Prova de Mat Fin AFC2005 Corrigida

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Olá, amigos! 
	Apresento-lhes hoje a resolução de todas as questões da prova de Matemática Financeira do AFC/2005. Como a prova é bem recente, convém que a conheçamos bem!
	Considero que foi uma prova um tanto quanto trabalhosa! Mais inclusive que as últimas do AFRF. Seria bom que vocês tentassem resolver, antes mesmo de vê-las resolvidas. Assim, apresentarei primeiramente as questões, e depois as respectivas resoluções. Ok?
	Antes de me despedir, não poderia deixar de mandar um abraço do tamanho do mundo aos novos amigos que fiz em Manaus, no Curso Êxito. Tive a imensa alegria de conhecer a Marlene, uma pessoa maravilhosa, e que é, antes de dona do curso, uma verdadeira mãezona para todos os alunos e professores com quem trabalha! 
O Êxito é uma prova viva de que um curso não precisa ser um gigante para ser bom. Com muito esforço, seriedade e respeito aos alunos, a Marlene e sua equipe desenvolvem um trabalho de qualidade inquestionável. Não é à toa que tem obtido os melhores resultados, em termos de aprovação, de toda a capital amazonense.
Abraço muito especial também a Josiany, ao Roberto, a Gisa (oposição), e a todos os demais alunos, que marcaram minha passagem pelas terras manauaras!
	A você, Marlene, meu mais sincero agradecimento!
	É isso! Forte abraço a todos! E fiquem com Deus!
Questões do AFC/2005
01. Considere três títulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6 % ao mês, quatro meses a 9 % ao mês e dois meses a 60 % ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a:
a) 7 %
b) 6 %
c) 6,67 %
d) 7,5 %
e) 8 %
02. Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$ 500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de R$ 600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a:
a) R$ 2.535,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.153,00
d) R$ 1.957,00
e) R$ 1.933,00
03. Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a:
a) R$ 35.000,00
b) R$ 27.925,00
c) R$ 32.500,00
d) R$ 39.925,00
e) R$ 35.500,00
04. No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:
a) R$ 155.978,00
b) R$ 155.897,00
c) R$ 162.217,00
d) R$ 189.250,00
e) R$ 178.150,00
05. Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2 % ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a:
a) R$ 23.455,00
b) R$ 23.250,00
c) R$ 24.580,00
d) R$ 25.455,00
e) R$ 26.580,00
06. Ana comprou, no regime de juros compostos, um apartamento financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 prestações mensais iguais a R$ 8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra. Após pagar a sétima prestação, Ana resolveu transferir o contrato de compra para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, sem considerar os centavos, o valor de:
a) R$ 61.474,00
b) R$ 51.775,00
c) R$ 59.474,00
d) R$ 59.775,00
e) R$ 61.775,00
07. O preço a vista de um imóvel é R$ 180.000,00. Um comprador propõe pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor a vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9 % ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os centavos, será igual a:
a) R$ 34.323,00
b) R$ 32.253,00
c) R$ 35.000,00
d) R$ 37.000,00
e) R$ 57.000,00
08. Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida, comprometendo liquidá-la em dois pagamentos. O primeiro de R$ 2.500,00 com vencimento para o final de fevereiro. O segundo de R$ 3.500,00 com vencimento para o final de junho. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos para honrá-la, o devedor propôs um novo esquema de pagamento. Um pagamento de R$ 4.000,00 no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano. Sabendo que a taxa de juros compostos da operação é de 3 % ao mês, então, sem considerar os centavos, o saldo a pagar em dezembro será igual a 
a) R$ 2.168,00
b) R$ 2.288,00
c) R$ 2.000,00
d) R$ 3.168,00
e) R$ 3.288,00
09. Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês
10. Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:
a) 69 % e 60 %
b) 60 % e 60 %
c) 69 % e 79 %
d) 60 % e 69 %
e) 120 % e 60 %
Resoluções da Prova
01. Considere três títulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6 % ao mês, quatro meses a 9 % ao mês e dois meses a 60 % ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a:
a) 7 %
b) 6 %
c) 6,67 %
d) 7,5 %
e) 8 %
Sol.: O assunto desta questão – Taxa Média de Desconto – guarda estreita relação com um outro assunto velho conhecido nosso: a Taxa Média de Juros.
