AULA 10 FUND MAT

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Relatório - Plano de Aula
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
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		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 10
	TEMA
	Função de Segundo Grau
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	
1. MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO
Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor máximo se, e somente se, existe xmax, xmax D ( f ), tal que: f (xmax) f (x), x, x D ( f ).
O número f (xmax) é chamado de valor máximo da função f .
O número xmax é chamado de ponto de máximo da função f.
Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor mínimo se, e somente se, existe xmin, xmin D ( f ), tal que: f (xmin) f (x), x, x D ( f ).
O número f (xmin) é chamado de valor mínimo da função f .
O número xmin é chamado de ponto de mínimo da função f.
2. CONCEITO DE MÁXIMO E MÍNIMO APLICADO À FUNÇÃO DO 2O GRAU
Seja f : R R tal que f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} R e a 0.
f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. Seu valor de máximo é yv = e seu ponto de máximo é xv = .
f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. Seu valor de mínimo é yv = e seu ponto de mínimo é xv =.
Note que estes pontos de mínimo e máximo correspondem respectivamente aos vértices, quando a > 0 (mínimo) ou a < 0 (máximo).
Resumo:
	a < 0
	a > 0
	
	
Exemplo:
Determine o valor mínimo e o ponto de mínimo da função y = 2x2 + 2x + 1.
O valor mínimo é yv = , com = b2 – 4ac. Para a função em questão, a = 2, b = 2 e c = 1. Então, = 22 – 4 x 2 x 1 = – 4. Logo yv = yv = .
O ponto de mínimo é xv = . Para a função em questão, a = 2, b = 2 e c = 1. Então, xv = xv = – .
3. VARIAÇÃO DE SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 2O GRAU
De um modo geral, a discussão da variação de sinal de uma função do 2o grau, f (x) = ax2 + bx + c, recairá sempre em um dos seguintes casos:
Exemplo:
Dada a função do 2o grau y = 2x2 – x – 1, obtemos os pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Ox, atribuindo o valor zero à variável y e resolvendo a equação 2x2 – x – 1 = 0.
Calculando primeiro o valor de , temos: = b2 – 4ac = (-1)2 – 4 2 (-1) = 9.
Como > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e (x2, 0), onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos:
x = x = x1 = 1, x2 = – 
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para cima. O valor da função será negativo para o intervalo do domínio ] -1/2, 1[ e positivo, para ] - , - 1/2[ ] 1, + [.
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	
1. MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO
Definir a noção de máximo e minimo de uma função de modo geral, sempre utilizando gráficos para melhor visualização.
2. MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU
A seguir, introduzir a noção de maximo e minimo de uma função exponencial, atentando para relação entre o maximo e minimo e o vertice da função quadrática. A visualização do maximo/minimo em alguns gráficos é essencial, para a seguir, se propor aplicações.
 
3. VARIAÇÃO DE SINAL DE FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU
O estudo da variação do sinal de função de segundo grau deve ser feito, não só em termos puramente algébricos, mas também utilizando o esboço do gráfico da função quadrática. É importante o aluno perceber o que significa estudar a variação do sinal, por isso esboço do gráfico é importante para efeito de visualização. 
4. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO DE MAXIMOS E MINIMOS
O ponto alto da aula deve ser os problemas de aplicação envolvendo a determinação de máximos e mínimos. É interessante que se proponha aplicações em diversas áreas de conhecimento, sempre que possível utilizando o gráfico para melhor visualização. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente a função de segundo grau no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros disponíveis.
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	1. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
2. (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades E) 4 unidades
3. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.
a) f(x) = x2 – 4x + 3 
b) f(x) = – x2 – x + 2 
c) f(x) = 4x2 + 4x + 1
4. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:
a) mínimo igual a –16, para x = 6 
b) mínimo igual a 16, para x = -12 
c) máximo igual a 56, para x = 6 
d) máximo igual a 72, para x = 12 
e) máximo igual a 240, para x = 20.
5. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é:
a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79
6. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados é:
a) A(x) = -x2 + 25x para x 0 
b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25
c) A(x) = -3x2 + 50x para x 0 
d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3
7. (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?
8. (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo. 
b) a altura máxima atingida pela bola.
	AVALIAÇÃO
	SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS
1. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Resolução. 
.
2. (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades E) 4 unidades
Resolução. 
L(x) = 2x2 + x – (3x2 – 15x + 21) = 2x2 + x – 3x2 + 15x – 21 = – x2 + 16x – 21. 
. 
3. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.
a) f(x) = x2 – 4x + 3 
b) f(x) = – x2 – x + 2 
c) f(x) = 4x2 + 4x + 1
Resolução. 
a) .
b) .
c) .
 
4. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:
a) mínimo igual a –16, para x = 6 
b) mínimo igual a 16, para x = -12 
c) máximo igual a 56, para x = 6 
d) máximo igual a 72, para x = 12 
e) máximo igual a 240, para x = 20.
Resolução. 
.
5. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é:
a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79Resolução. 
.
6. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados é:
a) A(x) = -x2 + 25x para x 0 
b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25
c) A(x) = -3x2 + 50x para x 0 
d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3
Resolução. 
Área do terreno: A = x.y 
Perímetro utilizando a fórmula 2P = 2x + 2y. 
A corda de comprimento 50m corresponde a esse perímetro. 
2x + 2y = 50 => x + y = 25. 
A(x) = x.y e y = 25 – x. 
A(x) = x.(25 – x) = – x2 + 25x. 
O valor de y não pode ser 25, pois nesse caso x = 0, nem negativo, pois é dimensão. 
Logo, 25 – x > 0 => 25 > x ou x < 25. E x > 0.
7. (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?
Resolução. 
Temos três dimensões restantes, duas de mesma medida. 
A tela cercará a medida da soma (x + x + y). 
A área será A = xy. 
.
8. (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo. 
Resolução. 
O instante em que a bola retorna é o tempo em que ficou no ar. 
O tempo será o ponto onde o gráfico intersecta o eixo das abscissas (t): 
.
b) a altura máxima atingida pela bola.
Resolução. 
.
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.
-/4a
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