04 intervalos reais

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Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
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INTERVALOS REAIS 
 
 Alguns subconjuntos de IR podem ser 
representados de uma maneira bastante 
simplificada. São os chamados intervalos 
reais. 
1. Intervalo aberto nas duas extremidades. 
 
 
 
 
Que será ] [b,a ou ainda ( )b,a ou atra-
vés de conjuntos { }bxa/IRx <<∈ . 
 
 
2. Intervalo fechado nas duas extremidades. 
 
 
 
 
Que será [ ]b,a ou através de conjuntos 
{ }bxa/IRx ≤≤∈ 
 
 
3. Intervalo fechado em a e aberto em b. 
 
 
 
 
Que será [ [b,a ou ainda [ )b,a ou atra-
vés de conjuntos { }bxa/IRx <≤∈ 
 
 
4. Intervalo aberto em a e fechado em b. 
 
 
 
 
Que será ] ]b,a ou ainda ( ]b,a ou atra-
vés de conjuntos { }bxa/IRx ≤<∈ 
 
 
5. Intervalo fechado em a. 
 
 
 
 
Que será [ [∞+,a ou ainda [ )∞+,a ou 
através de conjuntos { }ax/IRx ≥∈ 
 
6. Intervalo aberto em a. 
 
 
 
 
Que será ] [∞+,a ou ainda ( )∞+,a ou 
através de conjuntos { }ax/IRx >∈ 
 
 
7. Intervalo fechado em b. 
 
 
 
 
Que será ] ]b,∞− ou ainda ( ]b,∞− ou 
através de conjuntos { }bx/IRx ≤∈ 
 
 
8. Intervalo aberto em b. 
 
 
 
 
Que será ] [b,∞− ou ainda ( )b,∞− ou 
através de conjuntos { }bx/IRx <∈ 
 
 
 
QUESTÕES 
 
Questão 01 
Sendo [ ]3,0A = e [ )5,1B = , determine: 
a) A ∪ B 
b) A ∩ B 
c) A − B 
d) B − A 
 
 
Questão 02 (UFV) 
Sejam os conjuntos { }5x1/IRxA <<∈= e 
{ }6x2/IRxB ≤≤∈= . Então A ∩ B é: 
a) { }4,3,2 
b) { }5x2/IRx ≤≤∈ 
c) { }5x2/IRx <<∈ 
d) { }5x2/IRx ≤<∈ 
e) { }5x2/IRx <≤∈ 
 
a b 
a b 
a b 
a b 
a 
a 
b 
b 
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Questão 03 (FGV – SP) 
Sejam os intervalos ] ]1,A ∞−= , ] ]2,0B = 
e [ ]1,1− . O intervalo C ∪ (A ∩ B) é: 
a) ] ]1,1− 
b) [ ]1,1− 
c) [ ]1,0 
d) ] ]1,0 
 
Questão 04 (PUC – MG) 
Sendo IR o conjunto dos números reais e 
sendo os conjuntos { }4x5/IRxA ≤<−∈= e 
{ }7x3/IRxB <<−∈= , o conjunto A − B é: 
a) { }3x5/IRx −≤<−∈ 
b) { }4x3/IRx ≤≤−∈ 
c) { }3x5/IRx −<<−∈ 
d) { }7x4/IRx ≤<∈ 
 
Questão 05 (Mack – SP) 
Sejam os conjuntos { }3x0/IRxA ≤≤∈= , 
{ }3x/IRxB ≤∈= e { }3x2/IRxC ≤≤−∈= 
O conjunto (B − A) ∩ C é igual a: 
a) ∅ 
b) { }0x/IRx <∈ 
c) { }2x/IRx −>∈ 
d) { }0x2/IRx <≤−∈ 
e) { }3x2/IRx ≤<−∈ 
 
Questão 06 (PUC – RS) 
( )3,M ∞−= , [ )∞+−= ,1N e [ )10,2P −= 
são intervalos. Então P − (M ∩ N) é igual a: 
a) [ )1,2− 
b) [ )3,2− 
c) [ )10,2− 
d) ( ] ( )∞+∪−∞− ,31, 
e) [ ) [ )10,31,2 ∪−− 
 