	Conhecendo a equação da Taxa Média de Juros, praticamente já saberemos também a da Taxa Média de Desconto. Vejamos as duas equações:
	( Taxa Média de Juros: 
	
	( Taxa Média de Desconto: 
	Ou seja, a diferença é uma só: onde havia Capital (na Taxa Média de Juros) entra Valor Nominal (na Taxa Média de Desconto). No mais, tudo é igual. Inclusive a exigência da fórmula: é preciso que entre si as taxas estejam na mesma unidade, e que entre si os tempos estejam na mesma unidade. 
	Se estas condições já estiverem satisfeitas, restará apenas fazer o copiar-colar, e lançar os dados na equação. 
	Uma lembrança: se as taxas originais forem todastaxas mensais, então a Taxa Média será também mensal; se as taxas originais forem anuais, a Taxa Média é anual; e assim por diante. Ou seja: a Taxa Média (quer de juros, quer de desconto) terá sempre a mesma unidade que as taxas das aplicações originais.
	Daí, atente bem: a questão pode perfeitamente trazer taxas ao mês e pedir que calculemos uma taxa média anual, ou em outra unidade qualquer diferente de mês! Neste caso, faremos nossas contas com as taxas mensais, encontraremos como resultado das contas uma taxa média mensal, e depois disso alteraremos a unidade dessa taxa mensal para a unidade que a questão estiver pedindo! Essa alteração será feita por meio do conceito de Taxas Proporcionais, uma vez que a taxa média é taxa de juros simples! Só isso! Ok?
	Vejamos os dados da nossa questão:
	( N1=5.000,00 	( n1=3 meses 	( i1=6% ao mês
	( N2=3.000,00 	( n2=4 meses 	( i2=9% ao mês 
	( N3=2.000,00 	( n3=2 meses 	( i3=60% ao ano
 
 	Os círculos em vermelho servem para nos ajudar a observar se a exigência da fórmula da Taxa Média já está cumprida. E aí? O que vocês me dizem? A resposta é não! Embora os tempos estejam todos na mesma unidade (mês), o mesmo não se dá com as taxas. Existe uma taxa (60% ao ano), que está destoando das outras duas! Ou seja, temos i1 e i2 mensais, enquanto a taxa i3 é anual. 
	Daí, por primeiro, teremos que transformar essa taxa anual numa taxa mensal. E como faremos isso? Mediante o conceito de taxas proporcionais. Teremos:
	( 60% ao ano = (60/12) = 5% ao mês 
	Pronto! Agora sim, as taxas estão todas, entre si, na mesma unidade! Resta aplicarmos a equação. Teremos:
( 
( 
7% ao mês ( Resposta!
02. Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$ 500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de R$ 600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a:
a) R$ 2.535,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.153,00
d) R$ 1.957,00
e) R$ 1.933,00
Sol.: A questão trata de uma situação de Equivalência de Capitais! Claro! Havia uma dívida original, formada por três parcelas, e esta dívida será agora paga de uma outra maneira diferente. Ou seja, haverá uma nova forma de pagamento de uma obrigação! Para que você (que está pagando) não saia perdendo, e nem o seu credor saia perdendo, é preciso que a segunda forma da pagamento seja equivalente à primeira!
	Entendido? E se é equivalência de capitais, então é receita de bolo! Só precisaremos seguir os passos da receita!
( Passos Preliminares:
1º) Desenhar a questão. Teremos:
 X
 1000,
 600,
 500,
 0 3m 6m 8m 12m 
2º) Definir quais as parcelas da primeira e da segunda forma de pagamento:
 X
 1000,
 600,
 500,
 0 3m 6m 8m 12m 
 (I) (II) (I) (I)
3º) Colocar taxa e tempos na mesma unidade! Aqui não precisamos fazer nada, pois o enunciado já forneceu uma taxa mensal (5% ao mês) e os tempos todos em meses!
