24_Intersecao de subespacos vetoriais

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Notas de aula – Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Angelita Minetto Araújo – UTFPR /DAMAT [Ano]
 
 
n. 24 – INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Teorema: 
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção 
W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de V. 
• W1 ∩ W2 nunca é vazia já que eles sempre contêm, pelo menos, 
o vetor nulo. 
 
Exemplo 1: 
Se W1 e W2 são subespaços vetoriais de V, então W1 ∩ W2 é 
também um subespaço vetorial de V. 
(i)   21, WWvu 
 21 ,e, WvuWvu 
     21 e WvuWvu 
  21 WWvu  
 
(ii) 21, WWu  
u ∈ W1 
u ∈ W2 
α u ∈ W1 e α u ∈ W2 ⇒ α u ∈ W1 ∩ W2 
 
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Casos para ilustrar que a intersecção de dois subespaços vetoriais 
de V é também um subespaço vetorial de V: 
a) Se 1W e 2W são retas que passam pela origem (e, portanto são 
subespaços vetoriais do 2 ), então }{21 0WW  (vetor nulo), 
isto é, a intersecção de 1W e 2W é um conjunto unitário 
constituído pela origem do sistema cartesiano (0 = (0, 0)), que já 
sabemos que é um dos subespaços triviais do 2 . 
 
 
 
 
 
b) Se 1W e 2W são planos que passam pela origem (e, portanto são 
subespaços vetoriais do 
3 ), então 21 WW  é uma reta que 
também passa pela origem (no caso da figura é o eixo das cotas, 
isto é, o eixo z), que também é um subespaço vetorial do 
3 . 
 
 
 
 
 
 
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Entretanto, um contraexemplo para provar que se 1W e 2W 
são subespaços vetoriais de V, então 21 WW  não é 
necessariamente um subespaço vetorial de V (isto é, a união 
de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço 
vetorial). 
 
Resolução: 
a) Se W1 e W2 são subespaços de V, considere os seguintes 
subespaços vetoriais do R3 : 
W1 = {(x, y, z) / x = y} e W2 = {(x, y, z) / z = 0} 
 
Seja o vetor u = (1, 1, 2) ∈ W1 e v = (1, 2, 0) ∈ W2 
Logo, u + v = (1, 1, 2) + (1, 2, 0) = (2, 3, 2) ∉ W1 ∪ W2, pois 
para pertencer, x deveria ser igual a y e z igual a zero: W1 ∪ W2 = 
(x, x, 0) ou (y, y, 0). 
 
Portanto, W1 ∪ W2 não é um subespaço vetorial. 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-
Hall, 1998. 
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LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.