Questão 07 (FASA / 2003) 
Dados ] ]4,2A −= , [ ]4,1B = e ] ]2,0C = , é 
correto afirmar que CCAB ∪ é: 
a) ] ]2,2− 
b) [ ]2,2− 
c) ] [ ] ]2,00,2 ∪− 
d) ] ]4,2− 
 
 
Questão 08 (Fatec – SP) 
Sejam os conjuntos { }2x0/IRxA <<∈= e 
{ }1x3/IRxB ≤≤−∈= . Nessas condições 
)BA()BA( ∩−∪ é: 
a) [ ] ] [2,10,3 ∪− 
b) [ [ [ [2,10,3 ∪− 
c) ] [ [ [∞+∪−∞− ,23, 
d) ] ]1,0 
e) [ [2,3− 
 
Questão 09 (UFMG) 
Considere os conjuntos: 






>∈=
8
5
x/IRxA , 






<∈=
3
2
x/IRxB e 





 ≤≤∈=
4
3
x
8
5/IRxC . Podemos afirmar 
que (A ∪ C) ∩ B é igual a: 
a) 





 ≤∈
4
3
x/IRx 
b) 






<≤∈
3
2
x
8
5/IRx 
c) 





 ≥∈
8
5
x/IRx 
d) 






<≤∈
4
3
x
8
5/IRx 
 
Questão 10 (UEBA) 
Sejam os conjuntos { }2x1/IRxA <<−∈= 
e { }3x0/IRxB <≤∈= .. A ∩ B é igual a: 
a) [ [2,0 
b) ] [2,0 
c) [ ]3,1− 
d) [ [3,1− 
e) ] ]3,1− 
 
Questão 11 (PUC – MG) 
Sejam os conjuntos { }3x4/IRxA ≤≤−∈= 
e { }5x2/IRxB <≤−∈= . A − B é igual a: 
a) { }2x4/IRx −<≤−∈ 
b) { }2x4/IRx −≤≤−∈ 
c) { }5x3/IRx <<∈ 
d) { }5x3/IRx ≤≤∈ 
e) { }5x2/IRx <≤−∈ 
 
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Questão 12 (FAFEOD / 1999) 
Sendo Z o conjunto dos números inteiros, 
considere os conjuntos A e B tais que: 
• [ ]4,3ZBA −∩=∪ 
• [ ]3,1ZBA ∩=∩ 
A soma dos números que constituem o con-
junto dado por (A − B) ∪ (B − A) é igual a: 
a) −4 b) −2 c) 4 d) 0 
 
Questão 13 (PUC – MG / 1998) 
Considere os conjuntos: 
{ }4xou0x/IRxA ><∈= 
 { }12x0/INxB <<∈= 
O número de elementos de A ∩ B é: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 11 
e) 13 
 
Questão 14 (UFSC – Aberta) 
Considere os conjuntos: 
{ }17x1/ZxA ≤<∈= , 
 { }ímparéx/INxB ∈= e 
{ }18x9/IRxC ≤≤∈= . 
Calcule a soma dos elementos de 
(A ∩ B) − C. 
 
Questão 15 (Fuvest – SP) 
O número x não pertence ao intervalo aberto 
de extremos −1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou 
x > 3. Pode-se concluir que: 
a) 3xou1x >−≤ 
b) 0xou2x <≥ 
c) 1xou2x −≤≥ 
d) 3x > 
e) n.d.a 
 
Questão 16 (PAES – UNIMONTES / 2004) 
Dados os conjuntos: 
{ }INn,n3x/INxA ∈=∈= e 






∈=−∈= INn,n
x
18/}0{INxB 
Tem-se que A ∩ B é igual ao conjunto: 
a) [ ]18,3 
b) vazio 
c) { }18x3/INx ≤≤∈ 
d) {3, 6, 9, 18} 
 
Questão 17 (FATEC – SP) 
Sejam os conjuntos { }2x0/IRxA <<∈= e 
{ }1x3/IRxB ≤≤−∈= . Nestas condições, o 
conjunto (A ∪ B) − (A ∩ B) é: 
a) [ ] ] [2,10,3 ∪− (X) 
b) [ [ [ [2,10,3 ∪− 
c) ] [ [ [∞+∪−∞− ,23, 
d) ] ]1,0 
 