4º) Definir o regime e a modalidade das operações de desconto que vamos realizar.
	Ora, o enunciado falou expressamente que estamos no regime composto (vide primeira linha da questão). Assim, concluímos que nossa questão é de Equivalência Composta e, como tal, será resolvida sempre por meio de operações de desconto composto racional (composto por dentro)!
5º) Escolher a data focal.
	Lembraremos nesse instante que na Equivalência Composta a escolha da data focal é livre! Qualquer uma serve! Mas, porém, contudo, todavia e não obstante, se você for daquelas pessoas que prefere multiplicar a dividir, pode perfeitamente aceitar a minha sugestão: adote como data focal aquela data mais à direita do desenho! Fazendo isso, estaremos traçando divisões por multiplicações, e tornando nossa resolução mais rápida! Daí, aceitando a minha sugestão, teremos:
	 X
 1000,
 600,
 500,
 0 3m 6m 8m 12m 
 (I) (II) (I) (I)
								 DF
( Passos Efetivos:
1º) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação! 
O que estamos chamando aqui de primeira obrigação são as parcelas da primeira forma de pagamento. E como é que se dará esse transporte? Por meio de uma operação de desconto composto por dentro, conforme havia sido definido no quarto passo preliminar! Começando pela parcela de R$500,00, teremos:
( E=500.(1+0,05)9 
Consultando na Tabela Financeira o valor desse parêntese famoso, encontraremos que: (1+0,05)9=1,157625. Daí, teremos que:
( E=500x1,551328 ( E=775,66
Esse valor ficará guardado, de molho, para o fim da questão! Adiante! Trabalhando agora com a parcela de R$1000,00, teremos:
( F=1000.(1+0,05)4
A consulta à tabela financeira nos revela que (1,05)4=1,215506. Daí, teremos que: 	( F=1000x1,215506 ( F=1.215,50
Das parcelas que constituem a primeira obrigação, só está faltando trabalharmos com a de R$600. Mas esta já está sobre a data focal, ou seja, não precisa ser levada mais para lugar nenhum! Já está onde queremos que esteja! Perceberam isso? A pergunta é: quanto vale esses R$600,00 na data focal. Ora. Vale ele mesmo: R$600,00.
Não havendo mais nenhuma outra parcela de primeira obrigação para ser transportada para a data focal, diremos que o primeiro passo efetivo está encerrado.
2º) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação! 
	De segunda obrigação só temos a parcela X, que está na data 6 meses. Daí, teremos:
	( G=X.(1+0,05)6 ( G=1,34 X
3º Passo) Aplicar a equação de equivalência de capitais. Teremos:
∑(Parcelas da 1ª obrigação, na data focal) = ∑(Parcelas da 2ª obrigação, na data focal)
	Teremos, pois, que:
	( 775,66+1.215,50+600=1,34X 
	( 1,34X=2.591,16 ( X=(2.591,16/1,34)
	( X=1.933, ( Resposta!
03. Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a:
a) R$ 35.000,00
b) R$ 27.925,00
c) R$ 32.500,00
d) R$ 39.925,00
e) R$ 35.500,00
Sol.: Essa prova do AFC-2005 foi quase toda feita de questões de equivalência de capitais! Aqui temos mais uma delas. Por que essa questão é de equivalência? Porque o enunciado apresenta duas formas de pagamento para o mesmo bem. Isso caracteriza de pronto a questão de equivalência: para que o comprador não saia perdendo, e nem o vendedor saia perdendo, é preciso que a segundaforma de pagamento seja equivalente à primeira!
	E se a questão é de equivalência, já sabemos, só vamos precisar seguir a tal receita de bolo, para acertarmos na resolução e ganharmos mais um pontinho na prova!
