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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA 
NAVAL E OCEÂNICA
HIDROSTÁTICA E ESTABILIDADE DO NAVIO E 
DE SISTEMAS OCEÂNICOS
Volume 1
Marcos Oliveira Pinto
São Paulo, fevereiro de 1999
SUMÁRIO
1. Flutuabilidade e Condições de Equilíbrio
	1.1 Pressão Hidrostática e Empuxo
	1.2 Condições de Equilíbrio de Corpos Flutuantes
	1.3 Exercícios
2 Estabilidade Inicial
	2.1 Exercícios
3. Curvas Hidrostáticas
	
	3.1 Propriedades Hidrostáticas
	3.2 Área do Plano de Flutuação; Toneladas por Centímetro de Imersão; Posição Longitudinal do Centro de Flutuação
	3.3 Raio Metacêntrico Transversal e Longitudinal
	3.4 Deslocamento Moldado e Total; Posição Vertical e Longitudinal do Centro de Carena.
	3.5 Correção do Deslocamento devido ao Trim.
	3.6 Curvas de Bonjean
4. Estabilidade Transversal
	4.1 Curvas Cruzadas de Estabilidade
	4.2 Correções à Posição do Centro de Gravidade
	4.2 Cálculo das Tangentes às CCE
	4.4 Traçado das Curvas Cruzadas com Auxílio de um Dinamômetro
	4.5 Efeito de Cargas Móveis Sobre a CEE
		4.5.1 Efeito na Estabilidade Inicial
		4.5.2 Efeito de Superfície Livre na CEE
	4.6 Estabilidade Dinâmica
5. Adição e Remoção de Pesos
5.1 Efeito da Movimentação de Pesos a Bordo
5.2 Efeito da Adição de Pesos
	5.2.1 Procedimento de Cálculo
	5.2.2 Procedimento Prático e Exercícios
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6. Estabilidade Avariada
6.1 Introdução e Histórico
6.2 Efeitos Fundamentais da Avaria
	6.2.1 Extensão da Avaria
	6.2.2 Efeitos da Inundação
	6.2.3 Efeitos da Flutuabilidade Intacta
	6.3 Subdivisão e Estabilidade Avariada
		6.3.1 Método da Adição de Peso e da Perda de Flutuabilidade
		6.3.2 Aplicação do Método da Perda de Flutuabilidade
		6.3.3 Discussão de Resultados e Exemplo de Aplicação
6.4 Comprimento alagável
6.5 Exercícios
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INTRODUÇÃO
	O objeto de estudo destas notas é a hidrostática de navios e sistemas oceânicos. Entende-se por hidrostática todas as propriedades do comportamento estático do corpo flutuante, resultantes da interação do corpo com o meio fluido que o suporta. É o resultado da interação do seu peso e das forças de pressão oriundas do meio que o circunda.
	A interação dessas duas forças, empuxo e peso, determina a condição de flutuabilidade e estabilidade do corpo. Como o centro de pressão hidrostática do casco movimenta-se com a variação da porção submersa (com o corpo girando, por exemplo), os momentos das forças alteram-se e a condição de equilíbrio também. Por isso o estudo da hidrostática está fortemente vinculado ao estudo das formas do casco e de suas propriedades geométricas.
	Pode-se então separar o estudo em duas etapas: a primeira etapa que deve cobrir tópicos de mecânica elementar ( pressão, empuxo, Leis de Newton e equilíbrio); a segunda etapa que estuda a influência da forma do casco no comportamento hidrostático da embarcação.
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1.		FLUTUABILIDADE E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO____
	Neste capítulo serão apresentados conceitos básicos, como o conceito de pressão hidrostática, empuxo e a definição de equilíbrio de corpos flutuantes, que introduzem o assunto em pauta. 
1.1 Pressão Hidrostática e Empuxo
	A pressão é definida como força por unidade de área.
