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Complementos de Matemática Aplicada — 2016/01 Lista de exercícios 3 (Maio de 2016) 1. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções. (a) y = 1 2 (ex + e−x) (b) y = x2ex (c) y = x2e−x2 (d) y = xe + ex (e) y = (x3 − 2x+ 5)ex2+2x+1 (f) y = e1/x2 + 1/ex2 Dica: Lembre que 1/x2 = x−2 e que 1/ex2 = e−x2 . (g) y = e x5+2x−1 e2x Dica: Simplifique antes de calcular y′. (h) y = e x5+2x−1 e2x + 1 2. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções. Sugestão: Quando possível, use as propriedades do logaritmo para simplificar antes de derivar (ver o item (a), por exemplo). (a) y = ln(x √ x2 + 1) = lnx+ 1 2 ln(x2 + 1) (b) y = ln √ x− 1 x+ 1 (c) y = 3 ln x4 (d) y = ln 1 x (e) y = ln 412x (f) y = ln[(3x− 7)4(2x+ 5)3] (g) y = e3x ln(2x+ 1) Os exercícios abaixo referem-se ao livro de L. D. Hoffmann e G. L. Bradley (Cálculo: um curso moderno e suas aplicações, décima edição, ltc, 2010). Seção 2.4: 1, 3, 5, 13, 15, exercícios 21 a 42 (faça tantos quantos quiser/puder), 43, 45, 51, 53, 78(a). Observação: Os exercícios 21 a 42 são altamente recomendados! Seção 4.3: Exercícios 1 a 38 (faça tantos quantos quiser/puder), 47, 49, 53, 55, 57, 59. Para uma revisão das propriedades algébricas das funções exponencial e logaritmo, veja também os exercícios das seções 4.1 e 4.2 do livro de Hoffmann e Bradley. 1 Respostas: 1. (a) y′ = (ex − e−x)/2 (b) y′ = 2xex + x2ex (c) y′ = 2xe−x2 − 2x3e−x2 (d) y′ = exe−1 + ex (e) y′ = (2x4 + 2x3 − x2 + 6x+ 8)ex2+2x+1 (f) y′ = −2e 1/x2 x3 − 2xe−x2 (g) y′ = 5x4ex5−1 (h) y′ = (5x 4 + 2)ex 5+2x−1 · (e2x + 1)− ex5+2x−1 · 2e2x (e2x + 1)2 = 5x4e2x + 5x4 + 2 (e2x + 1)2 ex 5+2x−1 2. (a) y′ = 1 x + x x2 + 1 (b) y′ = 1 2(x− 1) − 1 2(x+ 1) (c) y′ = 12/x (d) y′ = −1/x (e) y′ = 1/x Curioso, não? As funções lnx e ln 412x têm a mesma derivada. Como você explica ou interpreta este fato? (f) y′ = 12 3x− 7 + 6 2x+ 5 (g) y′ = 3e3x ln(2x+ 1) + 2e 3x 2x+ 1 2
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