Calculo3-roteiro

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL 
PAULISTA 
 UNICEP 
 
 
 
 
ROTEIRO DE AULAS 
 DE CÁLCULO III 
 
 ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
Edson de Oliveira 
 
 
 
AGOSTO 
2013 
 
 
2CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
 Prof. Edson de Oliveira 
Índice 
1. Integrais múltiplas ................................................................................................... 3 
I. Integrais duplas iteradas ................................................................................... 3 
II. Volume por integral dupla ................................................................................ 4 
III. Área de uma região plana .............................................................................. 5 
IV. Centróide e momento de inércia .................................................................... 6 
V. Integral dupla em coordenadas polares .......................................................... 7 
VI. Áreas de superfícies ...................................................................................... 10 
VII. Integrais triplas iteradas ................................................................................ 11 
VIII. Volumes; centro de massa ........................................................................... 13 
IX. Integrais triplas em coordenadas cilíndricas ................................................... 14 
X Integrais triplas em coordenadas esféricas ...................................................... 16 
 
2. Integral de linha e o Teorema de Green ................................................................. 19 
XI. Parametrização de curvas; curvas regulares .................................................. 19 
XII. Campo vetorial; campo gradiente .................................................................. 21 
XIII. Integral de linha no plano ............................................................................. 22 
XIV. Integral de linha no espaço; Trabalho .......................................................... 24 
XV. Integral independente do caminho; campos conservativos ........................... 26 
XVI. Teorema de Green ...................................................................................... 29 
XVII. Integral de superfície .................................................................................. 31 
XVIII. Orientarão; integral de superfície para fluxo .............................................. 33 
XIX Divergente e rotacional ................................................................................. 35 
XX. Teorema da Divergência ............................................................................... 36 
XXI. Teorema de Stokes ..................................................................................... 37 
XXII. Campos conservativos e o Teorema de Stokes .......................................... 39 
XXIII. Superfície na forma parametrizada ............................................................ 40 
 
APÊNDICE I - Tabela de derivadas .............................................................................. 43 
APÊNDICE II - Tabela de integrais ............................................................................... 43 
 
 
 
 
 
 
3CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
 Prof. Edson de Oliveira 
 1 Integrais Múltiplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Nas questões de 1 a 3 calcular a integral, sendo a região R dada pelas desigualdades: 
 
 a) 2
R
x y dA∫∫ , R dada por 0 x 2, 0 y 1≤ ≤ ≤ ≤ 
 
 b) 2 2
R
(x y 10)dA+ −∫∫ , R dada por 0 x 1, 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤ 
 Respostas: a) 4
3
 b) -20 
2) Calcular
R
y dA∫∫ sendo R a região limitada pela curva y x= e pelas retas x + y = 2 e 
 y = 0. 
 Resposta: 
5
12
 
 I Integrais Duplas Iteradas 
 
 Se ),( yxf é contínua sobre uma região admissível, por exemplo, de um dos tipos 
apresentados abaixo, então existe ∫∫
R
dAyxf ),( . 
 Além disso, a integral dupla satisfaz propriedades semelhantes àquelas 
válidas para as integrais de Riemann. Em particular: 
 
 [ ] =+∫∫ dAyxgsyxfr
R
),(),( ∫∫∫∫ +
RR
dAyxgsdAyxfr ),(),( 
onde sr, são constantes. 
 Quando uma região de integração é do tipo 



≤≤
≤≤
= )()( 21 xfyxf
bxa
R com )(1 xf e 
)(2 xf contínuas em [ ba, ], então: 
 ∫∫ ∫ ∫∫∫ ==
R
b
a
xf
xf
R
dxdyyxfdAyxfdydxyxf )(
)(
2
1
),(),(),( 
 Se a região de integração é do tipo 



≤≤
≤≤
= )()( 21 xgyxg
dyc
R com )(1 xg e )(2 xg 
contínuas em [ dc, ], então: 
 ∫∫ ∫ ∫∫∫ ==
R
d
c
xg
xg
R
dydxyxfdAyxfdydxyxf )(
)(
2
1
),(),(),( 
 
 
 
 
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3) Calcular ∫∫ +
R
dAyx )( sendo R a região limitada pela curva 2xy = e xy 2= 
Resposta: 
15
52
 
4) Calcular: a) dxdyexx
x
xy
∫ ∫
−
−
2
1
2
3
)13( b) dxdyxx
x∫ ∫
−2
0
8 2
2
 c) dxdyxyab
b
a
∫ ∫ −
2
0
2)( 
 Resposta: a) 67 e− b) 8 c) 3
3
2
a 
5) Esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração: 
 a) ∫ ∫
−1
0
1
0
2
5
y
dydxx b) ∫ ∫
−
+2
1
1
0
7
x
dxdy c) ∫ ∫
−
−
−−
2
2
4
4
2
2
x
x
dxdy d) ∫ ∫
1
0
2x
x
dxdyxy 
 Respostas: a) ∫ ∫
−1
0
1
0
2
5
x
dxdyx b) ∫ ∫
−
3
0
2
1
7
y
dydx c) ∫ ∫
−
−
−−
2
2
4
4
2
2
y
y
dydx 
 d) ∫ ∫∫ ∫ +
2
1
1
2
1
0
2
y
y
y dydxxydydxxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
6) Encontrar o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy limitado pelo eixo x e 
pelas retas y = x e x = 1 e cujo o topo está no plano z = f(x,y) = 3 – x – y. 
 Resposta: =−−∫ ∫
1
0 0
)3(x dxdyyx 1 u.v. 
 
7) Encontrar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos de 922 =+ zx , 
0,0,2 === zyxy . Resposta =−∫ ∫
3
0
2
0
29
x
dxdyx 18u.v. 
 
8) Encontrar os volume do sólido delimitado pelas superfícies z = 1 – x2 , x + y = 4, z = 0 e 
y = 0 . Resposta =−∫ ∫
−
−1
1
4
0
2 )1(x dxdyx
3
16
 u.v 
9) Encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos de xey = , 1=x e z = 2, no primeiro 
octante. 
Resposta =∫ ∫
1
0 0
2
xe
dxdy 2(e - 1) u.v. 
10) Determinar o volume do sólido com base triangular no plano xy de vértices O(0,0), 
A(1,1) e B(0,2) limitado superiormente por xz 2= e lateralmente pelo contorno da base. 
Resposta =∫ ∫
−1
0
2
0
2
x
dxdyx
3
2
 u.v 
 II Volume por integral dupla. 
 
 O volume de um sólido cilíndrico cuja base inferior é uma região R do plano xy e 
cuja base superior z = f (x,y) , com 0),( ≥yxf , é definido pela integral ∫∫R
dAyxf ),( . 
 
 
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11) Achar o volume limitado pelo plano 1
22
=++ z
yx
 e os planos coordenados. 
Resposta: 
3
2
 u.v 
12) Achar o volume sob 24 xz −= , acima de 0=z e dentro de .42 xy = 
Resposta: 2 24,17)4(2
0
2
0
2
=−∫ ∫
x
dxdyx 
13) Achar o volume sob o plano 2=+ zx , acima de 0=z e dentro de .422 =+ yx 
 
Resposta: 2 pi8)2(2
2
4
0
2
=−∫ ∫
−
−x
dxdyx 
14) As integrais iteradas representam volumes de sólidos. Descreva os sólidos. 
 a) ∫ ∫
1
0
2
0
dydx b) ∫ ∫
−
−
4
0
2
2
24 dydxx c) ∫ ∫
−
−
−−
−−
2
2
4
4
22
2
2 4
x
x
dxdyyx 
 Respostas: a) volume do sólido delimitado pelos planos coordenados e pelos planos 1,2,1 === yxz 
 b) volume de uma calha circular reta de raio 2 e altura 4; c) volume do hemisfério de raio 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
15) Calcular a área limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 2x + 3. 
 Resposta: ∫ ∫
−
+3
1
32
2
x
x
dxdy = 32 u.a.
3
 
16) Calcular a área limitada pelas parábolas 12 += yx e 3=+ yx . 
 Resposta: ∫ ∫
−
−
+
1
2
3
12
y
y
dydx = 
2
9
u.a. 
17) Calcular a área limitada no primeiro quadrante limitada pelo eixo x e pelas curvas 
 1022 =+ yx e xy 92 = . Resposta: ∫ ∫
−3
0
10
9
1
2
2
y
y
dydx = 6,75 u.a. 
18) Calcular a área da região limitada por y = senx e y = cosx quando x varia de 0 a 
4
pi
. 
Resposta: ∫ ∫40
cos
pi
x
xens
dxdy = ..12 au− 
 
19) Calcular a área da região limitada pelas curvas 2xy = e yx = . 
 Resposta: ∫ ∫
1
0 2
x
x
dxdy =
6
1
u.a. 
20) Achar a área da região limitada pelo par de curvas 24 xxy −= e yx = . 
 Resposta: ∫ ∫
−3
0
4 2xx
x
dxdy =
2
9
u.a. 
 III Área de uma região plana 
 
 A área de uma região R do plano xy fechada e limitada pode ser calculada pela 
integral dupla 
R
dA∫∫ . 
 
 
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Exercícios 
 
21) Encontrar o centróide da área limitada pelas parábolas y = x3 e y = 4x no primeiro 
quadrante. 
 Resposta: 





21
64
,
15
16
 
22) Achar o centróide da região limitada por 26 xxy −= e xy = . 
 Resposta: 




 5,
2
5
 
23) Achar o centróide da área no primeiro quadrante limitada pela parábola 24 xy −= . 
 Resposta: 





5
8
,
4
3
 
 
24) Calcular o momento de inércia com relação ao eixo y da região plana entre a parábola 
29 xy −= e o eixo x . 
Resposta: 
5
324
 
 
25) Uma lâmina tem a forma de uma região quadrada cujos vértices são (0, 0), (a, 0), (a, a) 
e (0, a). Calcule o momento de inércia da lâmina com relação ao eixo x. 
Resposta: 
3
4
0 0
2 adxdyy
a a
=∫ ∫ 
 
 
 IV Centróides e momentos de inércia 
 As coordenadas ( )x,y do centróide de uma região R de área A = 
R
dA∫∫ 
satisfazem as relações: 
 yAx M= e xAy M= 
 
 ou 
R R
x dA xdA=∫∫ ∫∫ e 
R R
y dA ydA=∫∫ ∫∫ 
 Os momentos de inércia de uma região R com relação aos eixos coordenados 
são dados por: 
2
x
R
I y dA= ∫∫ e 
2
y
R
I x dA= ∫∫ 
 
 O momento de inércia polar (o momento de inércia com relação à reta que passa 
pela origem e é perpendicular ao plano da região) de uma região R é dado por: 
 
2 2
o x y
R
I I I (x y )dA= + = +∫∫ 
 
 
 
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Exemplo 1: Calcular 
R
f(r, )dAθ∫∫ onde R é a região da figura abaixo e 
5f(r, )
r
θ = .
 