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	No Sistema Internacional sua unidade é o Pascal (1Pa=1N/m2). Como a Engenharia Naval tem forte ligação histórica com a Inglaterra ainda é muito comum o uso de unidades inglesas neste campo. A pressão de 1N/m2 equivale, em unidades inglesas, a 1,39667.10-4 lbf/pol2. As principais unidades inglesas de interesse têm sua conversão dada pela tabela abaixo.
Unidade Inglesa
Sistema Internacional
1 lbm (libra massa)
0,4536 Kg
1 pol (polegada)
0,0254 m
1 pé = 12 pol
0,3048 m
1 lbf (libra força)
4,4482 N
1 ton (tonelada Inglesa) 
1,0160 t
Tabela 1.1 - Conversão de unidades
	A pressão em um ponto situado a uma profundidade h de um meio fluido é obtida por meio da Lei de Stevin:
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Figura 1.1 - Pressão em um fluido
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 (1.1)
onde		P = pressão no ponto considerado
		P0 = Pressão na superfície do fluido
		SYMBOL 114 \f "Symbol" = densidade do fluido
		g = aceleração gravitacional
		h = profundidade de imersão
		SYMBOL 103 \f "Symbol" = peso específico do fluido
	A densidade da água (() varia de acordo com a quantidade de solutos, de modo geral presentes. O sal marinho é o responsável básico pela elevação da densidade da água do mar em relação à água pura. A densidade da água pura a 4oC é de 1 g/cm3 ou 1000 kg/m3. E a densidade da água salgada é tipicamente da ordem de 1026 kg/m3 
	Ainda em unidades inglesas, o peso específico da água é de 1/36 ton/pé3, onde 1 ton( tonelada inglesa) corresponde ao peso de 1,0179 t (toneladas métricas).
	A pressão corresponde, então, ao peso de fluido por unidade de área, localizado acima do referido ponto, somada a pressão atuante em sua superfície (P0). Em se tratando da água a pressão aumenta de cerca de 1 atm (1atm(105 N/m2) a cada 10 metros de profundidade. A 2000 metros, por exemplo, a pressão será cerca de 201 atm.
	A Lei de Stevin afirma que a pressão dentro de um fluido, localizado na superfície terrestre, varia linearmente com a profundidade e essa variação é responsável pelo aparecimento de uma força resultante sobre um corpo imerso no fluido em questão.
	Um balão de São João é capaz de vencer a atração gravitacional da Terra graças a essa força, denominada empuxo. Como a parte inferior do balão se encontra numa maior "profundidade", a pressão ali é maior que aquela atuante em suas partes superiores. A pressão externa atuante sobre uma determinada área produz uma força. Quando essa força é integrada ao longo de todo o contorno do corpo resulta o empuxo, que é capaz, no caso do balão, de vencer a atração gravitacional. O balão deve ser leve , de modo a tornar seu peso menor que o empuxo, que só depende de seu volume.
Figura 1.2 - Pressão nas paredes externas de um balão
	A força de empuxo também é responsável pela flutuação dos navios. A pressão hidrostática atuando no casco resulta numa força de empuxo que se iguala ao peso, mantendo o sistema em equilíbrio e o navio na superfície.
	A maneira de calcular a força de empuxo resultante de uma campo de pressões sobre um contorno consiste em calcular a seguinte integral:
�							(1.2)
onde s é a superfície do corpo e p seria dado por (1.1). Mas não é necessário seu cálculo através de (1.2),como se verá.
	Considere um corpo completamente submerso em um líquido estacionário. Sobre as paredes do corpo atua a pressão hidrostática. Imagine então a parcela de líquido que existiria ocupando exatamente o mesmo espaço do fluido que é agora ocupado pelo corpo considerado. Sobre essa parcela de fluido atuaria a mesma pressão hidrostática que atua no corpo em questão (não havendo nenhuma alteração no meio externo, a pressão não tem razão para sofrer alteração) e, portanto, a resultante da pressão deve ser a mesma. Nota-se que essa parcela de fluido estaria em equilíbrio nessas condições. Então a força de empuxo deve equilibrar-se com o seu peso.
