Integral de Potencias de Seno ou Cosseno

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Introduc¸a˜o
Nesta aula estudaremos te´cnicas que nos permitem calcular
integrais envolvendo poteˆncias de seno ou cosseno.
Para compreender bem essas te´cnicas e´ essencial o conhecimento
sobre trigonometria.
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 2x dx .
Vamos simplificar o integrando utilizando a identidade
trigonome´trica
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x).
Desse modo, a integral pode ser reescrita como∫
sen 2x dx =
∫
1
2
(1− cos 2x) dx
=
1
2
(∫
1 dx −
∫
cos 2x dx
)
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 2x dx .
Vamos simplificar o integrando utilizando a identidade
trigonome´trica
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x).
Desse modo, a integral pode ser reescrita como∫
sen 2x dx =
∫
1
2
(1− cos 2x) dx
=
1
2
(∫
1 dx −
∫
cos 2x dx
)
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 2x dx .
Vamos simplificar o integrando utilizando a identidade
trigonome´trica
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x).
Desse modo, a integral pode ser reescrita como∫
sen 2x dx =
∫
1
2
(1− cos 2x) dx
=
1
2
(∫
1 dx −
∫
cos 2x dx
)
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 2x dx .
Vamos simplificar o integrando utilizando a identidade
trigonome´trica
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x).
Desse modo, a integral pode ser reescrita como∫
sen 2x dx =
∫
1
2
(1− cos 2x) dx
=
1
2
(∫
1 dx −
∫
cos 2x dx
)
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Resolvendo a primeira integral, temos que∫
1 dx = x + c1.
Vamos agora resolver a segunda integral. Para isso, faremos a
substituic¸a˜o u = 2x e du = 2 dx . Desse modo, ficamos com∫
cos 2x dx =
∫
1
2
cos u du
=
1
2
sen u + c2
=
1
2
sen 2x + c2
Unindo essas informac¸o˜es, temos que a soluc¸a˜o da integral original
e´ dada por ∫
sen 2x dx =
1
2
x − 1
4
sen 2x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Resolvendo a primeira integral, temos que∫
1 dx = x + c1.
Vamos agora resolver a segunda integral. Para isso, faremos a
substituic¸a˜o u = 2x e du = 2 dx . Desse modo, ficamos com∫
cos 2x dx =
∫
1
2
cos u du
=
1
2
sen u + c2
=
1
2
sen 2x + c2
Unindo essas informac¸o˜es, temos que a soluc¸a˜o da integral original
e´ dada por ∫
sen 2x dx =
1
2
x − 1
4
sen 2x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Resolvendo a primeira integral, temos que∫
1 dx = x + c1.
Vamos agora resolver a segunda integral. Para isso, faremos a
substituic¸a˜o u = 2x e du = 2 dx . Desse modo, ficamos com∫
cos 2x dx =
∫
1
2
cos u du
=
1
2
sen u + c2
=
1
2
sen 2x + c2
Unindo essas informac¸o˜es, temos que a soluc¸a˜o da integral original
e´ dada por ∫
sen 2x dx =
1
2
x − 1
4
sen 2x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Resolvendo a primeira integral, temos que∫
1 dx = x + c1.
Vamos agora resolver a segunda integral. Para isso, faremos a
substituic¸a˜o u = 2x e du = 2 dx . Desse modo, ficamos com∫
cos 2x dx =
∫
1
2
cos u du
=
1
2
sen u + c2
=
1
2
sen 2x + c2
Unindo essas informac¸o˜es, temos que a soluc¸a˜o da integral original
e´ dada por ∫
sen 2x dx =
1
2
x − 1
4
sen 2x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Resolvendo a primeira integral, temos que∫
1 dx = x + c1.
Vamos agora resolver a segunda integral. Para isso, faremos a
substituic¸a˜o u = 2x e du = 2 dx . Desse modo, ficamos com∫
cos 2x dx =
∫
1
2
cos u du
=
1
2
sen u + c2
=
1
2
sen 2x + c2
Unindo essas informac¸o˜es, temos que a soluc¸a˜o da integral original
e´ dada por ∫
sen 2x dx =
1
2
x − 1
4
sen 2x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 3x dx .
Com o intuito de utilizar a te´cnica de substituic¸a˜o, vamos primeiro
reescrever o integrando como∫
sen 3x dx =
∫
sen 2x sen x dx =
∫
(1− cos2 x) sen x dx .