 
A região R é descrita por: 4 2
0 r 2sen
pi pi ≤ θ ≤

 ≤ ≤ θ
 
 
Assim: 
 θθθθθ
pi
pi
θ
pi
pi
θ
pi
pi
dsenddrddr
r
rrf
sensen
R
2555.),(
2
4
2
0
2
4
2
0
2
4
∫∫∫∫∫∫ ∫ =








=








= 
 
[ ]2
4
cos10
pi
piθ− = 252
2010
4
cos
2
cos10 =





+=



+−
pipi
 
 V Integral dupla em coordenadas polares 
 Consideremos uma região R, conforme a figura, descrita em coordenadas 
polares por: 
 
 
 onde 1g ( )θ e 2g ( )θ são funções contínuas e 2 .β − α ≤ pi Então: 
 θθθ
β
α
θ
θ
ddrsenrrfAdyxf g
g
R
),cos(),( )(
)(
2
1
∫ ∫∫∫ = 
Observações: 
 i) Para transformar uma função f(x,y), escrita em coordenadas cartesianas, para 
coordenadas polares, utilizamos as relações: x r cos= θ e y rsen= θ . 
 ii) A área de uma região R fechada e limitada no plano de coordenadas 
polares é calculada pela fórmula: 
R
rdA∫∫ . 
 



≤≤
≤≤
)()( 21 θθ
βθα
grg
 
 
 
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Exemplo 2: Calcular a integral 
2 2x y
R
e dA+∫∫ onde R é a região no 1º quadrante interior ao 
círculo x2 + y2 = 4 e exterior ao círculo x2 + y2 = 1. 
 
 
 
 Então 
 dAe
R
yx
∫∫
+ 22
 = θ
pi
ddrre r∫ ∫20
2
1
2
 = [ ] θpi de r 2120 221 ∫ = ( )∫− 20421
pi
θdee = ( )ee −4
4
pi
 
 
Exemplo 3 : Encontrar a área dentro da lemniscata 2r 4cos2= θ . 
 
 
 
A área total é 4 vezes a área da porção do 1º quadrante. 
 A = θ
pi θ
ddrr∫ ∫40
2cos4
0
4 = θ
pi θ
dr∫ 





4
0
2cos4
0
2
2
4 = θθ
pi
d∫ 40 2cos24 = [ ]4024
pi
θsen = 4 
 
Exercícios 
 
26) Usando coordenadas polares calcular: 
 a) 
2
2
2 4 x
2 4 x
y dy dx
−
−
− −
∫ ∫ b) 
2 22(x y )
R
e dA+∫∫ , R é o círculo 
2 2x y 4+ ≤ c) dxdyyx∫ ∫
−
−1
1
1
0
2
 
 d) Adyx
R
∫∫ +
22
, R limitada por xyx 222 =+ , xyx 422 =+ , xy = e xy
3
3
= 
 Respostas: a) 0 b) )1(
2
8
−e
pi
 c) 
3
2
 d) )11210(
9
7
− 
27) Calcular a integral iterada ∫ ∫
−
−
+
3
3
9
0
2
)2(x dxdyyx usando coordenadas polares. 
 Resposta: 18 
 
28) Encontrar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cone rz = e o cilindro 
θsenr 4= . 
 Resposta: θ
pi θ
ddrr
sen
∫ ∫20
4
0
2
= 
9
128
 




≤≤
≤≤
21
2
0
r
piθ
 
 
 
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29) Sendo z = f(x,y) = 4 – y, calcular o volume da região sob o gráfico de f que está 
compreendida sobre a região anular de centro na origem, raio interno 1 e raio externo 2. 
Resposta: θθ
pi
ddrsenrr∫ ∫ −
2
0
2
1
)4( =12pi . 
 
30) Achar o volume do sólido acima do planoxy delimitado por .224 22 yxz −−= 
Resposta: θ
pi
ddrrr∫ ∫ −
2
0
2
0
2 )24( = pi4 
 
31) Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo parabolóide 21 rz −= e o 
cilindro 1=r . 
Resposta: θ
pi
ddrrr∫ ∫ −20
1
0
2 )1( = 
8
pi
 
32) Mostrar que a área do círculo de raio a é dada por .2api Dica θpi ddrra∫ ∫
2
0 0
 
 
33) Achar a área da região interior à circunferência centrada na origem de raio r = 3, entre 
as retas y = x e y = 3x , no primeiro quadrante 
Resposta: θ
pi
pi ddrr∫ ∫3
4
3
0
 = 
3
u.a.
8
pi
 
34. Achar a área da região plana dentro do círculo θcos3=r e externa ao círculo θcos=r . 
Resposta: 2 θ
pi θ
θ
ddrr∫ ∫20
cos3
cos
 = pi2 
35) Obter a área englobada pela cardióide ).cos1(2 θ+=r 
 Resposta: θ
pi θ
ddrr∫ ∫
+
0
)cos1(2
0
2 = pi6 
36) Utilize coordenadas polares para mostrar que o volume de uma esfera de raio a é 
 
3
3
4
api . Dica θ
pi
ddrrar
a
∫ ∫ −20 0
228 
37) Achar o volume do sólido abaixo do plano xy delimitado por .922 −+= yxz 
Resposta: 
2
81)9(2
0
3
0
2 piθ
pi
=−∫ ∫ ddrrr 
38) Encontrar a área da região interna ao círculo θcos3=r e externa à cardióide 
.cos1 θ+=r 
Resposta: θ
pi θ
θ
ddrr∫ ∫
+
3
0
cos1
cos3
2 = pi 
39) Encontrar a área da região interna ao círculo 1=r e externa à cardióide .cos1 θ+=r 
Resposta: θ
pi
pi θ
ddrr∫ ∫ +
2
3
2
1
cos1
 = 
4
2 pi− 
40) Achar a abscissa do centróide da área limitada pela cardióide .cos1 θ+=r 
Resposta: 
6
5
=x 
 
 
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Exemplo: Calcular a área da porção do plano 2x + 3y + z = 6 que é cortada pelos 3 planos 
coordenados. 
 
 Solução: 
 A equação do plano pode ser escrita na forma z = 6 – 2x - 3y de modo que 2−=
∂
∂
x
z
 e 
3−=
∂
∂
y
z
. 
 
 
33- x22 3 2
2 2
R 0 0
3
0
z zA = + +1 dA = (-2) + (-3) +1 dydx =
x y
2 9
= 14 2 - x dx = 14 u.a
3 4
 ∂ ∂ 
  ∂ ∂   
 
 
 
∫∫ ∫ ∫
∫
 
 
Exercícios 
41) Calcular a área da porção da superfície z = x2 + y2 que está compreendida sobre a 
região 2 2x y 1+ ≤ . Resposta: Adyx
R
∫∫ ++
22 441 = pi(5 5 -1)
6
 
 VI Áreas de superfícies 
 A fórmula que permite calcular áreas de superfícies mais gerais, 
especificamente aquelas que têm a forma z = f(x,y) é: 
 
 
22
R
z zA = + +1 dA
x y
 ∂ ∂ 
  ∂ ∂   ∫∫
. 
desde que a integral do membro direito exista. 
 




−≤≤
≤≤
=
3
220
30
xy
x
R 
 
 
 
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42) Achar a área da superfície do cone 2 2 2z = 3(x + y ) interceptado pelo parabolóide 
2 2z = x + y . 
 Resposta: θ
pi
ddrr∫ ∫
2
0
3
0
2 = 6pi 
43) Mostrar que a área da superfície de uma esfera de raio a é dada por 24 api . 
44) Determinar a área da porção do plano 632 =++ zyx que é cortada pelos três planos 
coordenados. 
Resposta: dxdy
x
∫ ∫
−3
0
3
22
0
14 = 143 
45) Achar a área da porção do plano 5=++ zyx compreendida acima da região circular 
.922 ≤+ yx 
Resposta: θ
pi
ddrr∫ ∫
2
0
3
0
3 = 39 
46) Achar a área da porção do parabolóide 22 yxz += no interior da esfera 
6222 =++ zyx 
Resposta: θ
pi
ddrrr∫ ∫ +
2
0
2
0
2 14 =
3
13pi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
47) Calcular a integral tripla sobre a região indicada. 
 VII Integrais Triplas Iteradas 
 
 Se ),,( zyxf é contínua sobre uma região admissível, por exemplo, como a do tipo 
apresentada abaixo, então existe ∫∫
R
dVyxf ),( . 
 Além disso, a integral tripla satisfaz propriedades semelhantes àquelas válidas 
para as integrais de Riemann. Em particular: 
 
 [ ] =+∫∫ dVzyxgszyxfr
D
),,(),,( ∫∫∫∫ +
DD
dVzyxgsdVzyxfr ),,(),,( 
onde sr, são constantes. 
 Quando uma região de integração é do tipo 





≤≤
≤≤
≤≤
=
),(),(
)()(
21
21
yxhyyxh
xgyxg
bxa
D então: 
 dzdxdyzyxfdAzyxfdydxzyxf
D
b
a
xg
xg
yxh
yxh
D
∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ==
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(),,(),,( 
 
 Seguindo procedimentos similares podemos trocar a ordem de integração. A 
projeção da região D está no plano das duas últimas variáveis às quais a integração 
iiterada é realizada. 
 
 
 
 
12CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
 Prof. Edson de Oliveira 
 
 a) ∫∫∫
D
dVy onde D é a região limitada pelos planos coordenados e o plano 
.1
23
=++ z
yx
 
 
 b) ∫∫∫
D
dVyx D é a região limitada por z = 4 – x2, y = 0 e y = 4. 
 A região D está representada na figura abaixo: 
 
Respostas: a) ∫ ∫ ∫
− −−3
0
3
22
0
23
1
0
x
yx
dxdydzy = 
2
1
 b) ∫ ∫ ∫
−
−2
2
4
0
4
0
2x
dxdydzyx = 0 
48) Exprimir ∫∫∫
D
dVzyxf ),,( como uma integral iterada sendo D a região: 
 
 a) do primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelos gráficos de 
4
2
2
2 yxz +=− e 122 =+ yx . 
 b) do primeiro octante limitada pelo plano ,4=+ zy pelo cilindro 2xy = e pelos planos 
 xy e yz. 
 
 c) limitada por 4222 =++ zyx e 223 yxz += . 
 d) do primeiro octante limitada pelos gráficos de 2294 yxz +=− , xy 4= , 0=z e 
0=y . 
 e) limitada pelo tetraedro de vértices ).3,0,0(),0,3,0(),0,0,1(),0,0,0( CBAO = 
 
 f) limitada pelos gráficos das funções 22 yxz += e 222 yxz −−= . 
 