	Teremos:
( Passos Preliminares:
1º) Desenhar a questão. Teremos:
 85.000,
 30.000,
 X X
 15.000,
 0 6m 12m 18m 
	Para melhorarmos e simplificarmos o desenho acima, podemos trabalhar com o valor da entrada, eliminando-a. Para isso, só é preciso que façamos uma subtração. Valor à vista menos o valor da entrada. Daí, desaparece a entrada e fica somente a diferença como se fosse o novo valor à vista. Teremos:
 70.000,
 30.000,
 X X
 
 0 6m 12m 18m 
2º) Definir quais as parcelas da primeira e da segunda forma de pagamento:
 70.000,
 30.000,
 X X
 
 0 6m 12m 18m 
	 (I) (II) (II) (II)
3º) Colocar taxa e tempos na mesma unidade!
Já estão! Tempos em meses e uma taxa mensal (4% ao mês).
4º) Definir o regime e a modalidade das operações de desconto que vamos realizar.
	Aqui, da mesma forma que na questão anterior, o enunciado falou expressamente que estamos no regime composto. Assim, concluímos igualmente que nossa questão é de Equivalência Composta e, como tal, será resolvida sempre por meio de operações de desconto composto racional (composto por dentro)!
5º) Escolher a data focal.
Vimos na resolução passada que no caso da equivalência composta a escolha da data focal é livre. E vimos também a sugestão que eu lhes passei! Lembrados: adotar como data focal aquela mais à direita do desenho! Fazendo isso, teremos:
 70.000,
 30.000,
 X X
 
 0 6m 12m 18m 
	 (I) (II) (II) (II)
								 DF
( Passos Efetivos:
1º) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação! 
Nossa única parcela de primeira obrigação é a de R$70.000, na data zero. Faremos, pois, o seguinte:
( E=70000.(1+0,04)18 
Consultando na Tabela Financeira o valor desse parêntese famoso, encontraremos que: (1+0,04)18=2,025816. Daí, teremos que:
( E=70000x2,025816 ( E=141.807,15
E com isso, terminamos nosso primeiro passo efetivo. Adiante!
2º) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação! 
De segunda obrigação temos três parcelas.Trabalhando agora com a parcela X que está na data seis meses, teremos:
( F=X.(1+0,04)12
A consulta à tabela financeira nos revela que (1,04)12=1,601032. Daí, teremos que: 	( F=1,601032 X
Passando agora a trabalhar com a parcela R$30.000 que está na data doze meses, teremos:
	( G=30000.(1+0,04)6 ( G=37.959,57
Finalmente, das parcelas que constituem a primeira obrigação, só está faltando trabalharmos com o último X, que já se encontra sobre a data focal, e por isso não terá que ser levado para lugar nenhum! Já está onde queremos que esteja! Viram isso? E quanto vale esse X na data focal. Ora. Vale ele mesmo: X.
Não havendo mais nenhuma outra parcela de segunda obrigação para ser transportada para a data focal, diremos que o segundo passo efetivo está encerrado.
3º Passo) Aplicar a equação de equivalência de capitais. Teremos:
∑(Parcelas da 1ª obrigação, na data focal) = ∑(Parcelas da 2ª obrigação, na data focal)
	Teremos, pois, que:
	( 141.807,15=1,601032 X +37.959,57+X 
	( 2,601X=103.847,58 ( X=(103.847,58/2,601)
	( X=39.925, ( Resposta!
04. No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:
a) R$ 155.978,00
b) R$ 155.897,00
c) R$ 162.217,00
d) R$ 189.250,00
e) R$ 178.150,00
Sol.: Eis aqui uma questão inteligente e que, embora muito fácil, requer toda a atenção do aluno! Vocês já perceberam (é claro, estamos na penúltima aula!) que é nosso costume fazer sempre o desenho da questão! Não é verdade? E isso tem um propósito! O desenho não nos deixa errar! Essa questão é uma daquelas em que o desenho faz toda a diferença: quem desenhar, acerta; quem não quiser perder seu tempo desenhando correrá grande risco de se equivocar com as datas!
