Fisica_3_-_Semana_14_-_Equacoes_de_Maxwell_e_Ondas_Eletromag

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Física 3 – Eletricidade e 
Magnetismo
Semana 14 – Equações de Maxwell e 
Ondas Eletromagnéticas
Corrente de Deslocamento de 
Maxwell
� Lei de Ampère:
� A lei de Ampère só depende da escolha de C
� Capacitor de placas planas paralelas:
� Corrente por S1 é a corrente I
∫ =⋅C SIldB 0µ
rr
Placas do
capacitor
Curva C
∫ ⋅= S AdJ
rr
0µ
� Corrente por S1 é a corrente I
� B pode ser calculado pela lei de Ampère:
� A corrente por S2 é igual a zero
� Há uma inconsistência na lei de Ampère
r
r
IB
pi
µ
2
0
=
0=⇒ B
Corrente de Deslocamento de 
Maxwell
� Entre as placas do capacitor há um campo elétrico
� Há um fluxo de E pela superfície S2
Placas do
capacitor
Curva C
0ε
σ
=E
0εA
Q
=
∫ ⋅= AdE
rrφ AE= Q=
� Se o capacitor está sendo carregado, o fluxo de E varia
� Maxwell: 
� Lei de Ampère – Maxwell:
r∫ ⋅= 2Se AdEφ AE= 0ε=
dt
dQ
dt
d e
0
1
ε
φ
=
dt
dQ
dt
d e
=⇒
φ
ε0 (numericamente igual a I)
dt
dI ed
φ
ε0= (corrente de deslocamento)
( )∫ +=⋅C dS IIldB 0µ
rr






+=
dt
dI eS
φ
εµ 00
Corrente de Deslocamento de 
Maxwell
� Uma corrente de 10 A flui para um capacitor que dispõe de placas com 
áreas de 0,5 m2. Há vácuo entre as placas. (a) Qual é a corrente de 
deslocamento entre as placas? (b) Qual é dE/dt entre as placas para 
esta corrente? (c) Qual é a integral de linha de B.dl em torno de um 
círculo de raio 10 cm que se encontra dentro das placas e é paralelo a 
elas? (ε0 = 8,85 × 10-12 C2/N.m2; µ0 = 4pi × 10-7 N/A2)
Equações de Maxwell
� Lei de Gauss:
� Lei de Gauss para o magnetismo:
Lei de Faraday:
∫ =⋅S
QAdE
0
int
ε
rr
∫ =⋅S AdB 0
rr
∫ ∫ ⋅−=⋅ AdB
dldE
rrrr
� Lei de Faraday:
� Lei de Ampère-Maxwell:
� Força de Lorentz:
∫ ∫ ⋅−=⋅C S AdBdt
dldE
∫ ∫ ⋅+=⋅C S AdEdt
dIldB
rrrr
000 εµµ
BvqEqF
rrrr
×+=
Equações de Maxwell
� Teorema da divergência:
� Teorema de Stokes:
( )∫∫ ⋅∇=⋅ VS dVFAdF rrr
( )∫∫ ⋅×∇=⋅ SC AdFldF rrrr
� Forma diferencial das Equações de Maxwell:
0ε
ρ
=⋅∇ E
r
(Lei de Gauss)
0=⋅∇ B
r (Lei de Gauss
para o magnetismo)
t
BE
∂
∂
−=×∇
r
r (Lei de Faraday)
t
EJB
∂
∂
+=×∇
r
rr
000 εµµ (Lei de Ampère-
Maxwell)
Conservação da Carga – Equação 
de Continuidade
� Identidade vetorial:
� Aplique o divergente à lei de Ampère-Maxwell
Use a lei de Gauss para substituir o divergente de E. 
( ) 0=×∇⋅∇ Fr
� Use a lei de Gauss para substituir o divergente de E. 
� Equação de continuidade:
t
J
∂
∂
−=⋅∇ ρ
r
Conservação da carga: a densidade de corrente saindo de um volume ∆V, 
por unidade de volume, é igual à diminuição da densidade de carga neste volume.
