Metodo para esboço Gráfico

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GRÁFICOS
1.1 MÉTODO PARA O ESBOÇO DE GRÁFICOS
Nessa seção, vamos apresentar um método para o esboço do gráfico de fun-
ções cuja segunda derivada é contínua na reta toda. Cada etapa será ilustrada
aplicando o método à seguinte função
f (x)=−xe−x
Para determinar o esboço do gráfico nos intervalos onde f , f ′ e f ′′ não mu-
dam de sinal, vamos utilizar a tabela dada pela Figura 1.1, obtida conside-
rando a posição em relação ao eixo das abscissas, o crescimento e a concavi-
dade.
(1) Determine os limites de f no infinito:
H− = lim
x→−∞
f (x) e H+ = lim
x→∞
f (x)
No nosso exemplo, temos que
H− =∞ e H+ = 0
i
ii Capítulo 1. Gráficos
Figura 1.1: Possibilidades de sinais e esboços de gráficos
(2) Obtenha as expressões de
f ′ (x) e f ′′ (x)
No nosso exemplo, temos que
f ′(x)= (x−1)e−x e f ′′(x)= (2−x)e−x
(3) Obtenha os seguintes pontos notáveis de f :
Raízes: f (r ) = 0
Críticos: f ′(c) = 0
Degenerados: f ′′(d) = 0
No nosso exemplo,
Raízes: −re−r = 0, r = 0
Críticos: (c−1)e−c = 0, c = 1
Degenerados: (2−d)e−d = 0, d = 2
1.1. Método para o esboço de gráficos iii
(4) Determine o sinal de f , f ′, f ′′.
f : uma vez que f não muda de sinal entre duas raízes consecutivas,
basta determinar o sinal de f num ponto teste em cada intervalo
determinado pelas raízes. No nosso exemplo,
f (−1)= e > 0 e f (1)=−e−1 < 0
como ilustrado pela Figura 1.2.
Figura 1.2: Sinal de f
f ′ : uma vez que f ′ nãomuda de sinal entre dois pontos críticos conse-
cutivos, basta determinar o sinal de f ′ num ponto teste em cada in-
tervalo determinado pelos pontos críticos. No nosso exemplo,
f ′(0)=−1< 0 e f ′(2)= e−2 > 0
como ilustrado pela Figura 1.3.
Figura 1.3: Sinal de f ′
f ′′ : uma vez que f ′′ não muda de sinal entre dois pontos degenera-
dos consecutivos, basta determinar o sinal de f ′′ num ponto teste
emcada intervalo determinadopelos pontos degenerados. Nonosso
exemplo,
f ′′(0)= 2> 0 e f ′(3)=−e−3 < 0
como ilustrado pela Figura 1.4.
iv Capítulo 1. Gráficos
Figura 1.4: Sinal de f ′′
(5) Alinhe uma acima da outra as informações sobre os sinais de f , f ′ e f ′′,
obtidas no item anterior,mantendo apenas os pontos notáveis e traçando
sobre cada um deles uma reta vertical. Nas colunas determinadas pelas
retas verticais, coloque sobre cada linha os sinais de f , f ′ e f ′′. No nosso
exemplo, obtemos a seguinte tabela, ilustrada pela Figura 1.5.
Figura 1.5: Sinais de f , f ′ e f ′′
(6) Trace o eixo das abscissas marcando simultaneamente todos os pontos
notáveis obtidos no item (3) e também os limitesH− e H+ obtido no item
(1). Entre cada intervalo determinado pelos pontos notáveis, utilize as in-
formações sobre os sinais em cada coluna da tabela do item (5) para de-
terminar o esboço do gráfico naquele intervalo, de acordo com as possibi-
lidades dadas pela Figura 1.1, obtida considerando a posição em relação
ao eixo das abscissas, o crescimento e a concavidade. No nosso exemplo,
obtemos o seguinte diagrama, ilustrado pela Figura 1.6.
1.1. Método para o esboço de gráficos v
Figura 1.6: Diagrama para o esboço do gráfico de f
(7) Abaixo do diagrama do item anterior, trace um novo eixo das abscissas
com todos os pontos notáveis. Com um traçado contínuo, junte os peda-
ços do gráfico obtidos no item anterior, com os seguintes cuidados:
• as pontas dos pedaços devem ser movimentadas para cima ou para
baixo, sem cruzar o eixo das abscissas e semmudar o crescimento e
a concavidade, de modo a se unirem suavemente (sem bicos),
• o gráfico deve cruzar o eixo das abscissas exatamente nas raízes,
• o gráfico deve possuir reta tangente horizontal exatamente em cima
dos pontos críticos,
• quando H− é finito, a reta assíntota horizontal y = H− deve ser de-
senhada no último intervalo à esquerda. O gráfico deve se aproxi-
mar por cima dessa reta, quando a concavidade for pra cima, ou por
baixo dessa reta, quando a concavidade for pra baixo.
• quando H+ é finito, a reta assíntota horizontal y = H+ deve ser de-
senhada no último intervalo à direita. O gráfico deve se aproximar
por cima dessa reta, quando a concavidade for pra cima, ou por
baixo dessa reta, quando a concavidade for pra baixo.