	Senão, vejamos! O enunciado nos diz que são dez parcelas mensais, todas no valor de R$20.000. Teremos:
 20.000,	 20.000,	 20.000,	 20.000,
	E o que mais nos diz a questão? Que a primeira dessas parcelas está localizada no dia 10 de novembro! Daí:
 10/NOV
 20.000,	 20.000,	 20.000,	 20.000,
	E o que nos pede a questão? Pede que nós descubramos o quanto valem todas essas parcelas, se projetadas para uma determinada data! Que data é essa? O dia 10 de setembro! Ora, se a primeira parcela do nosso desenho data de 10 de novembro, então esse valor que procuraremos na nossa resolução estará exatamente dois meses antes da primeira parcela! Todos concordam? Teremos:
 X
 
 20.000,	 20.000,	 20.000,	 20.000,
	A taxa da operação é de juros compostos, conforme disse expressamente o enunciado: 60,1032% ao ano. 
	Ora, no desenho da questão encontramos uma seqüência de parcelas de mesmo valor, em intervalos de tempo iguais e sujeitas a uma taxa composta. Essas três características revelam que poderemos trabalhar com essas parcelas de duas formas possíveis: ou numa operação de rendas certas, ou numa operação de amortização. Escolheremos o caminho que nos parecer mais conveniente! De antemão, saibam que há mil maneiras de se fazer essa questão! (Invente a sua! Ou melhor, inventemos a nossa!)
	Ocorre que, antes de mais nada, nossa primeira providência será alterar a unidade da taxa (anual), transformando-a para uma taxa mensal. E por que isso? Porque tanto nas rendas certas quanto na amortização, a exigência da fórmula será que a taxa esteja na mesma unidade que o intervalo entre as parcelas.
	A taxa fornecida pelo enunciado é taxa efetiva de juros compostos! Como alteramos a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos? Por meio do conceito de taxas equivalentes! Teremos:
	( 1+I=(1+i)K 
	Daí, faremos a seguinte análise:
	( Taxa ao ano é maior que taxa ao mês: I=60,1032% ao ano;
	( Taxa ao mês é menor que taxa ao ano: i= taxa mensal;
	( K=12, pois cabem 12 meses em um ano.
	Daí, teremos:
	( 1+0,601032=(1+i)12 ( (1+i)12= 1,601032
	Pela tabela financeira (do parêntese famoso), acharemos que: i=4% ao mês.
	Agora sim, estamos prontos para trabalhar a questão! 
	Vamos resolver a questão trabalhando numa operação de Amortização. Ora, a primeira parcela não está ao final do primeiro período, como tem que ser para aplicarmos a fórmula. Assim, acrescentaremos ao desenho da questão uma parcela fictícia. Teremos:
 X20.000,	 20.000,	 20.000,	 20.000,
	Daí, com a presença da parcela fictícia (em verde no desenho), nossa equação da amortização sofre uma pequena modificação: teremos uma subtração entre dois fatores de amortização, sendo que o primeiro deles considera o total das parcelas (reais e fictícia), e o segundo considerará apenas a parcela fictícia. Teremos:
	( X=20.000 {A11(4% - A1(4%}
	Fazendo as duas consultas à Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: A11(4%= 8,760477 e que A1(4%= 0,961538.
	Daí, teremos:
	( X=20.000 {8,760477-0,961538}
	( X=20.000 x 7,798939 ( X=155.978, ( Resposta!
05. Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2 % ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a:
a) R$ 23.455,00
b) R$ 23.250,00
c) R$ 24.580,00
d) R$ 25.455,00
e) R$ 26.580,00
Sol.: Questãozinha típica de Equivalência de Capitais! Havia uma forma original de pagamento do carro, e alguém propõe uma nova forma de pagamento! Para que ninguém saia perdendo, é preciso que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira! Sigamos o passo-a-passo das resoluções de equivalência:
1º Passo) Desenhar a questão! Teremos:
 X
 20.000, 20.000,
 17.000,
 0 6m 8m
2º Passo) Definir quais são as parcelas da 1ª obrigação (=1ª forma de pagamento) e da 2ª obrigação (=2ª forma de pagamento). Teremos:
 X
 20.000, 20.000,
 17.000,
 (II) (I) (I) (II)
 0 6m 8m
3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade. 
