Aula Vetores e Produto

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MATEMÁTICA A
ÁLGEBRA LINEAR
Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
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Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
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OPERAÇÕES COM VETORES
Vetores & produto:
Vetores unitários em ℝ3
Multiplicação de um vetor por um escalar
Produto escalar
Produto vetorial
Vetores unitários (em ℝ3)
• É possível definir vetores unitários i , j , k , que possuem módulo 
unitário e cujas direções são as dos eixos dos x , dos y e dos z de um 
sistema de coordenadas dextrogiro como o que aparece na Figura. 
• Em termos dos vetores unitários, um vetor a pode ser escrito na forma
a = ax i + ay j + az k 
• onde ax i , ay j e az k são as componentes vetoriais e ax , ay e az são as 
componentes escalares de a. 3
Um sistema orientado pela regra 
da mão direita (sistema dextrogiro) é 
caracterizado pela seguinte propriedade: 
dobrando os dedos da mão direita até 
formar um ângulo de 90° em relação ao 
dedo indicador (eixo X), no sentido positivo 
do eixo Y, o polegar apontará na direção 
do eixo Z, no sentido positivo. 
Vetores unitários
• Na coordenada cartesiana tridimensional, esses elementos 
são usualmente i, j e k — vetores unitários nas direções dos 
eixos x, y e z, respectivamente:
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Multiplicação de um vetor por um escalar
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Produto escalar
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Produto escalar
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 Exercício 1: Considere a representação vetorial da figura em que 
 + ⍺ = 180°.
a) Calcule:
b) Considerando que e as relações trigonométricas 
no triângulo, determine: 
(i) e (ii) 
Produto escalar
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Produto escalar: APLICAÇÃO
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 Exercício 2:
Produto escalar
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 Exercício 2: Solução
Produto escalar
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Produto vetorial
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Produto vetorial
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Para isso...
Produto vetorial
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Produto vetorial: APLICAÇÃO
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 Exercício 3: Dois vetores são dados por e . .
3.1. Represente esses vetores:
3.2. Calcule: 
Produto vetorial
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 Exercício 3: Solução
Calcule: 
Produto vetorial
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 Exercício 4: represente graficamente os seguintes pontos em ℝ3.
a) A(0, 0 -4) b) B(0, -2 , 0) c) C(1, 0 , 0) d) D(3,-1,2)
 Exercício 5: esboce um segmento de reta orientado em ℝ3
representeando cada um dos vetores abaixo.
a) a = (0, 0 -1) b) b = (0, 1 , 4) c) c = (2, -3 , -1)
 Exercício 6: Para cada um dos seguintes pares de pontos em ℝ3, 
determine o vetor que está associado com o segmento de reta 
orientado em que o ponto inicial é o primeiro ponto e o ponto 
final é o segundo ponto.
a) (2, 3, -1), (0, 0, 2) b) (1, 1, 0) , (0, 1, 1) c) (-1,-2,-3) , (3, 4, 5)
Representação em ℝ3
Referências
Referencias Básicas:
KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 6 
ed., 1998.
HOWARD, A. Álgebra Linear com Aplicações Rio de Janeiro: Bookman, 8ed, 2001. 
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2 ed., 1999
Referências Complementares:
BOLDRINI, C. R. Álgebra linear. São Paulo: Harbra, 1984 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar. São 
Paulo: Saraiva,1993. 
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill, 
2ed.,1987.
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt00.pdf
http://www.labma.ufrj.br/~gregorio/livro/al2.pdf
Referências utilizadas:
SILVA, R. T. Notas de aula de Física. 2002.
GASPAR, A. FÍSICA – VOLUME ÚNICO. São Paulo: Editora Ática, 2008.