Lista 4 Derivadas (problemas)

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FEG-UNESP - 2016 Lista 4 - Derivadas - parte 2 Prof. MSc. Dino Beghetto
Problemas de otimizac¸a˜o
Exerc´ıcio 1: Considere um triaˆngulo iso´sceles
de per´ımetro igual a 18 cm. Determine as medidas dos
lados e a altura deste triaˆngulo para que a sua a´rea
seja mı´nima. (R: triaˆngulo equila´tero de 6cm de lado)
Exerc´ıcio 2: Encontre as dimenso˜es de um
cilindro circular reto de maior volume que pode ser
inscrito em um cone circular reto de raio de 5cm e
altura de 12cm. (R: r = 103 cm , h = 4cm)
Exerc´ıcio 3: Um fio de comprimento L e´
cortado em dois pedac¸os, um dos quais formara´ um
c´ırculo e o outro um quadrado. Como deve ser cortado
o fio para que a soma das a´reas do c´ırculo e do
quadrado seja ma´xima? (R: L1 =
piL
pi+4 , L2 =
4L
pi+4 ,
tal que L1 + L2 = L)
Exerc´ıcio 4: O custo de produc¸a˜o de x uni-
dades de uma certa mercadoria e´ a + bx e o prec¸o de
venda e´ c − dx por unidade, sendo a, b, c, d constantes
reais positivas. Quantas unidades devem ser produ-
zidas e vendidas para que o lucro da operac¸a˜o seja
ma´ximo? (R: c−b2d )
Exerc´ıcio 5: Um fazendeiro tem 80 porcos,
pesando 150kg cada um. Cada porco aumenta de peso
na proporc¸a˜o de 2, 5 kg por dia. Gastam-se R$2, 00
por dia para manter um porco. Se o prec¸o de venda
e´ de R$3, 00 por quilo e cai R$0, 03 por dia, quantos
dias deve o fazendeiro aguardar para vender os porcos
para que seu lucro seja ma´ximo? (R: 7 dias)
Exerc´ıcio 6: Problema da caixa sem
tampa: Cortando quadrados ideˆnticos de cada canto
de um pedac¸o retangular de papela˜o e dobrando as
abas restantes, construimos uma caixa retangular. Se
o papela˜o tem 16×10cm2, quais as dimenso˜es da caixa
com volume ma´ximo, com a restric¸a˜o da altura ser me-
nor do que 5cm? (R: largura 6cm, comprimento 12cm,
altura 2cm).
Problemas de Taxas Relacionadas
Exerc´ıcio 7: Lanc¸amento de um foguete:
Um aluno de Ca´lculo I esta´ observando o lanc¸amento
de um foguete a uma distaˆncia de 4000m do local do
lanc¸amento. Se o foguete levanta voˆo verticalmente e
sobe a uma velocidade de 600m/s quando esta´ a uma
altitude de 3000m, com que rapidez a distaˆncia entre
o foguete e o aluno esta´ variando nesse instante? (R:
360m/s)
Exerc´ıcio 8: Derramamento de petro´leo:
Em a´guas calmas, a mancha de o´leo proveniente do
casco rompido de um petroleiro se espalha em todas
as direc¸o˜es. Se a a´rea polu´ıda for um c´ırculo e seu raio
aumenta a uma raza˜o de 2m/s, determine com que
rapidez a a´rea estara´ aumentando quando o raio do
c´ırculo for 40m. (R: 160pim/s)
Exerc´ıcio 9: Escada: A base de uma escada de
13 pe´s encostada em uma parede comec¸a a escorregar.
No instante em que a pase da escada se encontra a 12
pe´s de distaˆncia da parede, a base esta´ se movendo a
8 pe´s/s. Com que velocidade o topo da escada esta´ se
movendo para baixo? (R: 19,2 pe´s/s)
Exerc´ıcio 10: Barco a remo: Um espectador
observa uma competic¸a˜o de remo de uma das margens
de um rio. O barco l´ıder se move sobre uma reta que
esta´ a 120 pe´s da margem. Se o barco se move a uma
velocidade constante de 20 pe´s por segundo, com que
rapidez o barco se afasta d espectador quando ja´ passou
50 pe´s? (R: 7,69 pe´s/s)
Respostas
As derivadas podem ser verificadas no Wolfram.