	Esse passo já veio feito, pois os tempos estão todos em meses e a taxa fornecida pela questão é também mensal (2% ao mês).
4º Passo) Definir qual o regime e qual a modalidade das operações de desconto que iremos realizar.
	Ora, o enunciado disse que o regime da operação é o composto! Daí, a Equivalência é composta e, assim sendo, trabalharemos com operações de desconto composto por dentro (composto racional)!
5º Passo) Escolher a data focal. 
	Sabemos que a escolha da data focal, na equivalência composta, é livre! A título de sugestão, podemos escolher aquela que fica mais à direita do desenho.
	Com isso, trocaremos divisões por produtos! Além disso, as operações de desconto composto racional se confundirão com operações de juros compostos!
	Pronto! Terminaram os passos preliminares! Nos passos efetivos, levaremos as parcelas da 1ª obrigação para a data focal (1º passo efetivo) e as da 2ª obrigação (2º passo) todos para a data focal.
	Assim, teremos:
1º Passo Efetivo) 
	( E=20000.(1+0,02)8=20000x1,171659=23.433,18
	( F=20000.(1+0,02)2=20000x1,0404=20.808,00
2º Passo Efetivo) 
	( G=X.(1+0,02)8=X.1,171659=1,171659X
3º Passo Efetivo) Aplicar a equação de equivalência. Teremos:
∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal)= ∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal)
	Daí, teremos:
	( E + F = G + 17000
	( 23.433,18+20.808,00=1,171659X+17.000
	( 1,171659X=27.241,18
	( X=27.241,18/1,171659
	( X=23.250, ( Resposta!
06. Ana comprou, no regime de juros compostos, um apartamento financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 prestações mensais iguais a R$ 8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra. Após pagar a sétima prestação, Ana resolveu transferir o contrato de compra para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, sem considerar os centavos, o valor de:
a) R$ 61.474,00
b) R$ 51.775,00
c) R$ 59.474,00
d) R$ 59.775,00
e) R$ 61.775,00
Sol.: Essa questão é muito fácil, se pensarmos com atenção! A situação é a seguinte: a Ana está comprando um apartamento, e tem que fazê-lo por meio de doze parcelas mensais de R$8000. Ou seja, o desenho da compra da Ana é o seguinte:
 8.000 8.000 8000
	Ocorre que a Ana acabou de pagar a sétima parcela, e resolveu que não queria mais o imóvel. Vejamos no desenho abaixo o que já foi pago pela Ana. Teremos:
 8.000 8.000 800
Ocorre que Beatriz, amiga de Ana, resolveu que assumiria o contrato e as parcelas vincendas. Ora, obviamente que Ana só iria transferir o contrato para Beatriz, se esta lhe pagasse alguma coisa, concordam? E o que teria que Beatriz pagar a Ana? Não é óbvio isso? Claro: vai pagar a Ana o que Ana já pagou pelo apartamento!
E quanto às parcelas restantes? Ora, essas Beatriz irá pagar normalmente nas datas dos respectivos vencimentos. Mas tais parcelas, as restantes, não interessam para essa questão! O que Beatriz terá que pagar, na data em que Ana quitou a sétima parcela, é somente o que Ana já havia pago até então. Nosso desenho agora é o seguinte:
 X
 8.000 8000
Daí, percebemos que caímos no desenho modelo das Rendas Certas. Antes vamos dar uma conferida, para saber se estão presentes as três características das Rendas Certas:
( Parcelas de mesmo valor? Confere!
( Intervalos de tempos iguais entre as parcelas? Confere!
( Regime composto? Confere!
Pronto! Nenhuma dúvida mais! Resta aplicarmos a fórmula das Rendas Certas, para chegarmos à resposta. Teremos:
( X=P.Sn(i ( X=8000. S7(2% ( X=8000x7,434283=59.474, ( Resposta!
