11 Torcao em Barras de Secao Transversal Circular Cheia ou Vazada

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Disciplina: Disciplina: Mecânica dos Sólidos 2 Mecânica dos Sólidos 2 
Código: Código: ECIV030ECIV030
Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas
Centro de TecnologiaCentro de Tecnologia
Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil
Maceió/ALMaceió/AL
Torção em Barras de Seção Torção em Barras de Seção 
Transversal Circular Cheia Transversal Circular Cheia 
ou Vazadaou Vazada
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Ensaio de TorçãoEnsaio de Torção
Considere a barra prismática de 
seção circular constituída de um 
mesmo material isotrópico e elástico 
linear, submetida a um torsor T em 
uma das extremidades e engastada 
na outra.
Observa-se ainda que, para pequenos giros, os pontos de 
uma seção transversal não sofrem deslocamento na direção 
longitudinal.
Através de ensaiosensaios observa-se que os pontos da mesma seção 
transversal sofrem o mesmo giro em relação ao eixo da peça.
f
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
( ) 0Z,Y,Xu =
[ ]=e
Deslocamentos, Deslocamentos, 
Deformações e TensõesDeformações e Tensões
y
z
L
x
T
( ) ( )XZZ,Y,Xv f-=
( ) ( )XYZ,Y,Xw f=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
f
00Y
00Z
YZ0
dX
d
2
1
[ ]=s
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
f
00Y
00Z
YZ0
dX
dG
y
z x
xys
xzs
Solução de 
Coulomb (1784)
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
y
z
L
x
T
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
f
=s
00Y
00Z
YZ0
dX
dG
Equações Diferenciais de Equações Diferenciais de 
Equilíbrio em TensõesEquilíbrio em Tensões
Simetria sij=sji
0b
ZYX x
zxyxxx =+
¶
s¶
+
¶
s¶
+
¶
s¶
OK!OK!
0b
ZYX y
zyyyxy =+
¶
s¶
+
¶
s¶
+
¶
s¶
0
dX
dGZ 2
2
=
f
-Þ
0b
ZYX z
zzyzxz =+
¶
s¶
+
¶
s¶
+
¶
s¶ 0
dX
dGY 2
2
=
f
Þ
f(X) deve
ser linear
f(X) deve
ser linear
OK!OK!
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões de Cisalhamento Tensões de Cisalhamento 
na Seção Transversalna Seção Transversal
A
B
C
D
y
z
R
AC:
î
í
ì
££-
=
RZR
0Y
dX
dGZxy
f
-=s 0xz =s
dX
dGR f
dX
dGR f
DB:
î
í
ì
=
££-
0Z
RYR
dX
dGYxz
f
=s0xy =s
dX
dGR f
dX
dGR f
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Tensões de Cisalhamento Tensões de Cisalhamento 
na Seção Transversalna Seção Transversal
y
z
R
A distribuição das tensões de 
cisalhamento ao longo dos eixos y e z 
numa seção transversal qualquer só 
apresenta o componente ortogonal 
não nulo (em y ® sxy = 0 e sxz ≠ 0 e 
em z ® sxy ≠ 0 e sxz = 0).
Pela simetria do problema, como não 