Agora fazemos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx . Sendo
assim, temos que∫
sen 3x dx =
∫
−(1− u2) du
=
∫
−1 du +
∫
u2 du
= −u + u
3
3
+ c
= − cos x + cos
3 x
3
+ c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 3x dx .
Com o intuito de utilizar a te´cnica de substituic¸a˜o, vamos primeiro
reescrever o integrando como∫
sen 3x dx =
∫
sen 2x sen x dx
=
∫
(1− cos2 x) sen x dx .
Agora fazemos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx . Sendo
assim, temos que∫
sen 3x dx =
∫
−(1− u2) du
=
∫
−1 du +
∫
u2 du
= −u + u
3
3
+ c
= − cos x + cos
3 x
3
+ c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 3x dx .
Com o intuito de utilizar a te´cnica de substituic¸a˜o, vamos primeiro
reescrever o integrando como∫
sen 3x dx =
∫
sen 2x sen x dx =
∫
(1− cos2 x) sen x dx .
Agora fazemos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx . Sendo
assim, temos que∫
sen 3x dx =
∫
−(1− u2) du
=
∫
−1 du +
∫
u2 du
= −u + u
3
3
+ c
= − cos x + cos
3 x
3
+ c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 3x dx .
Com o intuito de utilizar a te´cnica de substituic¸a˜o, vamos primeiro
reescrever o integrando como∫
sen 3x dx =
∫
sen 2x sen x dx =
∫
(1− cos2 x) sen x dx .
Agora fazemos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx . Sendo
assim, temos que∫
sen 3x dx =
∫
−(1− u2) du
=
∫
−1 du +
∫
u2 du
= −u + u
3
3
+ c
= − cos x + cos
3 x
3
+ c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 3x dx .
Com o intuito de utilizar a te´cnica de substituic¸a˜o, vamos primeiro
reescrever o integrando como∫
sen 3x dx =
∫
sen 2x sen x dx =
∫
(1− cos2 x) sen x dx .
Agora fazemos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx . Sendo
assim, temos que∫
sen 3x dx =
∫
−(1− u2) du
=
∫
−1 du +
∫
u2 du
= −u + u
3
3
+ c
= − cos x + cos
3 x
3
+ c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 3x dx .
Com o intuito de utilizar a te´cnica de substituic¸a˜o, vamos primeiro
reescrever o integrando como∫
sen 3x dx =
∫
sen 2x sen x dx =
∫
(1− cos2 x) sen x dx .
Agora fazemos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx . Sendo
assim, temos que∫
sen 3x dx =
∫
−(1− u2) du
=
∫
−1 du +
∫
u2 du
= −u + u
3
3
+ c
= − cos x + cos
3 x
3
+ c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 3x dx .
Com o intuito de utilizar a te´cnica de substituic¸a˜o, vamos primeiro
reescrever o integrando como∫
sen 3x dx =
∫
sen 2x sen x dx =
∫
(1− cos2 x) sen x dx .
Agora fazemos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx . Sendo
assim, temos que∫
sen 3x dx =
∫
−(1− u2) du
=
∫
−1 du +
∫
u2 du
= −u + u
3
3
+ c
= − cos x + cos
3 x
3
+ c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Procedimento
∫
sen nx dx (n ∈ N e n ≥ 2).
(i) Se n e´ par, enta˜o ele tem o formato 2k (com k ∈ N). Desse
modo, reescreva o integrando como
sen 2kx =
(
sen 2x
)k
=
[
1
2
(1− cos 2x)
]k
;
(ii) Se n e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato n = 2k + 1 (com
k ∈ N). Desse modo, reescreva o integrando comosen 2k+1x =
(
sen 2x
)k
sen x =
(
1− cos2 x)k sen x .
Em seguida, use a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de seno em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de seno.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
sen nx dx =
∫
sen n−1x sen x dx .
Utilizando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sen n−1x dv = sen x dx
du = (n − 1) sen n−2x cos x dx v = − cos x
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de seno em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de seno.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
sen nx dx =
∫
sen n−1x sen x dx .
Utilizando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sen n−1x dv = sen x dx
du = (n − 1) sen n−2x cos x dx v = − cos x
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de seno em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de seno.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
sen nx dx =
∫
sen n−1x sen x dx .