07. O preço a vista de um imóvel é R$ 180.000,00. Um comprador propõe pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor a vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9 % ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os centavos, será igual a:
a) R$ 34.323,00
b) R$ 32.253,00
c) R$ 35.000,00
d) R$ 37.000,00
e) R$ 57.000,00
Sol.: O que esta questão faz é dividir o valor do imóvel ao meio, e cada uma dessas metades será paga de uma forma diferente. Daí, o que teremos que fazer são dois desenhos, em vez de um só! Teremos, pois, o seguinte:
	 90.000,
 90.000,
	Agora vejamos o que a questão quer mesmo saber: qual o valor que deverá ser desembolsado no final do segundo trimestre. Ora, nesta data estabelecida pela questão, vemos pelo desenho que deverão ser pagas duas parcelas, uma de cada desenho. Senão, vejamos:
	 90.000,
 90.000,
	Ora, olhando para os dois desenhos acima, vemos que em ambos faremos operações de amortização! Claro: estão presentes as três características que devem estar presentes em toda operação de amortização:
	1ª) Parcelas de mesmo valor;
	2ª) Intervalos de tempos iguais entre as parcelas;
	3ª) Regime composto!
	Daí, usando a fórmula da amortização duas vezes (uma para cada desenho), descobriremos o valor das parcelas nas duas situações. Teremos:
( T=P.An(i ( 90.000=P. A18(3% ( P=90000/13,753513 ( P=6.543,78
( T=P.An(i( 90.000=P. A4(9% ( P=90000/3,239720 ( P=27.780,18
Daí, somando o valor das duas parcelas, que terão que ser pagas naquela data. Teremos, pois, que:
( 6.543,78+27.780,18= 34.323, ( Resposta!
08. Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida, comprometendo liquidá-la em dois pagamentos. O primeiro de R$ 2.500,00 com vencimento para o final de fevereiro. O segundo de R$ 3.500,00 com vencimento para o final de junho. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos para honrá-la, o devedor propôs um novo esquema de pagamento. Um pagamento de R$ 4.000,00 no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano. Sabendo que a taxa de juros compostos da operação é de 3 % ao mês, então, sem considerar os centavos, o saldo a pagar em dezembro será igual a 
a) R$ 2.168,00
b) R$ 2.288,00
c) R$ 2.000,00
d) R$ 3.168,00
e) R$ 3.288,00
Sol.: Mais uma questão de Equivalência Composta. Aliás, nesta prova do AFC/2005, a Esaf usou e abusou deste tipo de questão! O que temos a fazer é seguir o passo-a-passo que já conhecemos. Teremos:
1º Passo) Desenhar a questão! Teremos:
 4.000, X
 3.500,
 2.500, 
 0 4m 7m 10m
2º Passo) Definir quais são as parcelas da 1ª obrigação (=1ª forma de pagamento) e da 2ª obrigação (=2ª forma de pagamento). Teremos:
 4.000, X
 3.500,
 2.500, 
 0 4m 7m 10m
 (I) (I) (II) (II)
3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade. 
	Esse passo já veio feito, pois os tempos estão todos em meses e a taxa fornecida pela questão é também mensal (3% ao mês).
4º Passo) Definir qual o regime e qual a modalidade das operações de desconto que iremos realizar.
	Ora, o enunciado disse que a taxa da operação é de juros compostos! Daí, a Equivalência é composta e, assim sendo, trabalharemos com operações de desconto composto por dentro (composto racional)!
5º Passo) Escolher a data focal. 
	Sabemos que a escolha da data focal, na equivalência composta, é livre! A título de sugestão, podemos escolher – e escolheremos – aquela que fica mais à direita do desenho.
	Já sabemos que essa escolha nos proporcionará trocar divisões por produtos! 
	Pronto! Terminaram os passos preliminares! Nos passos efetivos, levaremos as parcelas da 1ª obrigação para a data focal (1º passo efetivo) e as da 2ª obrigação (2º passo) todos para a data focal.