 Respostas a) ∫ ∫ ∫
− ++1
0
1
0
4
2
0
2
2
2
),,(x
y
x
dxdydzzyxf b) ∫ ∫ ∫
−2
0
4 4
02
),,(
x
y
dxdydzzyxf 
 c) ∫ ∫ ∫
−
−
−−
−−
+
3
3
3
3
4
)(
3
1
22
2
22
22
),,(x
x
yx
yx
dxdydzzyxf d) ∫ ∫ ∫
−
−−
5
8
0
3
4
4
94
0
2
22
),,(
y
y
yx
dydxdzzyxf 
 e) ∫ ∫ ∫
− −−1
0
33
0
33
0
),,(x yx dxdydzzyxf f) ∫ ∫ ∫
−
−
−−
−−
+
1
1
1
1
22
2
22
22
),,(x
x
yx
yx
dxdydzzyxf 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
49) Calcular o volume da região do 1º octante limitada pelo plano 4x + y + z = 8. 
Resposta: ∫ ∫ ∫
− −−2
0
48
0
48
0
x yx
dxdydz = 64
3
 
50) Determinar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo plano ,4=+ zy pelo 
cilindro 2xy = e pelos planos xy e yz . 
Resposta: ∫ ∫ ∫
−2
0 0
4
0
2x y
dxdydz
15
128
 
51) Determinar o volume do sólido delimitado superiormente pela superfície ,42 =+ zx 
inferiormente pelo plano 2=+ zx e compreendido entre os planos 0=y e 3=y . 
 Resposta:∫ ∫ ∫
−
−
−
3
0
2
1
4
2
2
),,(x
x
dydxdzzyxf = 
2
27
 
 
52) Calcular a abscissa do centróide do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo 
plano 1=++ zyx . 
Resposta: =x
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
− −−
− −−
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
x yx
x yx
dxdydz
dxdydzx
= 
3
1
 
 
53) Um sólido tem a forma da figura limitada pelos planos y + z = 2 e x = 3, no 1º octante. A 
densidade do sólido no ponto (x,y,z) é dada por f(x,y,z) = z. Encontrar a sua massa. 
 Resposta: ∫ ∫ ∫
−3
0
2
0
2
0
y
dxdydzz = 4. 
 
 VIII Volumes; Centros de massa 
 
 As aplicações que foram vistas para integrais duplas têm suas 
contrapartidas para a integral tripla. 
 - O volume de uma região D fechada e limitada no espaço é calculado através da 
fórmula: 
 
D
V dV= ∫∫∫ . 
 Se um sólido tem densidade volumétrica f(x,y,z), temos: 
- a massa do sólido é 
D
M f(x,y,z)dV= ∫∫∫ . 
- o centróide tem coordenadas ( )x,y,z dadas por: 
 ∫∫∫=
D
dVxxM , ∫∫∫=
D
dVyyM , ∫∫∫=
D
dVzzM 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1: Encontrar o volume do cilindro circular de raio 2 delimitado pelos planos 
coordenados e pelo plano z = 6, no 1º octante. 
 
 Solução 
 
 A região de integração é descrita em coordenadas cilíndricas por: 
0 , 0 r 2, 0 z 6
2
pi≤ θ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . 
 Então 
 
/ 2 2 6
D 0 0 0
V dV r dzdr d 6
pi
= = θ = pi∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
Exemplo 2: Calcular 2 2
D
I 8z x y dV= +∫∫∫ onde D é o sólido do 1º octante limitado pela 
superfície cilíndrica x2 + y2 = 1, pelo plano z = 0 e pelo plano z = y. 
 
 Solução
 IX Integral tripla em coordenadas cilíndricas 
 Seja D uma região do espaço D descrita em coordenadas cilíndricas por: 
 
 
 
 Nesse caso temos: 
 
 ∫ ∫ ∫∫∫∫ =
β
α
θ
θ
θ
θ
θθθ
)(
)(
),(
),(
2
1
12
1
),,cos(),,( g
g
rh
rh
D
ddrdzrzsenrrfdVzyxf 
 
 Observemos que para transformar uma função f(x,y,z) escrita em 
coordenadas cartesianas, para coordenadas cilíndricas, utilizamos as relações 
polares x r cos= θ e y rsen= θ . 
 
 
1 2
1 2
g ( ) r g ( )
h (r, ) z h (r, )
α ≤ θ ≤ β
 θ ≤ ≤ θ
 θ ≤ ≤ θ
 
 
 
 
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0
2
D : 0 r 1
0 z rsen
pi ≤ θ ≤

≤ ≤
 ≤ ≤ θ


 
 
 
 
 Exercícios 
 
54) Expressar as integrais como integrais triplas em coordenadas cilíndricas e calcular as 
integrais obtidas. 
 
 a) 
22 4 x 6
2 2
0 0 0
x y dzdxdy
−
+∫ ∫ ∫ b) 
2 22 x y1 1 x
2 2
0 0 0
3 dzdydx
x y
+
−
+
∫ ∫ ∫ 
 Respostas: a) piθ
pi
82
0
2
0
6
0
2
=∫ ∫ ∫ ddrdzr b) 3 4
32
0
1
0 0
piθ
pi
=∫ ∫ ∫
r
ddrdz 
55) Converter para coordenadas cilíndricas e calcular a integral dVyx
D
∫∫∫ +
22
 onde D é o 
sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano 4=z e pelo 
cilindro 2522 =+ yx . 
Resposta: ∫ ∫ ∫20
5
0
4
0
2
pi
θddrdzr
3
250pi
 
56) Converter para coordenadas cilíndricas e calcular a integral dV
yxD
∫∫∫
+ 22
1
 onde D é o 
sólido limitado superiormente pelo plano 4=z , inferiormente pelo plano 1=z e 
lateralmente pelo cilindro 1622 =+ yx . Resposta: ∫ ∫ ∫
pi
θ
2
0
4
0
4
1
2 ddrdzr = pi24 
57) Usando coordenadas cilíndricas calcular o volume do sólido limitado pelo parabolóide 
z = 1 – (x2 + y2) e o plano z = 0. 
 Resposta: ∫ ∫ ∫
−pi
θ
2
0
1
0
1
1
2
r
ddrdzr = 
2
pi
 
58) Determinar o volume acima de 0=z , abaixo do cone 222 yxz += e contido no cilindro 
yyx 222 =+ , usando coordenadas cilídricas. 
 Resposta: 
9
32
0
2
0 0
=∫ ∫ ∫
pi θ
θ
sen r
ddrdzr 
59) Determinar o volume do sólido limitado superiormente pela esfera 16222 =++ zyx e 
inferiormente pelo parabolóide 2223 yxz += 
 Resposta: 
3
642
0
12
0
16
3
2 piθ
pi
=∫ ∫ ∫
−r
r ddrdzr 
 
 
 
16CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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60) Calcular o volume da porção da esfera 9222 =++ zyx que está dentro do cilindro 
223 yxy += . Resposta: ∫ ∫ ∫
−
−−
pi θ
θ
0
3
0
9
9
2
2
sen r
r
ddrdzr = pi18 
 
61) Determinar a massa do cone circular reto limitado pela superfície cônica 
2222 yxz +−= e pelo plano 0=z conhecendo a densidade 2230 yxzd += . 
 Resposta: ∫ ∫ ∫
−pi
θ
2
0
1
0
22
0
230
r
ddrdzrz = pi4 
62) Determinar centróide do sólido limitado pelo parabolóide 22 yxz += e pelo plano 
3=z . 
Resposta: )2,0,0( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Determinar o volume da região D limitada acima pela esfera 3ρ = e abaixo 
pelo cone .
3
piφ = 
 
Solução
 X Integrais triplas em coordenadas esféricas 
 Seja D uma região do espaço D descrita em coordenadas esféricas por: 
 
 
 
 
 Então: 
 
∫ ∫ ∫∫∫∫ =
β
α
δ
γ
φθ
φθ θφρθφρθφρφρ
),(
),(
212
1
)cos,,cos(),,( h
h
D
ddrdzrsensensenfsendVzyxf 
 
 Observemos que para transformar uma função f(x,y,z), escrita em 
coordenadas cartesianas, para coordenadas esféricas, utilizamos as relações: 
θφρ cossenx = , θφρ senseny = , φρ cos=z em que 2 2 2 2x y z .+ + = ρ 
 
1 2
D :
h ( , ) h ( , )
2 e
α ≤ θ ≤ β
γ ≤ φ ≤ δ
 θ φ ≤ ρ ≤ θ φ
β − α ≤ pi δ − γ ≤ pi
 
 
 
 
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




≤≤
≤≤
≤≤
30
3
0
20
:
ρ
piφ
piθ
D
== ∫ ∫ ∫
pi
pi
θφρφρ2
0
3
0
3
0
2 dddsenV θφρφpi
pi
ddsen∫ ∫ 




2
0
3
0
3
0
3
3
. = θφφpi
pi
ddsen∫ ∫
2
0
3
0
9 
 = [ ] θφ
pi
pi
d3
0
2
0
cos9 ∫ − = ∫





−
pi
θpi
2
03
cos19 d = [ ] piθ 202
9
 = pipi =⋅ 2
2
9
 
Exemplo 2: Determinar a massa de um sólido com o formato de calota esférica de raio 2 
cuja densidade de massa num ponto P é inversamente proporcional ao quadrado da 
distância de P à origem. 
 