Questão 18 (Osec – SP) 
Sejam A e B os seguintes subconjuntos: 
{ }5x2/IRxA ≤≤∈= e { }4x/IRxB >∈= . 
Então, podemos afirmar que: 
a) BBA ⊂− 
b) ABA ⊂− 
c) AAB ⊂− 
d) { }4x2/IRxBA <<∈=− 
e) { }5x/IRxAB ≥∈=− 
 
Questão 19 (PUC – RS) 
Sejam a, b e c números reais, com a < b < c. 
O conjunto ] [ ] [c,bc,a − é igual a: 
a) { }bxa/IRx <<∈ 
b) { }bxa/IRx ≤<∈ 
c) { }cxa/IRx ≤<∈ 
d) { }cxb/IRx <≤∈ 
e) { }cxb/IRx ≤<∈ 
 
Questão 20 (UFMG) 
O conjunto X é constituído dos elementos 0 
e 2 e o conjunto Y é o intervalo fechado 
[ ] { }2y1/IRy2,1 ≤≤∈= . O conjunto X + Y, 
definido por { }YyeXx/)yx(YX ∈∈+=+ , 
é igual a: 
a) [ ]2,1 
b) [ ] }0{2,1 ∪ 
c) [ ]4,1 
d) [ ] [ ]4,32,1 ∪ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 
 
 Traçando dois eixos, OX ao qual 
chamaremos eixo das abscissas e OY que 
chamaremos eixo das ordenadas, de forma 
que ambos se interceptem perpendicular-
mente em O, o plano sobre o qual construí-
mos esses eixos fica dividido em quatro 
quadrantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Todos os pontos do plano poderão 
ser identificados por dois valores ordenados 
que chamaremos de par ordenado e repre-
sentaremos por (x, y). Assim, para todo pon-
to do plano temos um par ordenado, e para 
todo par ordenado temos um ponto corres-
pondente no plano. Em outras palavras, par 
ordenado é o conjunto de dois elementos 
considerados numa certa ordem. 
 A igualdade entre dois pares ordena-
dos será definida por (a, b) = (c, d), se, e 
somente se, a = c e b = d. Observe que de 
acordo com essa definição, temos por 
exemplo que (−2, 3) ≠ (3, −2). 
 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 01 
Determinar o quadrante ao qual pertence 
cada um dos pontos: 
a) A(−3, 1) 
b) B(2, −5) 
c) C(2, 2) 
d) D(−4, −5) 
e) E(5, −2) 
f) F(−6, −1) 
g) G(−2, 5) 
h) H(2, 5) 
i) I (−3, −3) 
j) J(2, 4) 
 
Questão 02 
a) )4,12(A pi−− 
b) )25,23(B −− 
c) )22,2(C −pi− 
d) )3,13(D pi−− 
 
Questão 03 
Marque V (verdadeiro) ou F (falso): 
a) (2, 5) = {2, 5} 
b) {2, 3} = {3, 2} 
c) (0, 1) = (1, 0) 
d) (−1, 4) ∈ 3º quadrante 
e) (2, 0) ∈ ao eixo y 
f) (−3, −2) ∈ 4º quadrante 
 
 
Questão 04 
Determine x ey para que os pares ordena-
dos sejam iguais: 
a) (x, 3) = (−2, y) 
b) (x + 1, 3) = (2, y − 1) 
c) (3, 5x − 3y) = (2x + y, 2) 
 
 
Questão 05 
Considere o ponto P(5x − 8, x + 2). Para que 
valores reais de x o ponto P pertence ao 2º 
quadrante? 
 
Questão 06 
Considere o ponto )5,9x(P 2 − . Para que 
valores reais de x, o ponto P pertence ao ei-
xo das ordenadas? 
 
Questão 07 
Determine os valores reais de x para que o 
ponto )4x5x,3(P 2 +− pertença ao eixo das 
abscissas? 
 
Questão 08 
Determine os números reais a e b de modo 
que )11,10()ba,b2a3( =+− . 
 
Questão 09 
Seja )7b2a,4b2()1a2,1a5( +−+=+− . A 
que quadrante pertence o ponto P(a, b)? 
 
y 
x O 
1º quadrante 
 (+, +) 
2º quadrante 
 (−, +) 
3º quadrante 
 (−, −) 
4º quadrante 
 (+, −)