Questão resolvida - Resolva as seguintes integrais usando as substituições trigonométricas indicado b) - Cálculo II - UFBA

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1ª Questão
 
Resolva as seguintes integrais usando as substituições trigonômétricas indicado 
 
 usando a mudança b dx)
0
∫2 3 x
3
16 - x2
x = 4sen 𝜃( )
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos resolver a integral na sua forma indefinida;
 
dx, usando a ubstituição : x = 4sen 𝜃 dx = 4cos 𝜃 d𝜃∫ x
3
16 - x2
( ) → ( )
 
Com essa substituição, a integral fica;
 
dx = dx∫ x
3
16 - x2
∫ 4sen 𝜃( ( ))
3
16 - 4sen 𝜃( ( ))2
 
Fazendo algumas simplificações;
 
dx = 4cos 𝜃 d𝜃 = 4 ⋅ 4 d𝜃∫ 4sen 𝜃( ( ))
3
16 - 4sen 𝜃( ( ))2
∫ 4 sen 𝜃
3 3( )
16 - 16sen 𝜃2( )
( ) 3 ∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
3( ) ( )
16 1 - sen 𝜃2( )
 
= 4 d𝜃 = d𝜃4∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
4
3( ) ( )
1 - sen 𝜃2( )
4
4
4
∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
3( ) ( )
1 - sen 𝜃2( )
 
= 4 d𝜃 = 64 d𝜃3∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
3( ) ( )
1 - sen 𝜃2( )
∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
3( ) ( )
1 - sen 𝜃2( )
 
Da identidade trigonométrica pitagórica : 𝜃 + sen 𝜃 = 1 𝜃 = 1 - sen 𝜃cos2( ) 2( ) → cos2( ) 2( )
 
Com essa substituição, a integral fica;
 
 
 
64 d𝜃 = 64 d𝜃 = 64 d𝜃 = 64 sen 𝜃 d𝜃∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
3( ) ( )
1 - sen 𝜃2( )
∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
3( ) ( )
cos 𝜃2( )
∫ sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃
cos 𝜃
3( ) ( )
( )
∫ 3( )
 
= 64 sen 𝜃 sen 𝜃 dx∫ 2( ) ( )
 
Novamente, usando a
 a identidade trigonométrica pitagórica : 𝜃 + sen 𝜃 = 1 sen 𝜃 = 1 - 𝜃cos2( ) 2( ) → 2( ) cos2( )
 
64 sen 𝜃 sen 𝜃 dx = 64 1 - 𝜃 sen 𝜃 d𝜃∫ 2( ) ( ) ∫ cos2( ) ( )
 
Usando substituição, fazemos; 
 
u = 𝜃 du = -sen 𝜃 d𝜃 du = -sen 𝜃 d𝜃 sen 𝜃 d𝜃 = - ducos( ) → ( ) → ( ) → ( )
 
64 1 - 𝜃 sen 𝜃 d𝜃 = 64 1 - u - du∫ cos2( ) ( ) ∫ 2
 
= -64 u - + c = 64 - u + c = 64 - 𝜃 + c
u
3
3 u
3
3
𝜃
3
cos3( )
cos( )
 
Temos que voltar para a variável x, fazendo : 
 
x = 4sen 𝜃 4sen 𝜃 = x sen 𝜃 =( ) → ( ) → ( )
x
4
 
Assim, temos a seguinte representação para 𝜃 no triângulo retângulo :
Usando a relação do triângulo retângulo, o resultado da integral fica;
 
 
 
𝜃
x
4
16 - x2
Cateto adjacente : 4 = C + x2 2ad
2
 C + x = 162ad
2
 C = 16 - x2ad
2
 C =ad 16 - x
2
dx = 64 - 𝜃 + c = 64 - + c∫ x
3
16 - x2
𝜃
3
cos3( )
cos( )
3
4
16-x2
3
4
16 - x2
 
= 64 - + c = - + c
3 ⋅ 4
16 - x2
3
3 4
16 - x2 64
3 ⋅ 64
16 - x2
3
64
4
16 - x2
 
dx = - 16 + c = - 16 16 - x + c∫ x
3
16 - x2
16 - x
3
2
1
2
3
16 - x2
16 - x
3
2
3
2
2
1
2
 
Voltando para a integral definida, temos;
 
dx = - 16 16 - x
0
∫2 3 x
3
16 - x2
16 - x
3
2
3
2
2
1
2
2
0
3
 
= - 16 16 - 2 - - 16 16 - 0
16 - 2
3
3
2
3
2
3
2
1
2 16 - 0
3
( )2
3
2
( )2
1
2
 
= - 16 16 - 2 ⋅ - - 16 ⋅ 16
16 - 2
3
( )2 3
2
3
2
( )2 3
2
1
2 16
3
( )
1
2
3
( )
1
2
 
= - 16 ⋅ 16 - 4 ⋅ 3 - + 16 ⋅ 4 = - 16 ⋅ 16 - 12 - + 16 ⋅ 416 - 4 ⋅ 3
3
( )
3
2
( )
1
2
4
3
( )3 16 - 12
3
( )
3
2
( )
1
2
4
3
( )3
 
= - 16 ⋅ 4 - + 64 = - 16 ⋅ 2 - + 64 = - 32 - + 64 = - 32 - + 64
4
3
( )
1
2
3
( )
1
2 64
3
4
3
( )
1
2
3
64
3
2
3
3 64
3
8
3
64
3
 
 
= =
16 - 192 - 128 + 384
6
80
6
 
dx =
0
∫2 3 x
3
16 - x2
40
3
 
 
(Resposta )