 
 
 A densidade é dada por 
ρρ
kk
zyx
k
zyxf ==
++
=
2222
),,( . 
Daí: 
 
 
[ ]
22 / 2 2 2 / 2 2 2 / 2 2
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 / 2 2 2
/ 2
0
0 0 0 0
kM sen d d d k sen d d d k
2
2k sen d d 2k cos d 2k cos cos0 d 2k.2 4k
2
pi pi pi pi pi pi
pi pi pi pi
pi
 ρ
= ρ φ ρ φ θ = ρ φ ρ φ θ = = ρ  
pi 
= φ φ θ = − φ θ = − + θ = pi = pi 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
63) Usando coordenadas esféricas mostrar que o volume da esfera de raio a é dado por 
3
4 3aV pi= . (Sugestão: ∫ ∫ ∫= 20 0 20
2
pi pi
θρφφρa dddsenV ) 





≤≤
≤≤
≤≤
20
2
0
20
ρ
piφ
piθ18CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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64) Calcular ( ) dVzyx
D
2
1
222
∫∫∫ ++ onde D é a coroa esférica limitada por 1
222
=++ zyx e 
4222 =++ zyx . 
Resposta: piφθρφρpi pi 15
0
2
0
2
1
3
∫ ∫ ∫ == dddsenV 
65) Expressar 
2 22 9 x y3 9 x
2 2 2 3
0 0 0
(x y z ) dzdydx
− −
−
+ +∫ ∫ ∫ , como uma integral tripla em 
coordenadas esféricas e calcular a integral obtida. 
Resposta:
/ 2 / 2 3
8
0 0 0
2187
sen d d d
2
pi pi
piρ φ ρ φ θ =∫ ∫ ∫ . 
66) Usar coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido no 1º octante limitado pela 
esfera 4ρ = , pelos planos coordenados, o cone 
6
piφ = e o cone 
3
piφ = . 
Resposta: 
/ 2 / 3 4
2
0 / 6 0
16
sen d d d ( 3 1).
3
pi pi
pi
ρ φ ρ φ θ = pi −∫ ∫ ∫ 
67) Determinar o volume do sólido limitado pela superfície cônica )(3 22 yxz += e pela 
superfície esférica .1)1( 222 =−++ zyx 
Resposta: θφρφρpi
pi φ
dddsen∫ ∫ ∫
2
0
6
0
cos2
0
2
 =
12
7pi
 
68) Usando coordenadas esféricas calcule ∫∫∫
+
D
dV
z
yx
2
22
onde D é a região acima do 
cone 222 yxz += e abaixo da esfera 25222 =++ zyx . 
Resposta: θφρφρpi
pi
dddtg 2
2
0
2
0
5
0∫ ∫ ∫ = 6
)4(125 pipi −
 
69) Mostre que o volume da região limitada pelo cone 22 yxz += e pelo parabolóide 
22 yxz += é 
6
pi
. 
70) Determine a massa de um oitavo de esfera de raio 4 e de densidade em cada ponto 
igual à distância do ponto ao centro. 
Resposta: θφρφρ
pi pi
dddsen∫ ∫ ∫20
2
0
4
0
3
= pi32 
 
 
 
 
 
 
19CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
 Prof. Edson de Oliveira 
2 Integral de Linha e o Teorema de Green 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 XI Parametrização de curvas; curvas regulares 
 É bastante conveniente representar uma curva C no espaço por equações 
paramétricas: 
 
x = f(t), y = g(t), z = h(t), bta ≤≤ 
 
ou em notação vetorial: 
 
x = r(t) = x i + y j + z k = f(t) i + g(t) j + z(t) k 
 
 
 
 Se as derivadas 'f , 'g e 'h são contínuas em I = [a, b] e não se anulam 
simultaneamente (exceto possivelmente nos extremos de I) diz-se que a curva é regular. 
A curva C diz-se regular por partes se podemos particionar o intervalo I em subintervalos 
tal que em cada um deles C é regular. Ela se diz simples quando não possui auto-
interseções. 
 Por economia usaremos a palavra curva para designar uma curva regular por 
partes e simples. 
Pode-se dar uma orientação positiva ou negativa à uma curva C, com ponto inicial 
C(a) e ponto final C(b) da seguinte maneira: 
 
� A orientação positiva é a direção definida pelos valores crescentes do parâmetro. 
� A orientação negativa é a contrária do item anterior. 
 Costuma-se indicar a orientação colocando-se setas em C, como nas figuras 
abaixo. 
 Uma curva é fechada quando seu ponto inicial coincide com o ponto final. 
 
 
 
 De maneira similar estabelece-se a idéias acima para curvas parametrizadas no 
plano. 
 Observe-se que uma curva admite diversas parametrizações. 
 
 
 
 
20CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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Exemplos 
1) x = 4t + 1, y = 2t – 1, 20 ≤≤ t , é uma representação paramétrica do segmento 
de reta com ponto inicial (1, -1) e ponto final ( 9, 3). 
 
2) x = 2 cos t , y = 2 sen t, t ∈ [0,2pi ] é uma representação paramétrica da 
circunferência centrada na origem, de raio 2, cuja equação cartesiana é 
2 2x y 4+ = , orientada no sentido anti-horário. Trata-se de uma curva fechada e 
simples. 
 
3) A parametrização da circunferência (1 volta) de raio a centrada na origem e 
orientada no sentido horário é x = a sen t, y = a cos t , t ∈ [0,2pi ]. 
 
4) Qualquer função de equação cartesiana y = f(x), x ∈ J, define uma curva no 
plano, cujas equações paramétricas podem ser dadas por: 
 
x = t, y = f(t) , t ∈ J 
 
 
Assim, 10,2 ≤≤= xxy define uma curva x = t , y = t2, t ∈ [0,1]. 
 
5) A curva da figura tem parametrização x = 3 cos t , y = 3 sen t, 
2
3
2
pipi ≤≤ t . 
 
 
6) Parametrize o segmento de reta que liga os pontos P(-3, 2, -3) e Q(1, -1, 4). 
Solução 
 A reta que passa pelos pontos P e Q pode ser parametrizada a partir de sua 
equação vetorial: 
 X = P + (Q – P) t = (-3, 2, -3) + (4, -3, 7) t 
fazendo X = (x, y, z). Observe que se t = 0 então X = P (ponto inicial) e, se x = 1, então 
X = Q (ponto final). Portanto: 
 x = -3 + 4 t, y = 2 – 3 t, z = -3 + 7 t, 10 ≤≤ t 
são as equações paramétricas do segmento que liga P a Q. 
 
Exercícios 
71) Dê uma parametrização para as seguintes curvas: 
a) Segmento de reta de (0, 1) até (1, 2); 
b) Parábola 12 += xy , 31 ≤≤− x 
c) Gráfico de xy 2= , x de 3 a 24; 
d) Circunferência de raio 2, centrada na origem, orientada no sentido horário; 
e) Semi-circunferência superior, centrada na origem, de raio 3 e orientada no 
sentido anti-horário; 
f) Segmento de reta ligando (0, 0, 1) a (1, 1, 1). 
 
 
 
21CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
 Prof. Edson de Oliveira 
 Respostas: a) 10,1, ≤≤+== ttytx b) 31,1, 2 ≤≤−+== ttytx 
 c) 243,2, ≤≤== ttytx d) pi20,,cos22 ≤≤== ttytsenx 
 e) pi≤≤== ttsenytx 0,3,cos3 f) 10,1,, ≤≤=== tztytx 
 
72) Esboce o gráfico das seguintes curvas: 
 a) 11,1,31 ≤≤−+=+= ttytx b) 31,,2 ≤≤== ttytx 
 c) 12,,1 2 ≤≤−=+= ttytx d) 32,2,1 ≤≤−=−= tytx 
 
73) Uma mosca desenvolveu o seguinte percurso no plano: saiu do ponto O(0, 0), foi ao 
ponto de coordenadas (1, 0) e terminou o seu trajeto em (1, 1). 
 Desenhar a curva percorrida pela mosca e dizer se ela é simples e fechada, 
simples e não fechada, não fechada e simples ou não fechada e não simples. 
Resposta: não fechada e simples 
 
74) Um móvel desenvolveu as seguintes trajetórias seguindo o gráfico de y = ex , 20 ≤≤ x 
ao longo do segmento de reta ligando os pontos (2, e2) e (0, 2) e depois seguindo o 
gráfico da parábola 2xy = para x de 0 até 2. 
 Desenhar a curva percorrida móvel e dizer se ela é simples e fechada, simples e 
não fechada, não fechada e simples ou não fechada e não simples. 
Resposta: não fechada e não simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 XII Campo vetorial; campo gradiente 
 Um campo vetorial em um domínio do plano ou no espaço é uma função que 
associa um vetor a cada ponto do domínio. Um campo de vetores tridimensional pode 
ser uma fórmula do tipo: 
F(x,y,z) = M(x,y,z) i + N(x,y,z) j + P(x,y,z) k 
 
No plano: 
F(x,y) = M(x,y) i + N(x,y) j 
 
Seja f(x, y, z) uma função de três variáveis. Um campo de vetores importante 
no espaço é o campo gradiente, denotado por ( )grad f ou f∇ e definido por 
k
z
fj
y
fi
x
ffgrad
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=)( se as derivadas parciais de 1ª ordem da existem. 
 
 De maneira similar se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis cujas derivadas 
parciais de 1ª ordem existem: 
j
y
fi
x
ffgrad
∂
∂
+
∂
∂
=)( 
 Conhece-se que grad F é um vetor normal à superfície de equação F(x, y, z) = 0 
em cada ponto Q(x, y, z). 
 
 
 
 
 
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 Prof. Edson de Oliveira 
Exemplos 
1) a ) F(x,y) = -y i + x j é um campo vetorial emR2. 
b) F(x,y,z) = 2xyzi + x2yj + 3xy2z3 é um campo vetorial em R3 
 
 2) Dada a função f(x,y,z) = 3x2y3z + 5xyz – 4x2y2z2 + 3, determinar o campo vetorial 
gradiente de f. 
Resposta: k
z
fj
y
fi
x
ff
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ )( = (6xy3z + 5yz – 8xy2z2) i + (9x2y2z + 5xz – 8x2yz2) j 
 + (3x2y3 + 5xy – 8x2y2z) k 
 
Exercícios 
75) Dada a função f(x,y,z) = 8xy3z5 + 4(x+yz) – 2x2yz + 7, determine o campo vetorial 
gradiente de f. 
 Resposta: (8y3z5 + 4 – 4xyz) i + (24xy2z5+4z – 2x2z) j + (40xy3z4 + 4y –2x2y) k 
 
76) Encontrar o vetor gradiente da função f(x, y) = y – x2 no ponto (1, 0). 
 Resposta: -2 i + j 
77) Obter um vetor unitário normal à superfície de equação x2y + 2xz + 2y2z4 - 10 = 0 no 
ponto (2, 1, 0). 
 Resposta: ± 





3
1
,
3
2
,
3
1
 
 
78) Obter a equação do plano tangente à superfície 1232 =zxy no ponto (3, -2, 1). 
Resposta: 1893 =+− zyx 
79) Determine os vetores normais à superfície 222 =+ zyyx no ponto (1, 1, 1). 
Resposta: )
14
1
,
14
3
,
14
2(± 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 XIII Integral de linha no plano 
 Seja C uma curva no plano com as equações paramétricas: 
x = f(t), y = g(t), a t b≤ ≤ 
 Suponha M e N funções contínuas de duas variáveis cujos domínios contêm a 
curva C. Então a integral de linha de M dx + N dy sobre C é dada por: 
 
[ ]
b
C a
M(x, y)dx + N(x, y)dy = M(f(t),g(t))f (t) + N(f(t),g(t))g (t) dt′ ′∫ ∫ 
ou de modo equivalente, na forma vetorial 
C C
Mdx + Ndy = F • dr∫ ∫
 
 
onde F = M(x,y)i + N(x,y)j , r = xi + yj, o ponto • denota o produto escalar e, 
portanto, dr = f (t)dt i + g (t)dt j′ ′ . 
 
