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Método da Flexibilidade em Análise Estrutural

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Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Método da Flexibilidade
Revisão e detalhamento do conceito de Grau de Hiperestaticidade
Cálculo das reações de apoio:
� Cinco reações de apoio;
� Três equações da Estática;
� Uma equação de rótula;
� Cinco incógnitas e quatro equações;
���� Ausência de uma equação, uma 
reação indeterminada (hiperestático 
externo)
� Cálculo das reações de apoio;
���� Cálculo dos esforços internos:
Indeterminação dos esforços internos;
Há três incógnitas no plano;
3 Hiperestáticos internos
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Grau de Hiperestaticidade Externo, Ge, é a quantidade de reações de apoio em
excesso às equações universais da Estática e equações de rótulas;
Grau de Hiperestaticidade Interno, Gi, é a quantidade de esforços internos
indeterminados correspondentes a ciclos fechados;
Grau de Hiperestaticidade Total, G, é a quantidade total de graus de 
hiperestaticidade presentes da estrutura: G = Ge + Gi
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
O Método da Flexibilidade assume o comportamento linear do material e da
geometria e portanto, faz uso do princípio da superposição de efeitos.
O procedimento é baseado no conceito de Sistema Principal, ou SP, e na 
equação de compatibilidade de deslocamentos.
O SP corresponde a uma estrutura isostática produzida pelo rompimento dos 
vínculos (internos ou externos) em excesso e à escolha, que é estaticamente 
equivalente à estrutura original.
Nas direções dos graus de liberdade dos vínculos rompidos, recuperam-se os 
deslocamentos relativos originais nulos através da aplicação da condição de 
compatibilidade de deslocamento em cada um destes graus de liberdade.
O princípio da superposição de efeitos é base da formulação das equações de 
compatibilidade de deslocamentos.
A equação de compatibilidade de deslocamentos é definida através do PTV.
Procedimento do Método da Flexibilidade
1. Dada a estrutura original, definir o SP (estaticamente equivalente) através da liberação
dos vínculos à escolha (hiperestáticos)
2. Calcular os deslocamentos pontuais ao longo
dos graus de liberdade associados
aos hiperestáticos, onde δi0 é o
deslocamento no grau de liberdade
i produzido pela carga externa (índice 0) δ30
δ20Sistema PrincipalDeformado
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Sistema Principal
X1 X2X3
δ10
Neste exemplo, foram 
liberados os vínculos de 
rotação no ponto A ...
... rotação e translação 
no ponto B.
Estrutura OriginalA B
C D
HA
1
2
3
δ12 δ22
δ32
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Procedimento do Método da Flexibilidade (cont.)
3. Calcular os deslocamentos (flexibilidades) nos graus de liberdade produzidos pela 
aplicação das cargas unitárias virtuais nos graus de liberdade associados aos 
hiperestáticos
Onde δij é deslocamento (flexibilidade) 
no grau de liberdade i produzido pela 
carga virtual unitária aplicada no grau 
de liberdade j (fazendo Xj = 1,0)
δ23δ13
δ33
δ11
δ21
δ310,11 =X 0,12 =X
0,13 =X
Procedimento do Método da Flexibilidade (cont.)
As dimensões dos deslocamentos (δi0) e flexibilidades (δij) são, para este exemplo:
• Aplicar o princípio da superposição de efeitos e definir as equações de compatibilidade de 
deslocamentos em cada um dos vínculos liberados (graus de liberdade) para se 
recuperarem os deslocamentos nulos originais
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
[ ] [ ]
L
L
== 2010 δδ [ ] L=30δ
[ ] [ ] [ ] [ ]
LF
LL
.
22122111 ==== δδδδ [ ] [ ] F
LL
== 2313 δδ
[ ] [ ]
LF
L
.
3231 == δδ [ ] F
L
=33δ





=+++
=+++
=+++
0...
0...
0...
33323213130
32322212120
31321211110
XXX
XXX
XXX
δδδδ
δδδδ
δδδδ Deslocamentos 
produzidos por 
carga unitária
Deslocamentos 
produzidos por 
carga unitária
Deslocamentos 
produzidos por 
carga unitária
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Em notação matricial, tem-se:
Em notação indicial, tem-se:
Onde δij são os coeficientes da matriz de flexiblidade, δi0 são os deslocamentos produzidos 
pelas liberações dos vínculos e Xj são as incógnitas ou hiperestáticos (vínculos liberados)
Para as estruturas reticuladas usuais, desprezam-se as parcelas de energia 
correspondentes aos esforços cortantes e normais, a menos dos casos 
em que estes sejam preponderantes.
0.0 =+ jiji Xδδ










=










⋅










+










0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
X
X
X
δδδ
δδδ
δδδ
δ
δ
δ
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo: Calcular e traçar os diagramas de esforços internos da viga uma vez
hiperestática a seguir empregando o método da flexibilidade.
X1
SP adotado
DMF0 [tf.m] DMF1 [tf.m]
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo (cont.)
Deslocamentos
Equação de compatibilidade e solução:
rad 5,13
.6
)5,13).(1.(6
.3
5,13).1.(6
10 EJEJEJ
−
=
−−
+
−
=δ
EJEJ
2
3
)1).(1.(6
11 =
−−
=δ
0. 11110 =+ Xδδ
 tf.m75,60.25,13 11 =⇒=+
− XX
EJEJ
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo (cont.)
DEC [tf] DMF [tf.m]
Obs.: para que o momento no engaste valha zero, a relação entre o vão 
entre apoios, a, e o balanço, b, tem que ser . Verifique !ba .2=
X1 X1
X2
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo: Calcular e traçar os diagramas de esforços internos do pórtico duas
vezes hiperestático a seguir empregando o método da flexibilidade.
SP adotado
DMF0 [tf.m] DMF1 [tf.m]
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo (cont.)
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo (cont.)
DMF2 [tf.m] Deslocamentos e flexibilidades:
rad 54
.3
)18.(1.6
.3
9).1.(6
10 EJEJEJ
−=
−
+
−
=δ
rad 18
.6
)18).(1.(6
20 EJEJ
=
−−
=δ
( )( )[ ] ( )tf.mrad/ 4
.3
1.11.1.6
11 EJEJ
=
+−−
=δ
( )tf.mrad/ 1
.6
)1).(1.(6
2112 EJEJ
−=
−
== δδ
( )tf.mrad/ 2
.3
)1).(1.(6
22 EJEJ
=
−−
=δ
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo (cont.)
Equação de compatibilidde de deslocamentos e solução
X1 = 12,86 tf.m e X2 = -2,57 tf.m



=+−⇒=++
=−+−⇒=++
0.2180..
0.4540..
2122212120
2121211110
XXXX
XXXX
δδδ
δδδ
DEN [tf] DEC [tf]
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Exemplo (cont.)
DMF [tf.M]