	Assim, teremos:
1º Passo Efetivo) 
	( E=2500.(1+0,03)10=2500x1,343916=3.359,79
	( F=3500.(1+0,03)6=3500x1,194052=4.179,18
2º Passo Efetivo) 
	( G=4000.(1+0,03)3=4000.1,092727=4.370,91
3º Passo Efetivo) Aplicar a equação de equivalência. Teremos:
∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal)= ∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal)
	Daí, teremos:
	( E + F = G + X
	( 3.359,79+4.179,18=4.370,91+X
	( X=3.168, ( Resposta!
09. Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês
Sol.:
	O enunciado apresenta elementos de uma operação de desconto comercial simples, ou seja, o desconto simples por fora! Daí, trabalharemos com base no esquema ilustrativo deste tipo de desconto, que é o seguinte:
 N
 A
 100-i.n 100
 Df
 i.n
	Daí, como a questão forneceu o valor atual e pede o valor nominal, trabalharemos com esses dois elementos. Nossa equação será, portanto, a seguinte:
( 
�� EMBED Equation.3 
	
	Sabemos que a exigência a ser cumprida para aplicarmos a equação acima é que tenhamos taxa e tempo na mesma unidade!
	Aqui, temos uma taxa de 60% ao ano e o tempo de 45 dias. Ora, ficou fácil vermos que a unidade mês parece ser bem conveniente. Daí, diremos que:
	( 45 dias = 1,5 mês 
	( 60% ao ano = (60/12) = 5% ao mês 
	Pronto. Lançando os dados na equação, teremos:
( 
�� EMBED Equation.3 ( 
 ( N=400.000,00 ( Resposta!
	Agora a questão pergunta qual é a taxa efetiva desta operação. Ora, estando no regime simples, taxa efetiva significará apenas uma taxa de desconto simples por dentro! Ou seja, conhecemos a taxa de desconto simples por fora, e queremos encontrar a taxa de desconto simples por dentro correspondente!
	Ora, se soubéssemos que – comparando as taxas de desconto simples por dentro e por fora – encontraremos sempre que a taxa por dentro é maior que a taxa por fora (considerando o mesmo título e o mesmo tempo de antecipação), já teríamos condições de dizer qual a resposta da questão!
	Todavia, caso não nos lembremos dessa informação, o cálculo desta taxa efetiva se faz da seguinte forma:
( 
	Daí, teremos: 
( 
 ( 
 ( 
( 
 ( 
 ( id=5,4% ao mês ( Resposta!
10. Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:
a) 69 % e 60 %
b) 60 % e 60 %
c) 69 % e 79 %
d) 60 % e 69 %
e) 120 % e 60 %
Sol.:
A questão nos forneceu duas taxas nominais. Como primeiro passo, transformaremos ambas em suas respectivas taxas efetivas. Teremos:
( Banco A: 60%a.a., com capitalização semestral =(60/2)=30% ao semestre
( Banco B: 30%a.s., com capitalização mensal =(30/6)=5% ao mês
	Pois bem! Agora a questão pede que transformemos essas duas taxas efetivas encontradas em taxas anuais!
	Aqui usaremos de astúcia! A boa astúcia, é claro! Aquela que nos faz enxergar os atalhos da prova e resolver mais rapidamente a questão!
	Ora, se as taxas efetivas encontradas acima fossem (não são!) taxas no regime simples, transformando-as em taxas anuais, teríamos:
( 30% ao semestre = 30x2 = 60% ao ano
( 5% ao mês = 5x12 = 60% ao ano
	Vejam que o conceito que acabamos de usar foi o de Taxas Proporcionais, usado sempre no regime simples. 
	Porém, como estamos de fato trabalhando com taxas efetivas compostas, teríamos, para alterá-las, que usar o conceito de Taxas Equivalentes. Aí é que mora a astúcia: o resultado das taxas equivalentes e sempre maior que o resultado das taxas proporcionais. 
Daí, concluímos que as duas taxas exigidas pela questão terão que ser, ambas, maiores que 60%. Só há uma opção de resposta que atende essa condição: a letra C.
Resposta: C
	
_1191362088.unknown
_1191362269.unknown
_1194179738.unknown
_1194185002.unknown
_1194179643.unknown
_1191362300.unknown
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