 
 
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Exemplos: 
1) Calcular 2 2
C
(x - y)dx + (x + y )dy∫ em C è: 
i) o segmento de reta de (0,1) a (1,2). 
ii) O arco de parábola y = x2 + 1 de (0,1) a (1,2). 
Solução: 
i) A equação do segmento de reta ligando (0,1) a (1,2) no plano xy é y = x + 1 que 
na forma parametrizada é: 
x = t
0 t 1
y = t +1

≤ ≤

 
Então dx = dt e dy = dt. Daí: 
 
3
5)22()121(
]})1([)]1({[)()(
1
0
221
0
2
21
0
222
=+=++++−−=
++++−=++−
∫∫
∫∫
dtttdtttttt
dtttttdyyxdxyx
C
 
 
ii) Temos 2
x = t
C : 0 t 1
y = t +1

≤ ≤

 e dx = dt, dy = 2tdt 
1
2 2 2 2 2 2
C 0
1
5 3 2
0
(x - y)dx + (x + y )dy = {(t - t -1).1+ [t + (t +1) .2t}dt =
= (2t + 4t + 2t + 2t -1)dt = 2
∫ ∫
∫
 
Exercícios 
80) Calcular as seguintes integrais de linha: 
a) 2
C
xydx + x dy∫ onde C é o segmento retilíneo de (2,1) a (4,5). Resposta: 
170
3
 
b) 2
C
x ydx + (x - 2y)dy∫ onde C é o segmento de reta de (0,0) até (1,1) Resposta: 
1
-
4
 
c) 
C
ydx + (x + 2y)dy∫ onde C é a poligonal de (1,0) a (1,1) a (0,1). Resposta: 1 
d) 2
C
xy dx∫ em que C é o arco da parábola y = x
2
 de (0,0) a (2,4). Resposta: 32
3
 
 
81) Calcular 
C
(x - y)dx + xdy∫ ao longo da circunferência x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário 
uma única vez. Resposta: pi . 
82) Calcular dxyx
C
)3( 22 +∫ onde C é o quadrado de vértices (-2, -2), (2, -2), (2, 2) e (-2, 2) 
orientado no sentido anti-horário uma única vez. Resposta: 0 
 
 
 
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Exemplos 
 1) Calcular x z 2
C
I = e dx + xe dy + xsenpiy dz∫ ao longo da curva 
2 3x = t, y = t , z = t , 
0 t 1≤ ≤ . 
Solução: Temos 2dx = dt, dy = 2tdt, dz = 3t dt , então: 
 XIV Integral de linha no espaço; Trabalho 
 
 A definição dada em XIII se estende de maneira natural a integrais de linha sobre 
curvas no espaço. De fato, considere uma curva C definida pelas equações 
paramétricas: 
x = f(t), y = g(t), z = h(t), a t b≤ ≤ 
Se M, N e P funções de três variáveis contínuas numa região ⊂T R3, contendo 
C, então: 
 
C
C
M(x, y, z)dx + N(x, y, z)dy + P(x, y, z)dz =
= [M(f(t),g(t), h(t))f (t) + N(f(t),g(t), h(t))g (t) + P(f(t),g(t), h(t))h (t)]dt′ ′ ′
∫
∫
 
 
ou de modo equivalente, na forma vetorial 
 
 ∫∫ •=++
CC
drFdzPdyNdxM 
 
onde F = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k , r = xi + yj + zk e o ponto • denota o produto 
escalar. Portanto, kdtthjdttgidttfdr )(')(')(' ++= . 
 
 Se a cada ponto (x,y,z) do espaço associarmos um força F atuando em um 
objeto então 
C
F dr•∫ representa o trabalho total para deslocar o objeto ao longo de C. 
Analogamente se o ponto (x, y) for do plano. 
 
Observações ( válidas também para curvas planas) 
i) O valor da integral de linha não depende das equações paramétricas 
usadas, supondo que a orientação seja mantida; 
ii) O valor da integral de linha depende do sentido orientação da curva. Se 
–C denota a mesma curva no sentido oposto então: 
 
 ∫
−
•
C
drF = -
C
F dr•∫ 
 
 isto é, integrar no sentido oposto muda o sinal da integral; 
iii) Se uma curva C é composta de um número finito de curvas regulares 
então a integral ao longo de C é a soma de seus valores ao longo das 
partes que formam C. 
 
 
 
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( )[ ] dttsentetedtttsenttete tttt )32(3)(2 4321
0
1
0
24 33 pipi ++=++ ∫∫ 
 
3
5
2
3
3
2
cos
4
3
3
2 1
0
43
−+=



−+=
pi
pi
pi
etee tt 
 
2) Calcular a integral de linha dyyxdxy
C
∫ ++ )2( onde C é: 
 (i) o arco de circunferência sentytx == ,cos no primeiro quadrante; 
 (ii) o segmento de reta de (1, 0) a (1, 1); 
 
Solução: 
 Ao longo da circunferência sentytx == ,cos , 
2
0 pi≤≤ t temos sentdx −= e 
tdy cos= e, portanto: 
 
 dyyxdxy
C
∫ ++ )2( = dttsenttdttsen cos)2(cos20
2 ++−∫
pi
 = 
 = dttsenttsent )cos2(cos2
0
22 +−∫
pi
 
2
0
2cos
2
12
2
1
pi




− ttsen = 1 
 
 Para integrar no segmento de (1, 0) a (1, 1), temos 1=x e 0=dx . Assim: 
 dyyxdxy
C
∫ ++ )2( = dyy)21(
1
0∫ + = [ ]102yy + = 2 
 
 Por conseguinte: 
 dyyxdxy
C
∫ ++ )2( = 1 + 2 = 3. 
 
 
3) Calcular o trabalho realizado ao se mover um objeto ao longo do segmento de 
reta de (1,1) a (2,4) sujeito à força F = (y - x)i + x2yj. 
 
Solução: 
 Uma parametrização de C é dada por x = 1 + t, y = 1 + 3t, 0 t 1≤ ≤ . Daí: 
=+−=• ∫∫
CC
dyyxdxxydrF 2)( dttttt }3.)31()1(1.)]1()31[({ 21
0
++++−+∫ 
 = dtttt )317219(1
0
23 +++∫ = 4
83
 
 
 
 
Exercícios 
83) Calcular a seguinte integral de linha
C
yzdx + xzdy + xydz∫ onde C é dada por x = t, y = t
2
 
z = t3, 0 t 2≤ ≤ . Resposta: 64 
 
 
 
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84) Calcular a integral de linha dzxydyxzdxyz
C
++∫ de (0,0,0) a (1,1,1) ao longo dos 
seguintes percursos C: 
 
 a) x =t, y = t2 z = t3 ; b) segmento de reta ligando (0,0,0) a (1,1,1) 
 c) segmentos de reta de (0,0,0) a (0,0,1), deste a (0,1,1) e deste a (1,1,1); 
 Respostas:: a) 1 ; b) 1; c) 1 
85) Sejam O (0,0), A (1,0) e B (1,1). Calcular dyyxdxyx
C
∫ ++− )()( 22 onde C é o 
perímetro do triângulo OAB , tomado no sentido anti-horário. Resposta: 1 
 
86) A força em um ponto (x, y, z) em 3 dimensões é F(x,y,z) = yi + 3j + xk. Determinar o 
trabalho realizado por F(x, y,z ) quando o seu ponto de aplicação desloca-se ao longo 
da curva x = t, y = t2 e z = t3 de (0,0,0) a (2,4,8). Resposta:: 
3
80
 
87) Determinar o trabalho realizado por F(x, y) = (x – y)i + xj quando o seu ponto de 
aplicação desloca-se ao longo da curva x = cos t, y = sen t , para t de 0 a 2pi . 
 Resposta:: 2pi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Se F é um campo de forças definido por 2 3 2 2F = (6xy - y )i + (6x y - 3xy )j 
XV Integral independente do caminho; campos conservativos 
 Um campo de vetores F para o qual existe uma função escalar f com 
derivadas parciais primeiras contínuas tal que em seu domínio R temos Ffgrad =)( é 
chamado campo conservativo em R. Neste caso, f é chamada função potencial em R 
para F e a integral independente do caminho, ou seja, depende apenas do integrando e 
dos pontos A e B, e não do caminho que liga A a B. 
Neste caso, se C é qualquer curva regular por partes contida em R, com pontos 
inicial A e final A e B, então: 
 
 )()(. AfBfdrf
C
−=∫ 
 Em particular se C é uma curva fechada então 0. =∫
C
drf . 
 Suponhamos que jNiMF += tem função potencial f num domínio R do 
plano. Podemos mostrar assim que, M N= .
y x
∂ ∂
∂ ∂
 Desta maneira, se 
y
M
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
a integral 
depende do caminho C considerado. 
 A recíproca deste fato não é verdadeira, em geral. Ela é verdadeira para 
domínios especiais de F, chamados domínios simplesmente conexos (regiões que não 
contêm “buracos”) . 
 