	O princípio de Arquimedes é então enunciado: "A resultante da pressão hidrostática atuando sobre as paredes do corpo é uma força vertical e ascendente, e tem módulo igual ao do peso do volume fluido deslocado".
	Desse modo não é preciso integrar o campo de pressões sobre o casco do navio para determinar a força de empuxo. Para isso basta conhecer o volume de fluido que foi "deslocado" pela presença do casco. Portanto:
							(1.3)
	O símbolo SYMBOL 209 \f "Symbol" é comumente utilizado para o deslocamento em volume, e o símbolo SYMBOL 68 \f "Symbol" é utilizado para deslocamento em peso (ou às vezes em massa, quando se comete um erro ).
	A força de empuxo é resultado de uma somatóriade forças. Pode ser considerada como atuante no centro geométrico da parte submersa do corpo. Esse centro geométrico é chamado de centro de carena e seu símbolo usual é B ( do inglês Buoyancy).
Figura 1.3 - Corpo flutuando em equilíbrio. B ( Centro de Carena
1.2 Condições de Equilíbrio de Corpos Flutuantes
	Sobre um corpo que flutua atuam as forças peso P e empuxo E. O peso pode ser considerado como atuando no centro de gravidade G, bem como o empuxo no centro de carena B.
	A condição de equilíbrio impõe que:
	A primeira condição impõe que o peso deve ser igual ao empuxo, e a segunda condição impõe que o momento das forças externas, tomado em relação a qualquer ponto, deve ser nulo. A segunda condição só é satisfeita se peso e empuxo estiverem sobre a mesma reta de atuação .Ou seja , o corpo encontra a posição de equilíbrio quando seu centro de carena se encontra na mesma vertical que passa pelo seu centro de gravidade!
	O equilíbrio de um corpo sob um campo de forças está associado à posição que ocupa. A posição de equilíbrio é dita estável se uma pequena perturbação nesta posição de equilíbrio fizer com que apareçam forças, ou momentos, que tendam a retornar o corpo à sua posição inicial.
	Se um pequeno deslocamento leva ao aparecimento de esforços que tendem a afastar o corpo de sua posição inicial, o ponto de equilíbrio é dito instável.
	Existe ainda o ponto de equilíbrio indiferente, que é aquele para o qual o afastamento da posição de equilíbrio sempre leva a uma nova posição de equilíbrio.
	A título de exemplo considere a figura a seguir, ilustrativa das posições de equilíbrio estável, indiferente e instável , respectivamente.
Figura 1.4 - Exemplos de equilíbrio
	Como introdução ao problema de equilíbrio de um corpo flutuante apresentar-se-á um sistema que contém seus ingredientes básicos , à exceção , porém , da água, que leva à alteração das formas de carena, tornando o problema um pouco menos intuitivo.
	Considere um sólido cilíndrico de secção elíptica que pode rolar sobre um plano horizontal, como aquele mostrado na figura abaixo:
Figura 1.5 - Corpo cilíndrico de secção elíptica apoiado em plano horizontal
	Imagine-o constituído de um material suficientemente leve para que seu centro de gravidade possa ser considerado como estando na posição de um peso externo, que é fixado por um alfinete em uma de suas faces. Estudar-se-á o comportamento das posições de equilíbrio em função da posição do centro de gravidade.
	As forças externas atuantes são peso e reação normal do apoio. As condições de equilíbrio são satisfeitas se as duas possuirem o mesmo módulo e atuarem sobre uma mesma vertical. No entanto isso ainda não caracteriza o tipo de equilíbrio.
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Figura 1.6 - Busca de posição de equilíbrio
	De maneira a caracterizar o tipo de equilíbrio deve-se observar o resultado de um pequeno afastamento da posição de equilíbrio. Se esse afastamento origina um momento que faz com que o sistema retorne à posição original, a posição é estável e vice versa.