existe restrição ao posicionamento dos 
eixos y e z na seção transversal, a 
distribuição anterior vale para qualquer 
direção diagonal da seção transversal.
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
rt dX
dGr f=t Rr0 ££
Caso a seção transversal seja vazada, a distribuição da 
tensão de cisalhamento continua valendo só que Ri ≤ r ≤ Re.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
GJ
Tr 
J
Tr
=g=t e
Equivalência Estática entre o Momento Equivalência Estática entre o Momento 
TorsorTorsor e as Tensões de Cisalhamentoe as Tensões de Cisalhamento
y
z
R
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGR f
dX
dGr f=t Rr0 ££
ò= rdFT ò t=
A
dAr
ò
f
=
A
2 dA
dX
dGrT ò
f
=
A
2dAr
dX
dG
dX
dGJT f=
GJ
T
dX
d =fou
rt
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
ò=
A
2dArJ
Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia
y
z
R
2
RJ
4p
=
y
z ( )4i4e RR2J -
p
=
Re
Ri
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
J
Tr
=t
g=t G
dX
dr f=g
( )Xt
dX
dGJ
dX
d
-=÷
ø
ö
ç
è
æ f
( )Xt
dX
dT
-=
Relação cinemática:Relação cinemática:
Relação constitutiva:Relação constitutiva:
Equivalência estática:Equivalência estática:
Equações GovernantesEquações Governantes
Equação de equilíbrio:Equação de equilíbrio:
dX
dGJT f=
......
... t(X)
X
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
LJ
Tr
=t
dX
dGJT
G
f
=
g=t
dX
dr f=g
( )Xt
dX
dT
-= Problemas IsostáticosProblemas Isostáticos
( )Xt
dX
dGJ
dX
d
-=÷
ø
ö
ç
è
æ f
Problemas HiperestáticosProblemas Hiperestáticos
Estratégias de SoluçãoEstratégias de Solução
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
LCondição 
de contorno ( ) TLT =
Constante de 
integração
Barra Prismática Barra Prismática 
sob Torçãosob Torção
Por se tratar de um problema isostáticoisostático, o momento torsor pode 
ser facilmente determinado por alguma estratégia apresentada 
em Teoria das Estruturas 1Teoria das Estruturas 1 ou pela integração da EDO. Assim,
De posse do momento torsor constrói-se a tensão de 
cisalhamento como
( ) ( ) Rr0 e LX0 
J
Tr
J
rXTr,X ££££==t
( ) 0Xt
dX
dT
=-=
( ) C XT =
( ) LX0 TXT TC ££=Þ=Þ
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Condição 
de contorno
Constante de 
integração( ) C X
GJ
TX +=f
Barra Prismática Barra Prismática 
sob Torçãosob Torção
Da relação cinemática tem-se
GJ
T
rdX
d
=
g
=
f
( ) X
GJ
TX 0C =fÞ=Þ
( )
GJ
TLL =fRotação da seção final da barra:Rotação da seção final da barra:
Fazendo uso da relação constitutiva tem-se
( ) ( ) Rr0 e LX0 
GJ
Tr
G
r,Xr,X ££££=t=g
( ) 00 =f
( )
2
3 24
v
c
3 4
v
c
vmaxcmax
1
1
A
A
 e 
1
1
r
R
 