Utilizando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sen n−1x dv = sen x dx
du = (n − 1) sen n−2x cos x dx v = − cos x
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de seno em func¸a˜o de outra integral
com uma poteˆncia menor de seno.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
sen nx dx =
∫
sen n−1x sen x dx .
Utilizando integrac¸a˜o por partes, faremos
u = sen n−1x dv = sen x dx
du = (n − 1) sen n−2x cos x dx v = − cos x
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x(1− sen 2x) dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x − sen nx dx
Deixando no primeiro membro as integrais com integrando sen nx ,
temos que
n
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x dx
Por fim, podemos escrever∫
sen nx dx = −1
n
sen n−1x cos x +
n − 1
n
∫
sen n−2x dx
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x(1− sen 2x) dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x − sen nx dx
Deixando no primeiro membro as integrais com integrando sen nx ,
temos que
n
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x dx
Por fim, podemos escrever∫
sen nx dx = −1
n
sen n−1x cos x +
n − 1
n
∫
sen n−2x dx
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x(1− sen 2x) dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x − sen nx dx
Deixando no primeiro membro as integrais com integrando sen nx ,
temos que
n
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x dx
Por fim, podemos escrever∫
sen nx dx = −1
n
sen n−1x cos x +
n − 1
n
∫
sen n−2x dx
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x(1− sen 2x) dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x − sen nx dx
Deixando no primeiro membro as integrais com integrando sen nx ,
temos que
n
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x dx
Por fim, podemos escrever∫
sen nx dx = −1
n
sen n−1x cos x +
n − 1
n
∫
sen n−2x dx
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x −
∫
−(n − 1) sen n−2x cos2 x dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x(1− sen 2x) dx
= − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x − sen nx dx
Deixando no primeiro membro as integrais com integrando sen nx ,
temos que
n
∫
sen nx dx = − sen n−1x cos x + (n − 1)
∫
sen n−2x dx
Por fim, podemos escrever∫
sen nx dx = −1
n
sen n−1x cos x +
n − 1
n
∫
sen n−2x dx
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x dx .
∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x +
3
4
∫
sen 2x dx .
Podemos aplicar novamente a fo´rmula de recorreˆncia na u´ltima
integral, obtendo assim∫
sen 2x dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
∫
1 dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
x+c1.
Usando a identidade trigonome´trica sen 2x = 2 sen x cos x , ficamos
com ∫
sen 2x dx = −1
4
sen 2x +
1
2
x + c1.
Desse modo, temos que∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x dx .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x +
3
4
∫
sen 2x dx .
Podemos aplicar novamente a fo´rmula de recorreˆncia na u´ltima
integral, obtendo assim∫
sen 2x dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
∫
1 dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
x+c1.
Usando a identidade trigonome´trica sen 2x = 2 sen x cos x , ficamos
com ∫
sen 2x dx = −1
4
sen 2x +
1
2
x + c1.
Desse modo, temos que∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x dx .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x +
3
4
∫
sen 2x dx .
Podemos aplicar novamente a fo´rmula de recorreˆncia na u´ltima
integral, obtendo assim∫
sen 2x dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
∫
1 dx
= −1
2
sen x cos x+
1
2
x+c1.
Usando a identidade trigonome´trica sen 2x = 2 sen x cos x , ficamos
com ∫
sen 2x dx = −1
4
sen 2x +
1
2
x + c1.
Desse modo, temos que∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x dx .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x +
3
4
∫
sen 2x dx .
Podemos aplicar novamente a fo´rmula de recorreˆncia na u´ltima
integral, obtendo assim∫
sen 2x dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
∫
1 dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
x+c1.
Usando a identidade trigonome´trica sen 2x = 2 sen x cos x , ficamos
com ∫
sen 2x dx = −1
4
sen 2x +
1
2
x + c1.
Desse modo, temos que∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x dx .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x +
3
4
∫
sen 2x dx .
Podemos aplicar novamente a fo´rmula de recorreˆncia na u´ltima
integral, obtendo assim∫
sen 2x dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
∫
1 dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
x+c1.
Usando a identidade trigonome´trica sen 2x = 2 sen x cos x , ficamos
com ∫
sen 2x dx = −1
4
sen 2x +
1
2
x + c1.
Desse modo, temos que∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x dx .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x +
3
4
∫
sen 2x dx .