	Considere agora o deslocamento do CG sobre um linha vertical sobre a qual atua a força Normal.
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Figura 1.7 - Metacentro
	O ponto A é o ponto de contato com o plano de apoio, o que define a vertical sobre a qual deve se movimentar o CG. Nota-se que enquanto o CG estiver abaixo do ponto M a condição de equilíbrio é estável. Passa a indiferente no ponto M e torna-se instável a partir daí. O ponto M é o centro de curvatura do trecho da elipse que se encontra apoiado no plano. É , portanto , o ponto de encontro de duas perpendiculares ao contorno da elipse naquela região (duas linhas de atuação da foça normal). Receberá o nome de metacentro, emprestado da Arquitetura Naval. Da mesma maneira se observará a existência de um metacentro para o navio, a partir do qual maiores elevações do CG tornam o navio instável , pois é o limite máximo para elevações do CG do ponto de vista de estabilidade.
	A figura abaixo apresenta , em linhas claras , a trajetória do metacentro conforme o cilindro gira sobre o plano. Essa trajetória é obtida traçando-se as perpendiculares a cada trecho da elipse. Suas intersecções consecutivas unidas por uma linha oferecem aquele aspecto. Tomando o ponto de contato com o solo inicialmente em A e promovendo-se rotação do corpo no sentido horário o metacentro sai de c e chega em b quando o ponto de apoio chega em B. Continua de b para a com o apoio seguindo para C e assim por diante.
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Figura 1.8 - Trajetória do metacentro
	Sugere-se aos alunos a construção desse modelo em cartolina. A observação do modelo real é muito didática e certamente colaborará muito para a completa compreensão do fenômeno equivalente em sistemas flutuantes.
	Voltando ao corpo flutuante apresentado na figura 1.3, nota-se que ele está em equilíbrio estável, pois uma pequena inclinação angular que se imponha faz com que o centro de carena se desloque de tal modo que surja um conjugado de endireitamento. As Figura 1.9 e 1.10 apresentam a movimentação do centro de carena, de B para B1, em seções típicas de navio e plataforma semi-submersível, promovendo o aparecimento do conjugado de endireitamento.
	Figura 1.9 - Movimentação do centro de carena devido a deformação angular
Figura 1.10 - Movimentação do centro de carena de uma semi-submersível
	É oportuno colocar aqui que, em engenharia naval, o projetista inclina a linha d'água ao invés de inclinar o navio, quando este opera em banda. Esse procedimento facilita o traçado do desenho e permite que se trabalhe sempre sob a mesma seção da embarcação. Os pontos geométricos ,tais como B G e K, recebem o sub-índice 1(um) quando referidos à posição deformada.
	O interesse agora recai na determinação do momento restaurador que surge na embarcação quando esta toma uma determinada inclinação transversal (banda). O valor desse momento restaurador é muito importante quando se quer, por exemplo, determinar o ângulo de banda tomado devido a uma movimentação de carga a bordo. Ou , ainda , de maneira a prever a banda ocasionada por algum esforço externo como a força do vento, por exemplo.
	O momento de restauração pode ser calculado como o momento do peso em relação ao ponto B (centro de carena). A distância horizontal entre G e B é chamada de braço de endireitamento (GZ). A figura 1.11 ilustra o braço de endireitamento e duas novas importantes posições geométricas(M,K).
	Figura 1.11 - Braço de endireitamento. Metacentro e ponto K
	O ponto K (do inglês Keel, que quer dizer quilha) é o ponto da base. Em um navio está situado em algum lugar da linha da quilha e numa plataforma flutuante é tomado como um ponto do plano de base.
	O ponto M, definido como metacentro, é o ponto onde a vertical original passando por B encontra a vertical da posição deformada passando por B1.