Equações de Onda
� Definição do Laplaciano: 
� Identidade vetorial:
� Numa região livre de cargas e correntes
FF
rr
2∇=∇⋅∇ ( ) FFF rrr 2∇−⋅∇∇=×∇×∇
0=⋅∇ E
r (Lei de Gauss) BE
∂
∂
−=×∇
r
r (Lei de Faraday)
� Aplique o rotacional às leis de Faraday e Ampère-Maxwell
� Use novamente as equações de Maxwell para substituir os 
divergentes e rotacionais
0=⋅∇ E (Lei de Gauss)
0=⋅∇ B
r (Lei de Gauss
para o magnetismo)
t
E
∂
−=×∇ (Lei de Faraday)
t
EB
∂
∂
=×∇
r
r
00εµ (Lei de Ampère-Maxwell)
Equações de Onda
2
2
00
2
t
EE
∂
∂
=∇
r
r
εµ
2
2
00
2
t
BB
∂
∂
=∇
r
r
εµ
(Equações de Onda)
Em uma dimensão: Forma geral das equações de onda:Em uma dimensão:
2
2
002
2
t
E
x
E
∂
∂
=
∂
∂
rr
εµ
2
2
002
2
t
B
x
B
∂
∂
=
∂
∂
rr
εµ
Forma geral das equações de onda:
2
2
22
2 ),(1),(
t
txy
vx
txy
∂
∂
=
∂
∂
v = velocidade de propagação da onda.
Calcule a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas.
(ε0 = 8,85 × 10-12 C2/N.m2; µ0 = 4pi × 10-7 N/A2)
Solução da Equação de Onda
� A função que descreve uma onda se propagando no sentido 
positivo de x é:
)sen(),( 0 tkxytxy ω−=
pi2
=k fpiω 2=
� Mostre que a seguinte função é solução da equação de onda 
para o campo elétrico:
� Se use a lei de Faraday para encontrar o campo 
magnético.
λ=k
fpiω 2=
)sen(),( 0 tkxEtxE ω−=
rr
jEE y
)r
00 =
Propriedades das ondas 
eletromagnéticas 
� E e B são ortogonais entre si;
� A relação entre as amplitudes é E = cB;
� A onda se propaga na direção de E × B.
� O campo elétrico de uma onda plana é dado por Ex=0; 
Ey=0; Ez=2.0 cos[pi × 1015(t-x/c)]. Escreva expressões para 
as componentes do campo magnético da onda.
Espectro eletromagnético
λ
cf = λ
Energia transportada pela onda
� Densidade de energia no campo elétrico:
� Densidade de energia no campo magnético:
� Densidade de energia total:
2
02
1 Eue ε=
2
02
1 Bum µ
=
me uuu +=
22
0 2
1
2
1 BE
µ
ε +=
� Para a onda a eletromagnética: e
� Média:
me
022 µ
cBE=
00
1
εµ
=c
EB
c
u
0
1
µ
=
EBcu 0ε= 00
02
1 BE
c
u
µ
=
Energia transportada pela onda
� Intensidade da onda:
Vetor de Poynting:
tempo Área
Energia
×
=I cu=
0
00
2µ
BE
=
med
S
r
=
BES
rrr
×=
1
� Vetor de Poynting:
� Momento da onda se propagando na direção x:
BES
rrr
×=
0
1
µ
dx
dU
dt
dpF −== dUdx
dt
dp
−=⇒ dUdx
dt
dx
dx
dp
−=⇒
c
Up =
Pressão de radiação
� Força:
� Pressão:
dt
dpF =
dt
dU
c
1
=
dt
dU
cA
Pr
11
=
c
S
c
IP medr
r
==
(pressão de 
radiação)
� O campo elétrico de uma onda eletromagnética oscila na 
direção y, e o vetor de Poynting é dado por
Encontre os campos elétrico e magnético e a pressão de radiação 
desta onda.
0
2
0
2
0
2
0
0
00
222 µµµ
B
c
E
c
BEPr ===
radiação)
[ ]itxmWtxS )r )103(10cos)/100(),( 922 ×−=