 
 
 
 
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i) Mostrar que F é conservativo. 
ii) Achar uma função potencial. 
iii) Calcular a integral de F de (1,0) a (1,1). 
Solução: 
Mostremos que existe uma função escalar ),( yxf tal que Fgradf = , isto é: 
j
y
fi
x
f
∂
∂
+
∂
∂
 = jxyyxiyxy )36()6( 2232 −+− 
de onde resulta o sistema: 
 
x
f
∂
∂
= 
326 yxy − ; 
y
f
∂
∂
= 
22 36 xyyx − 
 Integrando a primeira igualdade em relação a x , mantendo y constante, vem: 
 =),( yxf )(3 322 yxyyx ϕ+− 
 A partir dela calculamos
y
f
∂
∂
e comparamos com a expressão para 
y
f
∂
∂
 exposta acima: 
 
 )('36 22 yxyyx ϕ+− = 
y
f
∂
∂
 = 
22 36 xyyx − 
 Daí, 
y∂
∂ϕ
= 0 e, portanto, ϕ é uma função constante cy =)(ϕ . 
 Portanto, =),( yxf cxyyx +− 3223 e, assim, o campo é conservativo e 
=),( yxf 3223 xyyx − é uma função potencial para F. 
 Para calcular a integral procedemos: 
 ∫ −+−
C
jxyyxiyxy )36()6( 2232 = [ ] )1,1( )0,1(3223 xyyx − = 2 
 
2) Se F é o campo de forças : keyjexsenyixyF zz 222 2)2(cos +++= 
a) Mostrar que F é conservativo; 
b) Achar uma função potencial; 
c) Calcule ∫
C
drF. para C entre ( 0,1,
2
pi ) e ( 1,0,0 ). 
Solução: 
Mostremos que existe uma função escalar ),,( zyxf tal que Fgradf = , isto é: 
k
y
fj
y
fi
x
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 = keyjexsenyixy zz 222 2)2(cos +++ 
de onde resulta o sistema: 
 
 
 
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x
f
∂
∂
= xy cos2 ; 
y
f
∂
∂
=
zexseny 22 + ; 
y
f
∂
∂
= 
zey 22 
 Integrando a primeira equação em relação a x , mantendo y e z fixos, resulta: 
 =),,( zyxf ),(2 zyxseny ϕ+ 
 
 A partir dessa equação calculamos 
y
f
∂
∂
e comparamos com a expressão para 
y
f
∂
∂
 
exposta acima para obter: 
 
 =
∂
∂
+
y
senxy ϕ2 zexseny 22 + 
 Assim, 
y∂
∂ϕ
= 
ze2 e, portanto: 
 
 =),( zyϕ )(2 zey z ψ+ 
 
em que ψ depende somente de z . Por conseguinte, substituindo na expressão de 
),,( zyxf acima: 
 =),,( zyxf xseny 2 + )(2 zey z ψ+ 
 
 Derivando em relação a z e considerando a expressão de 
z
f
∂
∂
vem: 
 
z
f
∂
∂
= )(2 '2 zey z ψ+ = zey 22 
 
de onde segue que : 
 
 0)(' =zψ ou cz =)(ψ (constante) 
 
 Conseqüentemente: 
 =),,( zyxf xseny 2 + cey z +2 
define uma função potencial para F . 
 Existem infinitas funções potenciais pata F, uma para cada valor de C. 
 Agora: 
 ∫
C
drF. = [ ] 2)1,0,0(
)0,1,
2
(
22
=+ pi
zeyxseny 
Exercícios 
88) Se 3 2F = (2x + y )i + (3xy + 4)j mostrar que 
C
F • dr∫ é independente do caminho C, achar 
uma função potencial para F e calcular 
(2,3)
(0,1) F dr•∫ . 
 Resposta: ;432 cyxyxf +++= ∫ =•
C
drF 66 
 
 
 
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89) Se 2F = (2xy + 3)i + x j mostrar que 
C
F • dr∫ é independente do caminho C, achar uma 
função potencial para F e calcular 
(1,2)
(-1,1)
F • dr∫ . Resposta: xyxf 32 += ; ∫ =•
C
drF 7 
90) a) Mostrar que o campo F = yz i + xz j + xy k é conservativo e achar uma função 
potencial para ele. 
 b) Encontrar o trabalho realizado pela força F sobre o segmento de reta que liga o ponto 
(-1, 3 ,9) a ( 1, 6, -4). 
 Resposta: a) ;xyzf = b) 3 
91) Mostrar que o campo F = -3y i + cos y j não é conservativo. 
92) Mostrar que o campo F = (2x – 3)y i - z j + (cos z) k não é conservativo. 
 
93) a) Mostrar que o campo F = 2x i + 3y j + 4z k é conservativo e achar uma função 
potencial para ele. 
 b) Encontrar o trabalho realizado pela força F sobre o segmento de reta que liga o 
ponto (1, 0, -2) a ( 2, 2, 1). 
 Resposta: a) x2 + 
2
23 2
2
y
z+ , b) 3 
94) a) Mostrar que o campo F = y i + x j + 4 k é conservativo e achar uma função potencial 
para ele. 
 b) Encontrar o trabalho realizado pela força F sobre o segmento de reta que liga o 
ponto (1, 1, 1) a ( 2, 3, –1). Resposta: a) zxy 4+ b) –3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Usar o teorema de Green para calcular a integral de linha ∫ +
C
dyxydxy 42 onde 
C é a curva fechada consistindo do arco da parábola y = x2 desde a origem até o ponto (2,4) 
e do segmento de reta desde (2,4) até a origem. 
 
XVI Teorema de Green 
 Seja R uma região do plano xy contornada por uma curva fechada simples e 
regular por partes C. Suponhamos que M(x,y) e N(x,y) tenham derivadas parciais 
primeiras contínuas num disco aberto ⊂B R2 que contenha C e R. Então: 
 
 ∫ +
C
dyNdxM = dA
y
M
x
N
R
∫∫ 





∂
∂
−
∂
∂
 
 
 
 
onde usamos ∫
C
 para acentuar que C é fechada simples, orientada no sentido anti-
horário. 
 
 
 
30CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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 Solução 
[ ]
15
64)4(2)()4(4 42
0
2
22
0
22
0
222
22
=−===





∂
∂
−
∂
∂
=+ ∫∫∫ ∫∫∫∫ dxxxdxydxdyydAy
y
x
xydyxydxy
x
x
x
x
RCExercícios 
95) Verifique o Teorema de Green calculando ambos os membros da integral de XVI onde C 
é a circunferência tax cos= , tsenay = , ]2,0[ pi∈t para: 
 i) jxiyF +−= j ii) jxiyxF +−= )( j 
Respostas: i) 22 api ii) 22 api 
96) Use o Teorema de Green para calcular 
C
F • dr∫ : 
 a) jxyiyxF )()( −+−= ; C é o quadrado limitado por 0,1,0 === yxx e 1=y 
b) jyxixyF )()( 2222 ++−= ; C é triângulo limitado por xyxy === ,3,0 
c) jyiyxF 2+= ; C é a curva limitada por 2xy = e xy = no primeiro quadrante 
Respostas: a) 0 b) 9 c) 
12
1−
 
97) Usar o teorema de Green para calcular as integrais: 
 
 a) dyyxdxxy
C
)(2 22 ++∫ onde C é a elipse 2 24x + 9y = 36 . 
Observação: uma parametrização da elipse 
2 2
2 2
x y
+ = 1
a b
 no sentido anti-horário é x = a cost, y = b sent, 0 t 2pi≤ ≤ . 
 
 b) dyyarctgxdxye
C
x )()( 2 +++∫ onde C é a fronteira do retângulo de vértices 
(1,2), (5,2), (5,4) e (1,4). 
 
 c) dyydxy
C
)2ln(8 +−+−∫ ao longo do paralelogramo de vértices A(0,0), B(2,0), 
C(3,2) e D(1,2) no sentido horário. 
 
 d) dyxydxyx
C
22 )( ++∫ onde C é a curva fechada definida por xy =2 e xy −= de 
(0, 0) a (1, --1). 
 Respostas: a) 0 ; b) 40; c) 4; d) 
60
7−
 
 
 
 
31CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
 Prof. Edson de Oliveira 
 
98) Se R é uma região plana qualquer à qual se aplica o teorema de Green, mostrar que a 
área de R é dada pela fórmula ∫ +−=
C
dyxdxyA
2
1
. 
 
99) Calcular a área da região dada, usando uma integral de linha. 
 a) Região delimitada pela curva C: x = cos3t, y = sen3t, 0 t 2pi≤ ≤ ; 
b) Elipse 
2 2
x y
+ = 1
4 9
 
 Respostas: a) 
8
3pi
; b) 6pi 
100) Seja lâmina homogênea de densidade k com a forma de uma região de área A, 
limitada por uma curva fechada simples regular por partes C. Usar o Teorema de Green 
para mostrar que o centróide ),( yx da lâmina tem coordenadas: 
 dyx
A
x
C
∫=
2
2
1
 dxy
A
y
C
∫=
2
2
1
; 
94) Usar o exercício 100 para determinar o centróide de uma região semicircular de raio b. 
Resposta: )
3
4
,0(
pi
b
 
 
 
3 Integral de Superfície; Teoremas de Gauss e Stokes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XVII Integral de Superfície 
 Seja S o gráfico de z = g(x, y) onde S tem projeção R, sobre um plano coordenado, 
do mesmo tipo daquela considerada para integrais duplas. Suponhamos g dotada de 
derivadas parciais primeiras contínuas em R e f(x, y, z) é contínua em toda uma região 
contendo S. Então a integral de superfície de f(x, y, z ) sobre S, no caso em que a 
projeção R está no plano xy, é dada por : 
∫∫
S
dSzyxf ),,( = dA
y
z
x
zyxgyxf
R
∫∫ 





∂
∂
+





∂
∂
+
22
1)),(,,( . 
 
Observações: 
1. Se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) a fórmula se reduz àquela dada em VI e o 
valor da integral representa a área de S. 
2. De maneira análoga definimos a integral de superfície de S dada por y = g(x, z) 
e R é a sua projeção no plano xz ou, se S é dada por x = h(y, z) e R é a sua 
projeção no plano yz. 
 
 
 
 
32CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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Exemplo: Calcular ∫∫
S
dSz onde S é a projeção do plano 4x + 4y + z = 8 no primeiro 
octante. 
 
