Aula-01

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Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema29/04/2010
Cálculo I – Módulo 2
Cálculo Integral
Prof. Dra. Karen de Lolo G. Paulino
klgpaulino@gmail.com
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema29/04/2010
Conteúdo Programático
1. Antiderivadas ...... 29/04 
2. Laboratório de Informática ...... 30/04 
3. Integral Definida ..... 
4. Propriedades da Integral Definida ...... 
5. Teorema Fundamental do Cálculo
6. Integral Indefinida ...... 
7. Método da Substituição
8. Integração Por Partes ...... 
9. Integrais Trigonométricas
10. Integração por Frações Parciais ...... 
11. Aplicações de Integração
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Avaliações
1. Atividades = A2
2. Prova 2 = P2 ....................................... 26 de junho
*A1 e P1 atividades e prova aplicada pela professora anterior
*
2121
2
)P (P
 Pe
2
)A (A
 A 




Média = 0.3 A + 0.7 P
Exercícios na sala de aula (Provinha) Listas de Exercícios (Entrega) 
1ª..... 07 de maio 1ª..... 13 de maio
2ª..... 21 de maio 2ª..... 27 de maio
3ª..... 11 de junho 3ª..... 17 de junho
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Observações
Amanhã: Entrega de listas da professora Luciana.
Próxima Aula: Cálculo da área sob uma curva 
Local: Laboratório de Informática
Noturno: Vista da P1 na segunda-feira, 03/mai, das 18 
às 19 horas, na sala 6 do Florestan.
IMPORTANTE: Levar folha de atividades impressa. 
Esteja sempre atento ao e-mail da Turma!
Serão enviadas atividades e listas de exercícios.
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Primitiva ou Antiderivada
Problema 1... 
Deseja-se conhecer a posição s(t) de uma partícula. 
• A partícula se move em uma reta e tem velocidade em 
função do tempo dada por v(t)= 3t+2. 
• Seu deslocamento inicial é conhecido s(0)= 5cm.
Matematicamente… 
O problema é encontrar uma função F(x) ( s(t)) cuja derivada é 
uma função conhecida f(x) ( v(t)). 
Se a função F(x) existir, ela é chamada primitiva de f(t).
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Primitiva ... Definição
(Primitivação é o processo inverso da Derivação)
Exemplos:
1. A função f(x) = cos x tem primitiva F(x) = sen x 
2. Qual é a primitiva de f(x) = c, sendo c uma constante? 
3. Qual é a primitiva de f(x) = x ? 
4. Qual é a primitiva de f(x) = x2 ? E de f(x) = x2 + 3?
DEF.: Uma função derivável F: I R é denominada 
primitiva de f : I R em um intervalo I  R se
F'(x) = f(x),  x I.
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Primitiva ou Antiderivada
Agora temos condições de resolver o Problema 1! 
• Posso separar a função v(t)= 2t + 3 em uma soma de 
funções
• Qual é a importância da informação: 
“o deslocamento inicial é conhecido s(0)= 5cm ” ?
Pergunta: A primitiva, quando existe, é única?
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Primitiva ... Família de primitivas
Resposta...
Para responder a essa questão, lembre-se de que a utilização do 
Teorema do Valor Médio, garante dois resultados:
TEOREMA: Se a derivada de uma função F se anula em todo o 
intervalo (a,b), então F é uma função constante em (a,b). 
(F(x) = C, onde C é uma constante arbitrária)
COROLÁRIO: Se duas funções possuem a mesma derivada em 
todo o intervalo (a,b), i.e., F’(x) = G’(x), então F(x) - G(x) é 
uma constante em (a,b). 
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Primitiva ... Família de primitivas
TEOREMA.: Se F for uma primitiva de f em um intervalo I,
então a primitiva mais geral de f em I é F(x)+C em que C
é uma constante arbitrária.
Família de funções primitivas
Atribuindo valores específicos 
para a constante C obtemos 
uma família de funções cujos 
gráficos são translações 
verticais uns dos outros.
Família de Primitivas de 
f(x) = x2 
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Primitiva ... Gráficos das Primitivas 
Obtenha o gráfico da primitiva F(x) a partir da 
função f(x)
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Primitiva ... Gráficos das Primitivas 
O que f(x) nos diz sobre a primitiva F(x)?
Pergunta equivalente: o que F’(x) nos diz sobre F(x)?
• Intervalos de crescimento: 
F'(x) > 0 em I  F é crescente em I
F'(x) < 0 em I  F é decrescente em I
• Máximos e mínimos locais
Testes da primeira ou da segunda derivada
• Concavidade e Ponto de Inflexão
F’’(x) > 0  curva é côncava para cima
F’’(x) < 0  curva é côncava para baixo 
Pontos de inflexão ocorrem na mudança da concavidade
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Primitivas ... Exemplos
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das 
seguintes funções:
a. f(x) = ex
b. f(x) = xn, n ≠ -1
b. f(x) = 1/x
c. f(x) = cos x
d. 2x 3x e f(x) 
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Primitiva ... Exemplos
Problema 2 ... 
Deseja-se conhecer a posição s(t) de uma partícula. 
• A partícula se move em uma reta e tem aceleração dada 
por a(t)= 6t+4. 
• Sua velocidade inicial é v(0)= -6cm/s, e seu deslocamento 
inicial é s(0)= 9cm.
O problema é encontrar uma função F(x) ( s(t)) cuja segunda
derivada é uma função conhecida f(x) ( a(t)). 
Introdução às equações diferenciais…
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Para as próximas aulas
Revisar Capítulo 4 (leitura) –
Principalmente: Seções 4.3, 4.5, 4.9
Trazer cópia das páginas de exercícios do livro –
Capítulo 5