	Naturalmente que a posição do metacentro varia de acordo com a intensidade da inclinação. Isso será demonstrado posteriormente. No momento é importante que se tenha em mente que, da maneira como definido, a posição do metacentro é uma propriedade puramente geométrica e depende apenas da forma do casco, do calado e da posição angular da embarcação.
	O braço de endireitamento é dado por GZ=GM senSYMBOL 113 \f "Symbol". Então o momento de restauração fica dado por:
	Basta agora determinar a posição do metacentro, uma vez que se conhece a posição do centro de gravidade.
A posição do metacentro pode ser assumida constante para pequenas inclinações. Assim o termo GM, quando utilizado, refere-se em geral à distância entre os pontos G e M, sob ângulo de banda nulo ou suficientemente pequeno, e representa uma importante propriedade de uma embarcação.
	Esta distância faz o papel do coeficiente de momento restaurador. Quanto maior for, mais estável será a embarcação e mais difícil será deslocá-la da posição de equilíbrio sem banda. Se oGM é negativo, o que pode acontecer sob determinada condição de carregamento, o conjugado de endireitamento torna-se negativo e tende a aumentar os ângulos de banda. Neste caso é usual referir-se a ele como um conjugado de emborcamento.
Como se terá oportunidade de mostrar, o GM não é um parâmetro suficiente para tornar um navio "seguro" quanto ao emborcamento. Um alto valor de GM quase sempre está associado a uma faixa pequena de ângulos de banda permissíveis, além dos prejuízos do conforto a bordo devido às altas acelerações conseqüentes. As altas acelerações são resultado de um momento restaurador elevado. Semelhantemente a um sistema massa-mola, quanto maior for o coeficiente K de restauração, menor será o seu período natural e maiores serão suas acelerações.
	A segurança quanto ao emborcamento advém de um compromisso entre valores altos de GM e uma ampla faixa de ângulos de banda permissíveis. Estas questões ficarão claras com a apresentação da Curva de Estabilidade Estática, o que será feito no próximo capítulo, e ainda dos critérios de estabilidade.
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EXERCÍCIOS
1) Determine a pressão hidrostática nas paredes de um submarino que navega a uma profundidade de 500 metros, num local em que a água apresenta uma densidade de 1,020 t/m3.
2) Determine a força total atuante nas paredes de uma comporta de eclusa e a altura de seu centro de atuação (SYMBOL 114 \f "Symbol"=1t/m3). A comporta está em contato com água dos dois lados. Do lado interno a água sobe da base até a altura de 10m, e no lado externo sobe até 6m.
Figura Ex2 - Esquema de porta de eclusagem
3) Determine a relação entre os volumes imerso e emerso de um iceberg de densidade 0,96 t/m3 que flutua em águas de densidade 1,025 t/m3.
	Dados:
	
 (a = 1,025 t/m3 ( massa específica da água )
 (i = 0,96 t/m3 ( massa específica do iceberg )
 Quer-se determinar a relação: (/Ve
 
 ( = Volume imerso do iceberg.
 Ve = Volume emerso do iceberg.
	Resolução:
 V = ( + Ve
	A Condição de equilíbrio impõe:
		
		Peso = Empuxo
	
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	Obs.: Este resultado mostra que o volume acima é 14.77 vezes menor que o volume abaixo da superfície da água, ou o volume emerso é cerca de 6% do volume imerso. 
4) Uma embarcação tem a seção de seu casco em forma de triângulo equilátero de lado 10m. Seu comprimento é L. Considerando-a maciça e de material homogêneo de densidade 0,8 t/m3, determine seu calado se esta flutua em água doce, bem como a altura de seu centro de carena.
	Dados:
 (p = 0.8 t/m3 ( massa específica do prisma )
 (a = 1,0 t/m3 ( massa específica da água )
 L = Comprimento do prisma
 ( = Volume deslocado pelo prisma.
 V = Volume Total do prisma.
	Resolução:
	A Condição de equilíbrio impõe que:
		Empuxo = Peso
	Então:
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