Aula 2 Representação de medidas em histogramas

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Representação de medidas em 
histogramas
Prof. Dr. FerminVelasco
17/04/2016
� Nesta experiência vamos utilizar:
� Nosso objetivo será mostrar que um grande número de
2
� Nosso objetivo será mostrar que um grande número de
medidas do diâmetro irá resultar em uma distribuição em torno
de um valor médio.
� Calcular os desvios (desvio padrão e melhor valor experimental
para o desvio padrão) e obter histogramas da distribuição dos
diâmetros. Finalmente, apresentar o valor da medida
corretamente.
Medidas (mm)
1,94
2,06
1,9
1,93
1,92
1,91
1,91
2,01
2,06
1,93
1,84
1,95
2,01
1,98
1,91
1,9
2,02
1,97
1,92
1,99
1,84
1,94
1,98
1,96
1,89
1,97
1,98
1,98
2,05
1,94
1,96
1,93
1,98
1,97
1,94
2
2,02
1,93
1,98
2,01
2,1
1,94
2,05
1,92
2,04
1,8
2,06
1,98
1,94
1,96
2,06
3
1,97
1,91
2
1,96
1,98
1,98
1,91
1,95
1,96
2,06
1,87
2,03
1,83
1,92
1,96
1,94
2
1,92
1,91
1,97
1,94
2,05
1,92
2,01
1,94
1,9
1,96
2
1,87
1,9
2,01
1,97
2,04
1,92
1,94
1,99
1,89
1,93
2,01
1,98
2,06
1,95
1,86
1,95
1,88
1,91
1,84
1,97
1,91
1,89
2,05
Valor médio: = 1,9556 mm
Desvio médio: = 0,058419 mm
Desvio padrão do valor médio: = 0,00584189 mm
4
Incerteza residual: = 0,005 mm
Incerteza padrão final: = 0,007689 mm
Valor da grandeza: d=(1,956 ± 0,008) mm
HISTOGRAMAHISTOGRAMAHISTOGRAMAHISTOGRAMA
� Identifique o valor mínimo e máximo do mensurando;
� Encontrar o intervalo: ;
� Dividir os mensurados em partes iguais: 
Encontrar a frequência, N(y), ou seja, o número de medidas 
5
� Encontrar a frequência, N(y), ou seja, o número de medidas 
dentro de cada intervalo;
� Encontrar a frequência relativa, , (%);
� Fazer o histograma.
∆ = 2,1 - 1,8 = 0,3
Dividir os mensurando em 7 partes iguais.
Tamanho dos intervalos: 0,3/7 ≈ 0,043
Intervalos Frequência N(y) Frequência Relativa F(y)
1,8 - 1,843 5 5%
1,843 - 1,886 4 4%
1,886 - 1,929 22 22%
1,929 - 1,972 33 33%
HISTOGRAMA - 100 medidas
5 4
22
33
21
9
6
0
5
10
15
20
25
30
35
F
e
q
u
ê
n
c
i
a
 
N
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 100 medidas
1,8 - 1,843
1,843 - 1,886
1,886 - 1,929
1,929 - 1,972
1,972 - 2,015
2,015 - 2,058
2,058 - 2,101
6
1,929 - 1,972 33 33%
1,972 - 2,015 21 21%
2,015 - 2,058 9 9%
2,058 - 2,101 6 6%
100 1
5% 4%
22%
33%
21%
9%
6%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
1,8 -
1,843
1,843 -
1,886
1,886 -
1,929
1,929 -
1,972
1,972 -
2,015
2,015 -
2,058
2,058 -
2,101
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
 
R
e
l
a
t
i
v
a
 
F
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 100 medidas
1,8 - 1,843
1,843 - 1,886
1,886 - 1,929
1,929 - 1,972
1,972 - 2,015
2,015 - 2,058
2,058 - 2,101
HISTOGRAMA - 50 medidas
∆ = 2,06 - 1,83 = 0,23
Dividir os mensurando em 7 partes iguais.
Tamaho dos intervalos: 0,23/7 ≈ 0,033
Intervalos Frequência N(y) Frequência Relativa F(y)
1,83 - 1,863 3 6%
1,863 - 1,896 2 4%
1,896 - 1,929 12 24%
1,929 - 1,962 12 24%
1,962 - 1,995 11 22%
3
2
12 12
11
5 5
0
2
4
6
8
10
12
14
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
 
N
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 50 medidas
1,83 - 1,863 1,863 - 1,896 1,896 - 1,929 1,929 - 1,962
1,962 - 1,995 1,995 - 2,028 2,028 - 2,061
7
1,962 - 1,995 11 22%
1,995 - 2,028 5 10%
2,028 - 2,061 5 10%
50 1
1,962 - 1,995 1,995 - 2,028 2,028 - 2,061
6%
4%
24% 24%
22%
10% 10%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
F
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q
u
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n
c
i
a
 