 Solução: 
 
 
 
3
3332)44(33
2
4)48(33
)448(33)4()4(1)448(
4
0
24
0
2
0
2
4
0
2
0
22
=+−=





−−=
−−=−+−+−−=
∫∫
∫ ∫∫∫∫∫
−
−
dxxxdxyyx
dxdyyxdAyxdSz
x
x
RS
 
Exercícios 
102) Calcule ∫∫
S
dSzyx onde S é a face superior do cubo cortado no primeiro octante 
pelos planos 1,1 == yx e 1=z . 
Resposta: 
4
1
 
103) Calcule ∫∫ ++
S
dSzyx )( onde S é a porção do plano 222 =++ zyx no primeiro 
octante. 
Resposta: 2 
104) Calcular dS
yxS
∫∫
++ 221
1
 onde S é a superfície dada por yxz = , 
,0≥x 1,0 ≤+≥ yxy e 0≥z . 
Resposta: 
2
1
 
105) Calcular dSzx
S
∫∫
2 onde S é a porção do cone 222 yxz += entre os planos 1=z e 
4=z . 
Resposta: pi
5
21023
 
 
106) Seja S a parte do gráfico de 224 yxz −−= tal que 0≥z . Calcule dS
yx
z
S
∫∫
++ 144 22
. 
Resposta: pi8 
z = g(x,y) = 8 – 4x – 4y; 
z
= -4
x
∂
∂
, 
z
= -4
y
∂
∂
 e f(x,y,z) = z 
 
 
 
33CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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107) Expresse a integral de superfície (não precisa calculá-la) como uma integral iterada 
usando uma projeção de S sobre: i) o plano yz; ii) o plano xz. 
 a) dSzyx
S
32
∫∫ ; S a parte no primeiro octante do plano de 12432 =++ zyx 
 b) dSzyx
S
∫∫ +− )2( 2 ; S a parte do gráfico de 84 =+ yx delimitado pelos planos 
coordenados e pelo plano 6=z . 
Respostas: a) 
 i) ( ) dydzzyyy∫ ∫
−






−−
4
0
4
312
0
32 29
2
14312
12
1
 ii) ( ) dzdxzzxxx∫ ∫ − 









−−
3
0
26
0
3
2
29
3
14212(
3
1
 
b) 
i) dydzzyy∫ ∫ 











++−
8
0
6
0
2 17
4
1
16
134
12
1
 ii) [ ] dxdxzxx∫ ∫ +−−20 60 2 17)8(2 
 
 
108) (Massa e centro de massa) Suponhamos que S represente a lâmina e que o campo 
escalar ),,( zyxf represente a densidade (massa por unidade de área) no ponto 
).,,( zyx Então, a massa m da lâmina e o centro de massa ),,( zyx são dados por: 
 
∫∫=
S
dSzyxfm ),,( , ∫∫=
S
dSzyxfxxm ),,( , ∫∫=
S
dSzyxfyym ),,( , ∫∫=
S
dSzyxfzzm ),,( 
 Encontrar o centróide da porção da esfera 2222 rzyx =++ no primeiro octante. 
 Resposta: )
2
,
2
,
2
( rrr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XVIII Orientação; Integral de superfície para fluxo 
 Se S é uma superfície no espaço seja n um vetor unitário normal a S no ponto 
P(x, y, z). Supomos que, como o ponto P desloca-se sobre S, o vetor n varia de modo 
contínuo. Quando S tem tal normal dizemos que S é superfície orientável. Uma vez 
escolhido n , dizemos que orientamos a superfície S e chamamos esta, juntamente com 
seu campo normal, de superfície orientada. 
A maior parte das superfícies usuais, como esferas, elipsóides, parabolóides e 
planos, é orientável . 
 Seja S uma superfície orientável dada na forma implícita G(x, y, z) = 0. Então S 
pode ser orientada por um dos vetores gradientes grad G(x,y,z) ou - grad G(x,y,z). 
 Para uma superfície orientável S dada por z = g(x, y) tomamos G(x,y) = z – 
g(x,y). Então S pode ser orientada por qualquer um dos dois vetores normais unitários: 
 
2 2
1
|| || 1
x y
x y
g i g jgrad G
n
grad G g g
− − +
= =
+ +
 ou 
2 2
1
|| || 1
x y
x y
g i g jgrad G
n
grad G g g
+ −
−
= =
+ +
 
 Seja F um campo vetorial contínuo sobre uma superfície orientada S. O fluxo de 
um campo vetorial F ao longo de uma superfície orientada S na direção n é: 
 Fluxo de F através de S = ∫∫ •
S
dSnF 
 
 
 
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ExemploSeja S a porção do parabolóide de z = 9 – x2 – y2, tal que z 0≥ . Determinar o 
fluxo de F através de S na direção da normal n que faz um ângulo agudo com o eixo z, dado 
que F(x,y,z) = 3xi + 3yj + k. 
 
 
 
 
 
 Solução 
 Escrevendo a equação da superfície na forma G(x,y,z) = x2 + y2 + z – 9 = 0 o vetor 
unitário normal a S, fazendo um ângulo agudo com o eixo z é: 
222
zyx
zyx
GGG
kGjGiG
n
++
++
= 
144
22
22 ++
++
=
yx
kjyix
 
 
 Observe que n faz um ângulo agudo com o eixo z visto que a coordenada de k é 
positiva. 
 Então o fluxo através de S é: 
 fluxo = ∫∫ •
S
dSnF dS
yx
zyx
S
∫∫
++
++
=
144
66
22
22
 dAyx
yx
zyx
R
144
144
66 22
22
22
++
++
++
= ∫∫ 
 dAyx
R
∫∫ ++= )955( 22 
Como 
0 θ 2pi
R : então
0 r 3
≤ ≤
 ≤ ≤
 
2pi 3
2
0 0
567pifluxo = r(5r + 9)drdθ =
2∫ ∫
. 
 
 
Exercícios 
109) Encontrar o fluxo de F = x3 i + xy j + z k através da superfície S, porção do plano 
z = x + 2y + 1 acima da região R delimitada por 20,10 ≤≤≤≤ yx , no plano xy e n 
é o vetor unitário normal que forma um ângulo agudo com o eixo z. 
Resposta: 
2
9
 
110) Encontrar o fluxo de F = yzj + z2k na direção da normal que faz um ângulo agudo com o 
eixo z, através da superfície S cortada pelo cilindro y2 + z2 = 1, z 0≥ e pelos planos 
x = 0 e x = 1. 
 Resposta: 2 
 
 
 
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111) Calcule o fluxo do campo F = z2 i + x j – 3z k através da superfície cortada do cilindro 
parabólico 24 yz −= e pelos planos 0,1,0 === zxx , na direção que a normal faz 
um ângulo agudo com o eixo z. 
Resposta: -32 
 
112) Calcule o fluxo exterior (normal apontando para fora) do campo F = 2xy i + 2yz j + 2xz k 
 ao longo da superfície do cubo cortado no primeiro octante pelos planos x =a, y = a, 
z = a. 
Resposta: 3 a2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Dado o campo vetorial F = x2yzi + (xy + z)j + yz2k encontrar div F e rot F. 
2 2(x yz) (xy + z) (yz )divF = + + = 2xyz + x + 2yz
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
kzxyjyxiz
yzzxyyzx
zyx
kji
Frot )()1( 222
22
−++−=
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= 
 
Exercícios 
113) Dado o campo F = 3xyz2 i + y2 senz j + xe2z k obter div F e rot F 
 Resposta: div F = 3yz2 + 2y sen z + 2xe2z , rot F = -y2 cos z i + (6 xyz – e2z)j – 3xz3 k 
 
 IXX Divergente e rotacional 
 
 Seja F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k uma função vetorial onde M, N e P 
têm derivadas parciais em alguma região. 
 O divergente de F, denotado por div F é definido como o campo escalar: 
 
M N PdivF = + +
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 O rotacional de F, denotado por rot F é definido como o campo vetorial: 
 
i j k
P N M P N M
rotF = = - i + - j + - k
x y z y z z x x y
M N P
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
 
 
Propriedades 
i) rot grad F = 0 ii) div rot F = 0 
 
 
 
 
36CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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114) Idem para o campo F = x2z i + y2x j + ( y + 2z) k. 
 Resposta: div F = 2xz + 2yz + 2, rot F = I + x2j + y2k 
115) Dado o campo kzyjzyxizxyF 23242 )2( +++= encontrar div F e rot F. 
 Resposta: rot F = kxyzxyjzxyizy )24(4)13( 43222 −++− ; div F = zyxzy 3242 22 ++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Seja F = (2x - z)i + x2yj + xz2k e S a superfície do cubo Q delimitado pelos planos 
x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1. Encontrar o fluxo através de S na direção da normal 
exterior usando o teorema da divergência. 
 
1 1 1
2
S Q 0 0 0
17fluxo = F • ndS = divF dv = (2 + x + 2xz)dxdydz =
6∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
 
 
Exercícios 
116) Calcular 
S
F nds•∫∫ onde F= xi + yj + zk onde n é a normal unitária exterior e S a 
superfície da esfera x2 + y2 + z2 = a2. Resposta: 34 api 
 
 XX Teorema da Divergência 
 
Seja Q um sólido limitado por uma superfície fechada e orientada por um vetor 
normal n apontando para fora de Q. Uma superfície S é fechada no sentido de que ela 
possui seus pontos de fronteira. Esferas, elipsóides, cubos, tetraedros ou algumas 
combinações dessas superfícies são exemplos de superfícies fechadas. 
Se F é um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais primeiras 
em Q contínuas então: 
S Q
F • nds = divF dv∫∫ ∫∫∫ 
 
 
 
 
37CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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117) Seja Q a região delimitada pelos gráficos de x2 + y2 = 4, z = 0 e z = 3. Seja S a 
superfície de Q e n o vetor unitário de uma normal exterior a S. Se F = x3i + y3j+z3k 
usar o teorema da divergência para calcular
S
F nds•∫∫ . Resposta: 180pi 
118) Calcular 
S
F nds•∫∫ onde F = (z2 – x) i – xy j + 3z k e S é a superfície que define o 
domínio limitado por z = 4 – y2, x = 0, x = 3 e pelo plano xy e n é a normal exterior. 
 Resposta: 16 
119) Usando o Teorema da Divergência calcule 
S
F nds•∫∫ onde F = (2x – z) i + x2 j – xz2 k 
e S é a superfície do cubo limitado pelos planos x = 1, y = 1, z = 1. 
Resposta: 
2
3
 
120) Use o Teorema da Divergência para obter o fluxo exterior de F através da superfície S: 
a) F = y i + xy j – z k; S a superfície do sólido delimitado pelo cilindro 422 ≤+ yx entre 
 o plano 0=z e o parabolóide 22 yxz += ; 
b) F = x2 i – 2xy j + 3xz k; S a superfície do sólido delimitado no primeiro octante pela 
esfera .4222 =++ zyx 
Respostas: a) pi8− b) pi3 
121) Obter o fluxo através de S onde F = kzjyxize x 322 ++− tomado no paralelepípedo 
retângulo limitado pelos planos coordenados e pelos gráficos de 1=x , 2=y , 3=z . 
Resposta: 60+18e-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 XXI Teorema de Stokes 
 Seja S uma superfície orientada cuja fronteira é uma curva C fechada, simples, 
regular e orientada no sentido anti-horário em relação ao vetor unitário normal n da 
superfície, ou seja quando um observador caminha ao longo de C no sentido anti-
horário, a sua cabeça deve estar no sentido apontado pelo vetor n. 
 