Podemos aplicar novamente a fo´rmula de recorreˆncia na u´ltima
integral, obtendo assim∫
sen 2x dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
∫
1 dx = −1
2
sen x cos x+
1
2
x+c1.
Usando a identidadetrigonome´trica sen 2x = 2 sen x cos x , ficamos
com ∫
sen 2x dx = −1
4
sen 2x +
1
2
x + c1.
Desse modo, temos que∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Repetindo o resultado anterior, ficamos com∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Podemos simplificar o resultado usando as identidades
trigonome´tricas sen 2x = 12(1− cos 2x) e sen 2x = 2 sen x cos x .
∫
sen 4x dx = −1
4
sen 2x sen x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= −1
8
[
1
2
(1− cos 2x)
]
sen 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= − 1
16
sen 2x +
1
16
sen 2x cos 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
=
1
32
sen 4x − 1
4
sen 2x +
3
8
x + c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Repetindo o resultado anterior, ficamos com∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Podemos simplificar o resultado usando as identidades
trigonome´tricas sen 2x = 12(1− cos 2x) e sen 2x = 2 sen x cos x .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 2x sen x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= −1
8
[
1
2
(1− cos 2x)
]
sen 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= − 1
16
sen 2x +
1
16
sen 2x cos 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
=
1
32
sen 4x − 1
4
sen 2x +
3
8
x + c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Repetindo o resultado anterior, ficamos com∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Podemos simplificar o resultado usando as identidades
trigonome´tricas sen 2x = 12(1− cos 2x) e sen 2x = 2 sen x cos x .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 2x sen x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= −1
8
[
1
2
(1− cos 2x)
]
sen 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= − 1
16
sen 2x +
1
16
sen 2x cos 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
=
1
32
sen 4x − 1
4
sen 2x +
3
8
x + c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Repetindo o resultado anterior, ficamos com∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Podemos simplificar o resultado usando as identidades
trigonome´tricas sen 2x = 12(1− cos 2x) e sen 2x = 2 sen x cos x .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 2x sen x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= −1
8
[
1
2
(1− cos 2x)
]
sen 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= − 1
16
sen 2x +
1
16
sen 2x cos 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
=
1
32
sen 4x − 1
4
sen 2x +
3
8
x + c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Repetindo o resultado anterior, ficamos com∫
sen 4x dx = −1
4
sen 3x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c .
Podemos simplificar o resultado usando as identidades
trigonome´tricas sen 2x = 12(1− cos 2x) e sen 2x = 2 sen x cos x .∫
sen 4x dx = −1
4
sen 2x sen x cos x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= −1
8
[
1
2
(1− cos 2x)
]
sen 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
= − 1
16
sen 2x +
1
16
sen 2x cos 2x − 3
16
sen 2x +
3
8
x + c
=
1
32
sen 4x − 1
4
sen 2x +
3
8
x + c
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Procedimento
∫
cosn x dx (n ∈ N e n ≥ 2).
(i) Se n e´ par, enta˜o ele tem o formato 2k (com k ∈ N). Desse
modo, reescreva o integrando como
cos2k x =
(
cos2 x
)k
=
[
1
2
(1 + cos 2x)
]k
;
(ii) Se n e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato n = 2k + 1 (com
k ∈ N). Desse modo, reescreva o integrando como
cos2k+1 x =
(
cos2 x
)k
cos x =
(
1− sen 2x)k cos x .
Em seguida, use a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Assim como fizemos para a integral com uma poteˆncia de seno,
tambe´m podemos determinar uma fo´rmula de recorreˆncia para
calcular a integral com uma poteˆncia de cosseno.
Considere n ∈ N e n ≥ 2. Utilizando integrac¸a˜o por partes,
podemos obter que∫
cosn x dx =
1
n
cosn−1 x sen x +
n − 1
n
∫
cosn−2 x dx
Integral de Poteˆncias de Seno ou Cosseno
Fo´rmula de Recorreˆncia
Assim como fizemos para a integral com uma poteˆncia de seno,
tambe´m podemos determinar uma fo´rmula de recorreˆncia para
calcular a integral com uma poteˆncia de cosseno.
Considere n ∈ N e n ≥ 2. Utilizando integrac¸a˜o por partes,
podemos obter que∫
cosn x dx =
1
n
cosn−1 x sen x +
n − 1
n
∫
cosn−2 x dx