ATPS 1 etapa calc III

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA
ATPS
Disciplina: Cálculo III
2º ano de Engenharia Elétrica – noturno
Discentes: 
Everton José dos Santos RA: 42408363684
Felipe Eduardo Ferreira Pedra RA: 3776775210 
 Willian Oliveira da Silva RA: 3226044485
Taubaté, 26 de setembro de 2013
Passo 1
O Cálculo Integral: alguns fatos históricos
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.
A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.
Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História.
Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.
Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.
Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro do Simmons, volume 2.
George F. Simmons é autor do livro CALCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA.
A referência refere-se ao CALCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA, Volume 2, em tradução de Seiji Hariki, São Paulo, McGraw-Hill, 1987.
Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.
Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número p.
Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.
Redução ao absurdo
A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.
Sobre a Quadratura da Parábola
Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.
Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos: .
Nova Geometria de Contínuos Indivisíveis
Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.
Aritmética do Infinito
Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, "parábolas maiores": curvas do tipo , onde é constante e n=2,3,4, etc. Empregou então uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde e n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.
O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava à distância. A partir desse problema envolvendo movimento, a idéia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema.
Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.
Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y.
Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ".
Soma
Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico.
Leibiniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de fato, a sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada até os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si próprio e não foi feliz em encontrar uma notação consistente.
Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus Summatorius . O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli epublicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690.
Cálculo Somatório
Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas idéias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.
Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.
Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.
 Fonte: http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm data: 26/09/2013
Passo 2 
Leiam os desafios propostos: 
DESAFIO A 
Qual das alternativas representa a integral indefinida de : ( a33+3a3+3 a ) 
( a33+3a3+3 a )= 
F(a)=13a3+31a3+31a= 
F(a)=13.a44+31.a-2-2+3.lna= 
F(a)=a412-32a2+3.lna+c 
A alternativa correta correspondente ao desafio A é a ( b ) 
DESAFIO B 
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um   custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é: 
1000dq+50d.dq= 
C(q)=1000q+50q22= 
C(q)=1000q+25q2+c= 
C(q)=1000+25q2+10000 
A alternativa correta correspondente ao desafio B é a ( a ) 
DESAFIO C 
No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994? 
Para 1992                                                         Para 1994 
Ct=16,1.e0,07t=                                               Ct=16,1.e0,07t= 
C2= 16,1.e0,07.2=                                             C2= 16,1.e0,07.4= 
C2=18,52 bilhões                                                   C2=21,30 bilhões 
18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões 
A alternativa correta correspondente ao desafio C é a ( c ) 
DESAFIO D 
A área sob a curva y=ex2 de x=-3 a x=2 é dada por: 
-32ex2dx 
u=x2 
du= ddxx.2-x.ddx222=24dx= 
du=12dx= 
2du=dx 
-32eu2.du= 
2-32eudu=2.ex22-3=2.e22-2.e-32=5,43-0,44=4,99 
A alternativa correta correspondente ao desafio D é a ( a ) 
Passo 3
Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada. 
Para o Desafio A: 
A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi a alternativa (b) que direciona a associação ao número 3, para execução dos cálculos usamos os conhecimentos com integral indefinida aprendido em aula, no desafio A do passo anterior mostra com clareza as passagens matemáticas utilizadas, assim chegando na resposta exata. 
Para o Desafio B: 
A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi a alternativa (a) que direciona a associação ao número 0, o desenvolvimento deste desafio utilizamos uma ferramenta estudada na aula de Calculo II onde se falava de custo marginal, juntando esse conhecimento com as regras para integração chegamos num resultado final, onde obtemos uma formula que mostrará o custo final conforme a variação da medida da perfuração. 
Para o Desafio C: 
A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi a alternativa (c) que direciona a associação ao número 1, usando a formula dada no desafio C estabelecemos duas soluções usando o algarismo final dos anos citados no desafio, no caso de 1992 usamos o número 2, e no caso de 1994 usamos o número 4, quando esses valores foram substituídos nas formulas gerou um resultado que ao somados mostrou a quantidade de petróleo consumida no período de 1992 a 1994. 
Para o desafio D: 
A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi a alternativa (a) que direciona a associação ao número 9, nesse desafio foi solicitado que fizéssemos um cálculo para descobrir qual valor era dada a área da curva, usamos a regrada substituição   para integração, onde chegamos ao valor final desejado de 4,99 correspondente a alternativa (a). 
Passo 4
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 1 com as seguintes informações organizadas: 
1. Os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3; 
2. A seguência dos números encontrados, após a associação no passo 3. 
A sequência dos numero que encontramos foi 3019, portanto esse resultado é quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente visando os cálculos dos quatros primeiros desafios que compõe a nossa ATPS. 
Uso da Integral na Engenharia
O cálculo integral é muito usado em Engenharia Civil, principalmente o cálculo numérico de integrais, para calcular áreas, volumes, cargas, resultante de carregamentos (em estruturas planas e espaciais), centros de gravidade, centróides. momentos de inércia, deformações, solução de estruturas hiperestáticas (equações elásticas), etc. Outras aplicações mais avançadas como método dos elementos finitos, também utilizam intensamente integração numérica, tanto nas áreas de estruturas, hidráulica, hidrologia, geotecnia, etc. Isto sem falar nas áreas de transportes, logística, otimização, etc, que abrangem uma gama enorme de aplicações da Engenharia Civil. 
Exemplo típico de uma aplicação de cálculo integral em Engenharia Civil, é a avliação do volume de material em uma jazida, através de integração dupla numérica utilizando as coordenadas x, y e z medidas pela topografia e pela sondagem de laboratório. Outra seria o cálculo de uma área de inundação de uma bacia hidrográfica, para calcular a cota de inundação para construção de uma barragem, etc. 
Neste trabalho desenvolveu-se um modelo matemático tridimensional que permite a análise integral da solidificação, bem como o respectivo desenvolvimento das ferramentas computacionais referentes às aplicações práticas deste. Aferiu-se o respectivo modelo com resultados experimentais, obtidos nos laboratórios de pesquisa da universidade e em peças de escopo industrial, dentro das quais observou-se resultados satisfatórios com a realidade fisica dos sistemas estudados. Tais resultados servem como apoio ao desenvolvimento de projetos qualificados dos referidos sistemas bem como permite posteriormente a aplicação do mesmo modelo em peças de qualquer geometria e diferentes tipos de materiais. Posteriormente apresenta-se técnicas para o desenvolvimento de interfaces de programas, dentro das quais expõe-se os principios fundamentais para elaboração de bons programas de aplicação prática. Os resultados deste trabalho são de importância nos estudos futuros envolvendo técnicas de inteligência artificial, sistemas de controle, aplicações em sistemas de fundição com controle on-line via programas de computador e sistemasCAD/CAM