 
 
 Seja F um campo vetorial com derivadas parciais contínuas em uma região 
aberta contendo S então: 
 dSnFrotdrF
C S
•=•∫ ∫∫ (no plano este resultado é o Teorema de Green) 
 A integral de linha ∫ •
C
drF sobre a curva fechada C é chamada de circulação do 
campo vetorial F ao redor de C. Em particular, se F representa um campo de força, 
então a circulação de F ao redor de C é o trabalho realizado pela força F no transporte 
de uma partícula ao redor da curva fechada C. Logo, o teorema de Stokes diz: 
 A circulação de um campo vetorial ao redor do contorno de uma superfície no 
espaço xyz é igual ao fluxo do rotacional do campo através da superfície. 
 
 
 
 
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Exemplo 
 Seja S a parte do gráfico de z = 9 – x2 – y2 com z 0≥ e C o traço de S sobre o plano. 
Verificar o teorema de Stokes se F = 3zi+ 4xj + 2yk. 
 Devemos mostrar que as duas integrais, no teorema de Stokes, têm o mesmo valor.
 No exemplo sobre fluxo, página 33, obtivemos que 
 
2 2
2xi + 2yj + k
n =
4x + 4y +1
. 
Temos também que 
i j k
rotF = = 2i + 3j + 4k
x y z
3z 4x 2y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
. 
 Conseqüentemente: 
 
2 2
S S
4x + 6y + 4
rotF n dS = dS
4x + 4y +1
•∫∫ ∫∫ 
 Sendo 2 2z = 9 - x - y então 
22
2 2z z+ +1 = 4x + 4y +1
x y
 ∂ ∂ 
  ∂ ∂   
. 
 
 Daí: 
2 2
2 2
S R R
4x + 6y + 4
rotF n dS = M 4x + 4y +1 dA = (4x + 6y + 4) dA
4x + 4y +1
•∫∫ ∫∫ ∫∫ 
 A região R é um círculo de raio 3, centrado na origem; Assim R é descrita, em 
coordenadas polares, por 0 r 3≤ ≤ , 0 θ 2pi≤ ≤ e 
 
2pi 3
S 0 0
rotF n dS = (4rcosθ + 6rsenθ + 4)rdrdθ = 36pi•∫∫ ∫ ∫ 
 Por outro lado, uma parametrização da curva C ( circunferência centrada na origem, 
de raio 3 e situada no plano xy) é dada por: 
 
 x = 3 cos t, y = 3 sen t, z = 0, 0 t 2pi≤ ≤ 
 
 Logo: 
 dx = -3 sen t, dy = 3cos t e dz = 0. 
 Portanto: 
 ∫ •
C
drF = 
2pi
0
[3.0(-3sen t) + 4.(3cos t) (3cos t) + 2.(3sen t).0]dt∫ = 
 = 36
2
2
0
cos t dt
pi
∫ = 36 ( )
2pi2pi
00
1 1 sen 2t1+ cos 2t dt = 36× t +
2 2 2
 
  
∫ = 36pi 
 
 
 
39CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
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Exercícios 
122) Verificar o teorema de Stokes para 2F = 3yi - xzj + yz k onde S é a superfície do 
parabolóide 2z = x2 + y2 limitado por z = 2 e C é o seu contorno. 
 Resposta: - 20 pi 
123) Verificar o teorema de Stokes para 2F 2yi 3xj z k= + − onde S é a superfície da 
metade superior da esfera x2 + y2 + z2 = 9 e C é o seu contorno. 
Resposta:9pi 
 
124) Usar o teorema de Stokes para calcular ∫ •
C
drF se F = xz i + xy j + 3xz k e C for a 
borda da porção do plano 2x + y + z = 2 no primeiro octante. 
Resposta: -1 
 
125) Se F = (3z – sen x)i + (x2 + ey) j + (y3 – cos z) k, usar o Teorema de Stokes para 
calcular ∫ •
C
drF onde C é a curva x = cos t, y = sen t, z = 1, ≤ θ ≤ pi0 2 . 
 Resposta 0 
126) Se F = 2yi + ez j – arc tg x k, usar o Teorema de Stokes para calcular ∫ •
C
dSnFrot 
onde S é a parte do parabolóide z = 4 – x2 – y2 interceptada pelo plano xy . 
 Resposta -8pi 
 
127) Se F = xkzjyi ++ e S é o hemisfério 1222 =++ zyx , 0≥z e n é o vetor unitário 
cuja componente é k é não negativa, utilizar o Teorema de Stokes para calcular o 
fluxo ∫ •
C
dSnFrot . 
 Resposta: -pi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 XXII Campo conservativo e o Teorema de Stokes 
 Uma região D é simplesmente conexa se toda curva fechada simples C em D for 
fronteira de uma superfície em D que verifique as condições do Teorema de Stokes (isto 
é, D não tem “buracos”). Por exemplo, a região interior de uma esfera ou de um 
paralelepípedo é simplesmente conexa. Já a região interior de um toro (uma superfície 
em forma de uma câmara de ar) não é simplesmente conexa. 
 Com estas restrições enunciamos o seguinte resultado: 
 
 Teorema Se F(x, y, z) tem derivadas parciais contínuas em toda uma região 
simplesmente conexa D então rot F = 0 se e somente se ∫ =•
C
drF 0 para toda curva 
fechada simples C em D. 
 
 Conseqüência Se D é simplesmente conexa então: 
 ∫ •
C
drF independe de C ⇔ rot F = 0 
ou seja, ∫ •
C
drF idepende de C ⇔ rot F ≠ 0 
 
 
 
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Exemplo 
 Mostre que kzjxyiyxF 222 32)3( −++= é um campo conservativo. 
 0)22(00()00(
323 222
=−+−+−=
−+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= kyyji
zxyyx
zyx
kji
Frot 
Logo F é conservativo. 
Exercícios 
128) a) Mostre que kyzxjzyxiyxzF )3()26()62( 2223 −+−++= é um campo 
conservativo. 
 b) Calcule ∫ •
C
drF onde C é qualquer caminho de (1, -1, 2) a (2, 1, -1). Resposta: 15 
129) a) Mostre que kyjzxizxyF 4)4()2( 2 −−++= é um campo conservativo. 
 b) Calcule ∫ •
C
drF onde C é qualquer caminho de (3, -1, 1) a (2, 1, -1). Resposta: 6 
130) Considere o campo vetorial kxyzxjzyxiyxzF )3()()( 232 −+++−= . Verifique se 
existe uma função escalar f tal que F = grad f . Resposta: Não, pois rot F ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 XXIII Superfícies na forma parametrizada 
 Uma superfície parametrizada é uma função com dois parâmetros u e v: 
r = r(u, v) = f(u, v) i + g(u, v) j + h(u , v) k, (u , v) ∈ D⊂ R2 
 As equações x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u , v), (u , v) ∈ D ⊂ R2 são as 
equações paramétricas de superfície, supostas contínuas em D. 
 Seja S na forma parametrizada e seja (u0, v0) ∈ D. Um vetor normal n no ponto 
(x0, y0, z0) = (f(u0, v0), g(u0, v0,h(u0, v0)) é dado por: 
 
∂ ∂ ∂
= × =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
u v
i j k
x y z
n r r
u u u
x y z
v v v
 
 
 Seja S uma superfície parametrizada dada por: 
r = r(u, v) = f(u, v) i + g(u, v) j + h(u , v) k, 
Se f, g, h têm derivadas parciais primeiras contínuas numa região D do plano uv, então: 
 dvdurrvuhvugvufFdSzyxF vu
RS
||)),(),,(),,((),,( ×= ∫∫∫∫ 
 Particularmente: área de S = dvdurrdS vu
RS
|| ×= ∫∫∫∫ 
 
 
 
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Exemplos 
 1) r(u, v) = 3 cos u i + 3 sen u j + v k, ≤ ≤ pi ≤ ≤0 u 2 , 0 v 4 . 
 Como x = 3 cos u e y = 3 sen u então x2 + y2 = 9, isto significa que cada seção reta 
de S, paralela ao plano xy, é uma circunferência de raio 3 centrada no eixo z. Como z = v 
onde ≤ ≤0 v 4 a superfície é um cilindro circular reto de altura 4. 
 
 
 2) Seja r(u, v) = sen u cos v i + sen u sen v j + cos u k, ≤ ≤ pi ≤ ≤ pi0 u , 0 v 2 . 
 Como x2 + y2 + z2 = (sen u cos v)2 + (sen u sen v)2 + cos2 u = 1, a superfície é uma 
esfera centrada na origem, de raio 1 
 
 3) Dado r(u, v) = u i + v j + (u2 + v2) k 
∂ ∂ ∂
= × =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
u v
i j k
x y z
n r r
u u u
x y z
v v v
 = 
i j k
1 0 2u
0 1 2v
 = - 2u i – 2v j + k 
 Portanto, n = - 2u i – 2v j + k é um vetor normal à superfície em cada ponto. 
 
 4) Calcular a área da superfície S : 
 r(u, v) = sen u cos v i + sen u sen v j + cos u k, ≤ ≤ pi ≤ ≤ pi0 u , 0 v 2 . 
 Solução 
 ru = cos u cos v i + cos u sen v j - sen u k 
 rv = -sen u sen v i + sen u cos v j 
u v
2 2
i j k
n = r × r = cosu cosv cosu senv -senu =
-senu senv senu cosv 0
= sen u cosvi + sen u senv j + senu cosu k = senu
 
 Observemos que sen ≥ 0 para 0 u pi≤ ≤ . Então: 
Área de S = || ||u v
S D
dS r r dA= ×∫∫ ∫∫ = 
2 2
0 0 0
2 4senu du dv dv
pi pi pi
pi= =∫ ∫ ∫ 
 
 
 
42CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA 
 Prof. Edson de Oliveira 
 
131) Encontrar a área da superfície S do cone r(u, v) = (u cos v) i + (u sen v) j + u k , 
0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2pi . 
Resposta: 2pi 
132) Mostrar que a área da superfície de uma esfera de raio a é dada por 24 api . 
 [Sugestão: uma parametrização da esfera é: 
 ( cos ) ( s ) ( cos )r a sen i a sen