Equações de Variáveis Separáveis

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Aula 2 
1. Equações de Variáveis Separáveis 
 
Uma EDO é de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma 
 ( ) ( ) 
 
Podemos reescrever essa equação na forma 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Ou ainda, 
 
 ( )
 ( ) 
 
Agora integramos ambos os lados da equação, como já fizemos anteriormente. 
 
Exemplo 5: Resolva a EDO . 
 
Escrevemos 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
E daí, por integração, a solução geral da EDO é dada implicitamente por 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Resolva o PVI 
 
 
 , ( ) , e determine o intervalo de 
definição da solução. 
 
Escrevemos 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Daí, 
 
 
 
 
Integrando, 
 
 
 ∫
 
 
 
Fazendo a mudança de variável , temos que , logo 
∫
 
 
 ∫
 
 
 | | ( ) 
 
Então, 
 
 
 ( ) 
 
Aplicando a condição inicial ( ) , 
( ) 
 
 ( ) 
 
Logo, , e ( ( ))
 
 . Como ( ) , o sinal é o negativo, e a 
solução geral é ( ( ))
 
 . O intervalo de definição é o maior intervalo 
para o qual a solução está definida e que contém o valor de x da condição inicial. 
Logo, é , pois não há restrição aos valores de que podemos calcular. 
 
Exemplo 7: Resolva o PVI abaixo, e determine o intervalo de definição da solução. 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Fazemos 
 
 
 
 
 
 
Integrando, 
 
 
 
 | | 
 
Usando a condição inicial, temos que 
 
 
 
 
 
Logo, temos 
 
 
 
 
 
 
 | | 
 | |
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 | |
 
 
Os valores que não são permitidos para são zero e os valores tais que | | , 
ou seja, √ . Logo, a solução está definida em 
( √ ) ( √ ) ( √ ) (√ ) 
Como a condição inicial é dada para , então o intervalo de definição é 
 √ , e como nesse caso é positivo, podemos esquecer o módulo na 
solução geral, que fica 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Determine as trajetórias ortogonais da família . 
 
Primeiramente devemos determinar a equação diferencial que tem como solução a 
família dada. Derivando a equação acima, obtemos . Vamos multiplicar 
essa equação por para que apareça o termo , que é igual a . Assim, temos 
 , ou seja, e . Agora, lembre-se que duas retas 
perpendiculares possuem coeficientes angulares que, quando multiplicados, dão 
como resultado . Logo, quando multiplicarmos o da família dada pelo da família 
de trajetórias ortogonais, vamos obter -1. Assim, para a família orogonal, 
 (
 
 
) 
Agora, temos 
 
 
. Essa é uma equação separável. Resolvemos fazendo 
 . Integrando, temos 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
Exemplo 9: Encontre a família de curvas ortogonais às curvas dadas por , 
onde é uma constante real. 
 
Novamente devemos encontrar a EDO que é satisfeita pela família de curvas. 
Derivamos implicitamente, obtendo , ou seja, . Logo, para a 
família de curvas ortogonais, teremos: 
 ( 
 
 
) 
Portanto, 
 
 
 
 
Esta equação é separável. Temos então que 
 
 
E por integração obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
onde . 
 
Exemplo 10: Resolva a EDO 
 
 
 
 
A equação é de variáveis separáveis. Logo, temos, para , 
 
 
 
 
 
 
Observe que 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Logo, ( ) . Fazendo obtemos . Fazendo obtemos 
 , logo . Daí, integrando, obtemos 
 | | ∫((
 
 
) (
 
 
)) | | | | 
Daí, 
 | | | | | | 
Ou seja, 
 |
 ( )
 
| 
Ou ainda, 
 ( )
 
 
 
Finalmente, 
 
 
 
 
 
No entanto, também é solução (a solução de equilíbro que mencionamos no 
começo das notas). Mas essa solução também é obtida para . Logo, a equação 
acima representa a solução geral da EDO. 
 
Exercícios: Resolva as EDO’s e PVI’s abaixo. Quando exibir soluções gerais, lembre-se 
de considerar soluções de equilíbrio, quando existirem. Determine os intervalos de 
definição das soluções encontradas. 
 
1) 
 
 
 ( ) 
2) 
 
 
 ( ) (não precisa determinar o intervalo!) 
3) 
 
 
 
 
 
 
4) ( )
 
 
5) A população de uma certa espécie de animais está decrescendo a uma taxa 
proporcional à raiz quadrada do número de animais. Se em um dado momento 
havia 25 milhões de animais e após 100 anos a população é de 9 milhões de 
animais, depois de quantos anos (após aquele momento inicial) a espécie será 
extinta? 
6) Encontre as trajetórias ortogonais à família de curvas , onde é 
uma constante. 
Respostas: 
1) 
 
 
 
 
 
√ , 
 
 
√ 
2) 
 
 
 √ 
 
 
 
3) ( ) , se . 
4) ( | | ) se e | | . Também . 
5) 250 
6)