 
λ−
λ−
=
λ−
=
Φ
Φ
=⇒
τ=τ
Otimização da Seção Otimização da Seção 
TransversalTransversal
y
z
r
vc /r/R ΦΦ= vc A/A
2
rJ rA
4
c
2
c
pi
=pi=
y
z
( ) ( )44v22v 12
RJ 1RA λ−pi=λ−pi=
R
λR
E
d
u
a
r
d
o
 
N
o
b
r
e
 
L
a
g
e
s
 
–
C
T
E
C
/
U
F
A
L
A/A/r/R ττ=
2
2
v
c
4 4
cmax
max
vc
1
1
A
A
 e 
1
1
r
R
 
v
λ−
λ+
=
λ−
=
τ
τ
=⇒
Φ=Φ
Otimização da Seção Otimização da Seção 
TransversalTransversal
y
z
r
vc A/Acmaxvmax /r/R ττ=
2
rJ rA
4
c
2
c
pi
=pi=
y
z
( ) ( )44v22v 12
RJ 1RA λ−pi=λ−pi=
R
λR
E
d
u
a
r
d
o
 
N
o
b
r
e
 
L
a
g
e
s
 
–
C
T
E
C
/
U
F
A
L
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
ExemploExemplo
Considere agora a barra formada por dois trechos prismáticos de 
mesmo material
Para descrever os campos das variáveis de estado do 
problema devemos identificar intervalos de análise a partir 
dos trechos onde há mudança na descrição do momento 
torsor e/ou da rigidez à torção GJ.
T
L L
G, J1 G, J2
O problema em pauta exige a consideração de dois 
intervalos de análise, por exemplo
LX0 e LX0 21 £<<£
X1 X2
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
ExemploExemplo
Por se tratar de um problema isostático:
( ) 222
2
2 CXT 0
dX
dT
=\=( ) 111
1
1 CXT 0
dX
dT
=\=
( )
11
11
1 J
Tr 
J
rXT
==t
( )
22
22
2 J
Tr 
JrXT
==t
1
1
1 GJ
Tr 
G
=
t
=g
( ) 11
1
11
11
1 DX
GJ
TX
GJ
T
dX
d
+=f\=
f ( ) 22
2
22
22
2 DX
GJ
TX 
GJ
T
dX
d
+=f\=
f
2
2
2 GJ
Tr 
G
=
t
=g
( )
1
2
2
22 GJ
TLX
GJ
TX +=fÞ
( ) TXT 11 =Þ ( ) TXT 22 =Þ
( ) ( ) ( ) TLT e 0TLT 221 ==
( ) ( ) ( )0L e 00 211 f=f=f
( ) 1
1
11 XGJ
TX =fÞ
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Princípio da Superposição Princípio da Superposição 
dos Efeitosdos Efeitos
A rotação total da seção livre da barra do exemplo anterior, 
dada por
( )
21
2 GJ
TL
GJ
TLL +=f
também pode ser determinada fazendo-se uso do Princípio da Princípio da 
Superposição dos EfeitosSuperposição dos Efeitos, desde que se conheça a rotação de um 
trecho prismático de mesmo material e momento torsor constante, 
dada por
GJ
TL
=f
onde essa rotação é diretamente proporcional ao inverso do 
momento polar de inércia. Com isso
0
J
10
J
1
21
==
f+f=f
T
L L
rígido G, J2
T
L L
G, J1 rígido
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
ExemploExemplo
Considere agora a barra prismática de mesmo material solicitada 
por um torsor uniformemente distribuído
O problema em pauta exige a consideração de 
um único intervalo de análise, por exemplo
LX0 ££
X
t
L
G, J
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
ExemploExemplo
Por se tratar de um problema isostático:
( ) ( )XLtXT 0)L(T e t
dX
dT
-=Þ=-=
( ) ( )XL
J
tr 
J
rXT
-==t
( ) ( )XL
GJ
tr 
G
r,X
-=
t
=g
( ) ( ) ( ) ( )2XLX2
GJ2
tX00 e XL
GJ
t
dX
d
-=fÞ=f-=
f
Rotação da seção final da barra:Rotação da seção final da barra: ( )
GJ2
tLL
2
=f
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
ExemploExemplo
O giro total da seção livre da barra, anteriormente encontrado,
( )
GJ2
tLL
2
=f
também pode ser deduzido a partir de um arranjo onde se tem o 
torsor resultante do torsor distribuído posicionado no centróide da 
figura de representação desse carregamento, ou seja,
L
G, J
Essa conclusão pode ser estendida a qualquer lei de 
variação do torsor distribuído, desde que esse esteja 
atuando num trecho prismático de mesmo material.
tL
L/2
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Considere agora a configuração prismática hiperestática de 
mesmo material e com a consideração do torsor distribuído.
O problema em pauta exige a consideração de 
um único intervalo de análise, por exemplo
LX0 ££
X
Exemplo HiperestáticoExemplo Hiperestático
L
G, J
t
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Por se tratar de um problema 
hiperestático, tem-se
Exemplo HiperestáticoExemplo Hiperestático