É conveniente assinalar os pontos críticos desenhando uma segmento de
reta tangente horizontal no respectivo ponto do gráfico. No nosso exem-
plo, obtemos o esboço do gráfico de f ilustrado pela Figura 1.7.
Observamos que esse método funciona para esboçar o gráfico de funções
que tem um número finito de pontos notáveis.
vi Capítulo 1. Gráficos
Figura 1.7: Esboço do gráfico de f
FUNÇÕES COM ASSÍNTOTAS VERTICAIS
Vamos agora ampliar ométodopara o esboço do gráfico de funções, incluindo
funções que possuam assíntotas verticais. Devemos levar em consideração as
seguintes modificações.
(A) No item (3) do método, acrescente aos pontos notáveis, os pontos verti-
cais.
(B) No item (4) do método, como f , f ′ e f ′′ não são contínuas nos pontos
verticais, elas podemmudar de sinal nesses pontos. Portanto acrescente
os pontos verticais aos respectivos pontos (ou raízes, ou críticos, ou de-
generados) que determinamos intervalos onde cada uma dessas funções
mantém o seu sinal.
(C) No item (7) dométodo, em cada ponto vertical v desenhe a reta assíntota
vertical x = v . O gráfico deve se aproximar dessa reta para cima (mais infi-
nito), quando a concavidade for pra cima, ou para baixo (menos infinito),
quando a concavidade for pra baixo.
Agora vamos aplicar o método à seguinte função
f (x)=
x
x+1
levando em conta as modificações acima.
1.1. Método para o esboço de gráficos vii
(1) Temos que
H− = 1 e H+ = 1
(2) Temos que
f ′(x)=
1
(x+1)2
e f ′′(x)=
−2
(x+1)3
(3) Temos que
Raízes:
r
r +1
= 0, r = 0
Críticos:
1
(c+1)2
= 0, não existe c
Degenerados:
−2
(d +1)3
= 0, não existe d
Verticais: v =−1
(4) Temos que
f :
f (−2)= 2> 0, f (−1/2)=−1< 0 e f (1)= 1/2> 0
como ilustrado pela Figura 1.8.
Figura 1.8: Sinal de f
f ′ :
f (−2)= 1> 0 e f (0)= 1> 0
como ilustrado pela Figura 1.9.
viii Capítulo 1. Gráficos
Figura 1.9: Sinal de f ′
f ′′ :
f (−2)= 2> 0 e f (0)=−2< 0
como ilustrado pela Figura 1.10.
Figura 1.10: Sinal de f ′′
(5) Obtemos a seguinte tabela, ilustrada pela Figura 1.11.
Figura 1.11: Sinais de f , f ′ e f ′′
1.1. Método para o esboço de gráficos ix
Figura 1.12: Diagrama para o esboço do gráfico de f
(6) Obtemos o seguinte diagrama, ilustrado pela Figura 1.12.
(7) O esboço do gráfico de f ilustrado pela Figura 1.13.
Figura 1.13: Esboço do gráfico de f
FUNÇÕES DEFINIDAS POR PEDAÇOS
Vamos agora completar o método para o esboço do gráfico de funções, in-
cluindo funções definidas por pedaços. Devemos levar em consideração as
x Capítulo 1. Gráficos
seguintes modificações.
(D) Aplique o método a cada expressão algébrica, restringindo a aplicação
do método ao respectivo domínio de definição. No nosso exemplo, te-
mos a expressão algébrica
x
x+1
no intervalo (−∞,0), e também a expressão
−xe−x
no intervalo [0,∞).
(E) Verifique se, em cada ponto m onde ocorre mudança na expressão al-
gébrica, s função f é contínua e derivável. No item (7) dométodo:
• Se f for descontínua emm, as pontas devem permanecer separa-
das. Uma bola fechada deve ser desenhada na ponta do pedaço
cuja expressão algébrica está definida em m. Uma bola aberta
deve ser desenhada na ponta do pedaço cuja expressão algébrica
não está definida emm.
• Se f for contínua, mas não for derivável emm, as pontas sobrem
devem ser unidas formando um bico.
• Se f for derivável emm, as pontas sobrem devem ser unidas sua-
vemente.
Agora vamos aplicar o método à seguinte função
f (x)=


x
x+1
, x < 0
−xe−x , x ≥ 0
levando em conta as modificaçõesacima. O único ponto onde f muda de
expressão algébrica ém = 0. Neste ponto, temos que f é contínua, mas não é
derivável. Os ítens de (1) a (5) já foram feitos para as duas expressões algébri-
cas de f . Vamos então apresentar apenas os ítens (6) e (7).
(6) Obtemos o seguinte diagrama, ilustrado pela Figura 1.14.
(7) O esboço do gráfico de f ilustrado pela Figura 1.15.
1.1. Método para o esboço de gráficos xi
Figura 1.14: Diagrama para o esboço do gráfico de f
Figura 1.15: Esboço do gráfico de f