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Análise Estrutural e Métodos Matriciais Método da Flexibilidade Revisão e detalhamento do conceito de Grau de Hiperestaticidade Cálculo das reações de apoio: � Cinco reações de apoio; � Três equações da Estática; � Uma equação de rótula; � Cinco incógnitas e quatro equações; ���� Ausência de uma equação, uma reação indeterminada (hiperestático externo) � Cálculo das reações de apoio; ���� Cálculo dos esforços internos: Indeterminação dos esforços internos; Há três incógnitas no plano; 3 Hiperestáticos internos Análise Estrutural e Métodos Matriciais Grau de Hiperestaticidade Externo, Ge, é a quantidade de reações de apoio em excesso às equações universais da Estática e equações de rótulas; Grau de Hiperestaticidade Interno, Gi, é a quantidade de esforços internos indeterminados correspondentes a ciclos fechados; Grau de Hiperestaticidade Total, G, é a quantidade total de graus de hiperestaticidade presentes da estrutura: G = Ge + Gi Análise Estrutural e Métodos Matriciais O Método da Flexibilidade assume o comportamento linear do material e da geometria e portanto, faz uso do princípio da superposição de efeitos. O procedimento é baseado no conceito de Sistema Principal, ou SP, e na equação de compatibilidade de deslocamentos. O SP corresponde a uma estrutura isostática produzida pelo rompimento dos vínculos (internos ou externos) em excesso e à escolha, que é estaticamente equivalente à estrutura original. Nas direções dos graus de liberdade dos vínculos rompidos, recuperam-se os deslocamentos relativos originais nulos através da aplicação da condição de compatibilidade de deslocamento em cada um destes graus de liberdade. O princípio da superposição de efeitos é base da formulação das equações de compatibilidade de deslocamentos. A equação de compatibilidade de deslocamentos é definida através do PTV. Procedimento do Método da Flexibilidade 1. Dada a estrutura original, definir o SP (estaticamente equivalente) através da liberação dos vínculos à escolha (hiperestáticos) 2. Calcular os deslocamentos pontuais ao longo dos graus de liberdade associados aos hiperestáticos, onde δi0 é o deslocamento no grau de liberdade i produzido pela carga externa (índice 0) δ30 δ20Sistema PrincipalDeformado Análise Estrutural e Métodos Matriciais Sistema Principal X1 X2X3 δ10 Neste exemplo, foram liberados os vínculos de rotação no ponto A ... ... rotação e translação no ponto B. Estrutura OriginalA B C D HA 1 2 3 δ12 δ22 δ32 Análise Estrutural e Métodos Matriciais Procedimento do Método da Flexibilidade (cont.) 3. Calcular os deslocamentos (flexibilidades) nos graus de liberdade produzidos pela aplicação das cargas unitárias virtuais nos graus de liberdade associados aos hiperestáticos Onde δij é deslocamento (flexibilidade) no grau de liberdade i produzido pela carga virtual unitária aplicada no grau de liberdade j (fazendo Xj = 1,0) δ23δ13 δ33 δ11 δ21 δ310,11 =X 0,12 =X 0,13 =X Procedimento do Método da Flexibilidade (cont.) As dimensões dos deslocamentos (δi0) e flexibilidades (δij) são, para este exemplo: • Aplicar o princípio da superposição de efeitos e definir as equações de compatibilidade de deslocamentos em cada um dos vínculos liberados (graus de liberdade) para se recuperarem os deslocamentos nulos originais Análise Estrutural e Métodos Matriciais [ ] [ ] L L == 2010 δδ [ ] L=30δ [ ] [ ] [ ] [ ] LF LL . 22122111 ==== δδδδ [ ] [ ] F LL == 2313 δδ [ ] [ ] LF L . 3231 == δδ [ ] F L =33δ =+++ =+++ =+++ 0... 0... 0... 33323213130 32322212120 31321211110 XXX XXX XXX δδδδ δδδδ δδδδ Deslocamentos produzidos por carga unitária Deslocamentos produzidos por carga unitária Deslocamentos produzidos por carga unitária Análise Estrutural e Métodos Matriciais Em notação matricial, tem-se: Em notação indicial, tem-se: Onde δij são os coeficientes da matriz de flexiblidade, δi0 são os deslocamentos produzidos pelas liberações dos vínculos e Xj são as incógnitas ou hiperestáticos (vínculos liberados) Para as estruturas reticuladas usuais, desprezam-se as parcelas de energia correspondentes aos esforços cortantes e normais, a menos dos casos em que estes sejam preponderantes. 0.0 =+ jiji Xδδ = ⋅ + 0 0 0 3 2 1 333231 232221 131211 30 20 10 X X X δδδ δδδ δδδ δ δ δ Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo: Calcular e traçar os diagramas de esforços internos da viga uma vez hiperestática a seguir empregando o método da flexibilidade. X1 SP adotado DMF0 [tf.m] DMF1 [tf.m] Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo (cont.) Deslocamentos Equação de compatibilidade e solução: rad 5,13 .6 )5,13).(1.(6 .3 5,13).1.(6 10 EJEJEJ − = −− + − =δ EJEJ 2 3 )1).(1.(6 11 = −− =δ 0. 11110 =+ Xδδ tf.m75,60.25,13 11 =⇒=+ − XX EJEJ Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo (cont.) DEC [tf] DMF [tf.m] Obs.: para que o momento no engaste valha zero, a relação entre o vão entre apoios, a, e o balanço, b, tem que ser . Verifique !ba .2= X1 X1 X2 Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo: Calcular e traçar os diagramas de esforços internos do pórtico duas vezes hiperestático a seguir empregando o método da flexibilidade. SP adotado DMF0 [tf.m] DMF1 [tf.m] Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo (cont.) Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo (cont.) DMF2 [tf.m] Deslocamentos e flexibilidades: rad 54 .3 )18.(1.6 .3 9).1.(6 10 EJEJEJ −= − + − =δ rad 18 .6 )18).(1.(6 20 EJEJ = −− =δ ( )( )[ ] ( )tf.mrad/ 4 .3 1.11.1.6 11 EJEJ = +−− =δ ( )tf.mrad/ 1 .6 )1).(1.(6 2112 EJEJ −= − == δδ ( )tf.mrad/ 2 .3 )1).(1.(6 22 EJEJ = −− =δ Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo (cont.) Equação de compatibilidde de deslocamentos e solução X1 = 12,86 tf.m e X2 = -2,57 tf.m =+−⇒=++ =−+−⇒=++ 0.2180.. 0.4540.. 2122212120 2121211110 XXXX XXXX δδδ δδδ DEN [tf] DEC [tf] Análise Estrutural e Métodos Matriciais Exemplo (cont.) DMF [tf.M]
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