Resumoderetas-parte1

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Aula 8 – retas – parte 1 
Resumo: formas de expressar equações de retas 
 
Há algumas formas para representar as equações de uma reta em R3. Abaixo são 
considerados: 
 
Para forma geral: 
Pontos P(x, y, z), A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2). 
O vetor v
r
 = (vx, vy, vz) = B – A = (x2, y2, z2) - (x2, y2, z2) 
 
Para o exemplo: 
Pontos A(1, -2, -3) e B(3, 1, -4). 
O vetor v
r
 = B – A = (2, 1, -1) 
 
Denominação Forma geral Exemplo 
Equação 
vetorial 
P = A + t v
r
 = 
 = (x1, y1, z1) + t(vx, vy, vz) (x, y, z) = (1, -2, -3) + t(2, 1, -1) 
Equação 
paramétrica 
x = x1 + t.vx 
y = y1 + t.vy 
x = z1 + t.vz 
x = 1 + t.2
 
y = -2 + t.
 
x = -3 – t 
Reta definida 
por dois 
pontos 
P = A + t BA
r
 
ou 
P = B + t BA
r
 
(x, y, z) = (1, -2, -3) + t(2, 1, -1) 
ou 
(x, y, z) = (3, 1, -4) + t(2, 1, -1) 
Equações 
simétricas 
Usando o ponto A e o vetor v
r
, podemos 
isolar t: : 
xv
xx
t 1
−
= ; 
yv
yy
t 1
−
= ; 
zv
zz
t 1
−
= 
Portanto, 
xv
xx 1−
yv
yy 1−
=
zv
zz 1−
= 
Idem: 
2
1−x
1
2+
=
y
1
3
−
+
=
z
 
 
Equações 
reduzidas 
Usando a equação simétrica acima, par a 
par, isola-se y(x) e z(x), até obter duas 
equações na forma: 
y = mx + n 
z = px + q, 
com m, n, p, q reais 
Seguindo o procedimento descrito ao lado, 
teremos: 
2
5
2
1
−= xy 
2
5
2
1
−−= xz