R
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l
a
t
i
v
a
 
F
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 50 medidas
1,83 - 1,863 1,863 - 1,896 1,896 - 1,929 1,929 - 1,962
1,962 - 1,995 1,995 - 2,028 2,028 - 2,061
Valor médio: 1,950204082 mm
Desvio padrão 0,052973649 mm
Desvio padrão do valor médio: 0,007491605 mm
Incerteza do tipo B: 0,005 mm
Incerteza padrão: 0,009006895 mm
HISTOGRAMA - 10 medidas
∆ = 2,06 - 1,9 = 0,16
Dividir os mensurando em 7 partes iguais.
Tamaho dos intervalos: 0,16/7 ≈ 0,023
Intervalos Frequência N(y) Frequência Relativa F(y)
1,9 - 1,923 4 40%
1,923 - 1,946 2 20%
1,946 - 1,969 0 0%
1,969 - 1,992 1 10%
4
2
0
1 1
0
2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1,9 -
1,923
1,923 -
1,946
1,946 -
1,969
1,969 -
1,992
1,992 -
2,015
2,015 -
2,038
2,038 -
2,061
F
r
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c
i
a
 
N
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 10 medidas
8
1,969 - 1,992 1 10%
1,992 - 2,015 1 10%
2,015 - 2,038 0 0%
2,038 - 2,061 2 20%
10 1
Valor médio: 1,961mm
Desvio padrão: 0,061545mm
Desvio padrão do valor médio: 0,019462 mm
Incerteza do tipo B: 0,005 mm
Incerteza padrão: 0,020094mm
40%
20%
0%
10% 10%
0%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
1,9 -
1,923
1,923 -
1,946
1,946 -
1,969
1,969 -
1,992
1,992 -
2,015
2,015 -
2,038
2,038 -
2,061
F
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r
e
l
a
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i
v
a
 
F
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 10 medidas
HISTOGRAMA - 5 medidas
∆ = 2,06 - 1,9 = 0,16
Dividir os mensurando em 7 partes iguais.
Tamaho dos intervalos: 0,16/7 ≈ 0,023
Intervalos Frequência N(y) Frequência Relativa F(y)
1,9 - 1,923 2 40%
1,923 - 1,946 2 40%
1,946 - 1,969 0 0%
1,969 - 1,992 0 0%
1,992 - 2,015 0 0%
2 2
0 0 0 0
1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1,9 -
1,923
1,923 -
1,946
1,946 -
1,969
1,969 -
1,992
1,992 -
2,015
2,015 -
2,038
2,038 -
2,061
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ê
n
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N
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 5 medidas
9
1,992 - 2,015 0 0%
2,015 - 2,038 0 0%
2,038 - 2,061 1 20%
5 1
Valor médio: 1,95mm
Desvio padrão: 0,063246mm
Desvio padrão do valor médio: 0,02 mm
Incerteza do tipo B: 0,005 mm
Incerteza padrão: 0,0206155mm
40% 40%
0% 0% 0% 0%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
1,9 -
1,923
1,923 -
1,946
1,946 -
1,969
1,969 -
1,992
1,992 -
2,015
2,015 -
2,038
2,038 -
2,061
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
 
R
e
l
a
t
i
v
a
 
F
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 5 medidas
5% 4%
22%
33%
21%
9%
6%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
F
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n
c
i
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F
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 100 medidas
1,8 - 1,843
1,843 - 1,886
1,886 - 1,929
1,929 - 1,972
1,972 - 2,015
2,015 - 2,058
2,058 - 2,101
40%
20%
0%
10% 10%
0%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
1,9 -
1,923
1,923 -
1,946
1,946 -
1,969
1,969 -
1,992
1,992 -
2,015
2,015 -
2,038
2,038 -
2,061
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(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 10 medidas
10
6%
4%
24% 24%
22%
10% 10%
0%
10%
20%
30%
F
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n
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e
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(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 50 medidas
1,83 - 1,863 1,863 - 1,896 1,896 - 1,929 1,929 - 1,962
1,962 - 1,995 1,995 - 2,028 2,028 - 2,061
40% 40%0% 0% 0% 0%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
1,9 -
1,923
1,923 -
1,946
1,946 -
1,969
1,969 -
1,992
1,992 -
2,015
2,015 -
2,038
2,038 -
2,061
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F
(
y
)
Diâmetro (mm)
Histograma - 5 medidas