita na forma:
Em que 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛 são números reais, chamados coeficientes da equação e 𝑏 é o 
termo independente.
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2+ ... +𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
Um sistema de equações lineares é um conjunto com várias equações lineares.
Mais especificamente, um sistema 𝑚 𝑥 𝑛 é um sistema com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas.
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Exemplo: As equações a seguir formam um sistema de equações lineares: 
ቊ
2𝑥1 − 𝑥2+ 𝑥3 = 1
𝑥1 + 𝑥2 = −2
O sistema acima tem quantas equações e quantas incógnitas?
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Aplicações de sistemas lineares:
Leis de Kirchhoff:
- A soma das correntes que 
entram em qualquer nó de 
um circuito é igual à soma 
das correntes que saem dele
- Em uma volta em torno de 
qualquer laço fechado, a 
soma das elevações da 
voltagem é igual à soma das 
quedas de voltagem.
Exercício 1. Usando a primeira lei de Kirchhoff nos nós A e B, escreva duas equações envolvendo 𝑖1, 𝑖2 e 𝑖3.
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Aplicações de sistemas lineares:
Exercício 1. Usando a primeira lei de Kirchhoff nos nós A e B, escreva duas equações envolvendo 𝑖1, 𝑖2 e 𝑖3.
Primeira equação do 
exercício 1:
𝑖1 + 𝑖3 = 𝑖2
Qual a segunda 
equação?
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Aplicações de sistemas lineares:
Uma rede de encanamento de água é mostrada na figura acima, em que os fluxos são mostrados 
em litros por minuto.
Exercício 2. Escreva um sistema de equações lineares que represente essa situação.
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Aplicações de sistemas lineares:
Como resolver o sistema que você montou no exercício anterior a fim de identificar os possíveis 
fluxos nos ramos AB, BC, CD e DA?
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Existem várias formas de resolver um sistema de equações lineares. Mas quanto 
maior o sistema, mais complexa se torna a sua resolução.
Um recurso muito utilizado para resolver sistemas de equações lineares são 
MATRIZES.
A fim de usar essa ferramenta para resolver sistemas de equações lineares, iremos 
relembrar alguns conceitos relacionados a matrizes.
MATRIZES
O que é uma matriz?
Uma matriz é uma tabela com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas. Dizemos que uma matriz com 
𝑚 linhas e n colunas é uma matriz 𝑚𝑥𝑛.
Exemplos
a) A matriz A =
0 −1
0 −2
3 3
é uma matriz 3𝑥2.
b) A matriz 𝐵 =
0 −1
3 3
é uma matriz 2𝑥2.
MATRIZES
Representamos uma matriz com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas por:
𝐴 =
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
...
...
⋱
...
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
Tanto faz se usamos parênteses como nessa representação de uma matriz ou colchetes.
Sempre usamos letras maiúsculas para representar matrizes e quando queremos especificar a 
ordem da matriz, ou seja, o número de linhas e o número de colunas da matriz, escrevemos 
𝐴𝑚𝑥 𝑛. 
Outra forma de representar a matriz 𝐴 é por 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥 𝑛
MATRIZES
Se usarmos os colchetes teremos a matriz representada da seguinte forma:
𝐴 =
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
...
...
⋱
...
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
Observe que os elementos da matriz são 𝑎𝑖𝑗 em que 𝑖 é a linha onde está esse 
elemento e 𝑗 é a coluna do elemento 𝑎𝑖𝑗.
MATRIZES
Exemplo: Considere a matriz A =
1 2
0 −2
−1 4
.
a) Qual o elemento 𝑎12 dessa matriz?
b) E o elemento 𝑎21?
Exercício1: Qual a ordem dessa matriz?
GABARITO
Exemplo: 𝑎12=1 e 𝑎21= 0.
Exercício1: 3x2