GJ
t
dX
d
2
2
-=
f
1CXGJ
t
dX
d
+-=
f
( ) 212 CXCXGJ2
tX ++-=f
( ) 00 =f
( ) 0L =f
( ) X
GJ2
tLX
GJ2
tX 2 +-=f
0C2 =Þ
GJ2
tLC1 =Þ
Conhecido o campo de rotações chega-se a qualquer outra 
variável de estado de interesse manipulando adequadamente 
a relação cinemática e a relação constitutiva.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Este mesmo problema também poderia ser resolvido com o 
auxílio do método das forçasmétodo das forças, que visa determinar os 
hiperestáticoshiperestáticos impondo-se uma equação de compatibilidadeequação de compatibilidade.
Exemplo HiperestáticoExemplo Hiperestático
+ fB (TB) = 0
=
L
G, J
t
L
G, J
t TB
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Para quantificar a rotação na extremidade direita da barra faz-se 
uso do Princípio da Superposição dos EfeitosPrincípio da Superposição dos Efeitos, usufruindo-se do 
fato de que já que se conhece o efeito de cada ação isolada, ou 
seja,
Exemplo HiperestáticoExemplo Hiperestático
De posse do hiperestático o momento torsor passa a ser 
conhecido, podendo-se seguir o procedimento já discutido 
para problemas isostáticos.
BT
B
t
BB f+f=f
GJ2
tL2t
B =f
GJ
LTBT
B
B -=f
2
tLT B =Þ
0=
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
T
T
Considere o estado de tensão em um ponto material qualquer 
da barra sob torção
Tensões e Direções PrincipaisTensões e Direções Principais
J
Tr
=t
t
Para garantir a simetria do tensor de tensão, a tensão
de cisalhamento na direção circunferencial na face da
seção transversal é equilibrada pelo componente de
cisalhamento na direção longitudinal da face radial.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Cada ponto material encontra-se 
em estado de cisalhamento puroestado de cisalhamento puro
Tensões e Direções PrincipaisTensões e Direções Principais
As tensões principais, de mesma intensidade em módulo,
estão inclinadas de 45º em relação ao eixo longitudinal
t
t
t
t
t
TT
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Materiais frágeis apresentam 
falha em superfície de corte 
perpendicular às tensões 
principais de tração.
Tensões e Direções PrincipaisTensões e Direções Principais
Materiais dúcteis apresentam falha em superfície 
de corte perpendicular ao eixo da barra.
TT
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Energia Específica de Energia Específica de 
DeformaçãoDeformação
T
T
t
Para um ponto qualquer de uma seção 
transversal os únicos componentes 
não nulos dos estados de tensão e de 
deformação, em coordenadas 
cilíndricas, são dados por
e
J
Tr
=t
GJ
Tr
=g
GJ
Tr
J
Tr
2
1
= 2
22
GJ
rT
2
1 =
2
U0
tg
=
Com isso a energia específica de deformação é dada 
simplesmente por
que varia quadraticamente com a distância do ponto 
ao centro da seção circular cheia ou vazada.
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
Energia de DeformaçãoEnergia de Deformação
Para gerar a energia de deformação acumulada numa barra sob 
torção, deve-se integrar a energia específica de deformação ao 
longo do volume da mesma, ou seja,
ò=
V
0dVUU
Desmembrando a integração no volume da barra através da 
seção transversal e ao longo do comprimento da mesma tem-se
ò ò=
L A
0 dxdAUU ò ò=
L A
2
22
dxdA
GJ
rT
2
1
ò ò=
L A
2
2
2
dxdAr
GJ
T
2
1 dxJ
GJ
T
2
1
L
2
2
ò= dxGJ
T
2
1 
L
2
ò=
E
du
ar
do
 N
ob
re
 L
ag
es
 –
C
TE
C
/U
FA
L
As seções transversais de barras não circulares sofrem 
empenamentoempenamento, não mais permanecendo planas. Porém, para 
pequenas deformações, a projeção da seção empenada num 
plano perpendicular ao eixo da barra gira como uma seção rígida.
Barras Não CircularesBarras Não Circulares
Soluções analíticas para seções não circulares são 
construídas com base na Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade.