Notas de aula Vetores

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Geometria Analítica e Álgebra Linear – Engenharia Civil – 1º termo 
 
VETORES: Tratamento Geométrico 
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas 
por apenas um número real: comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade. As vetoriais são grandezas que 
não ficam completamente determinadas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número de unidades correspondente. 
Para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento, ou intensidade), sua 
direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. 
Antes de falarmos em direção e sentido precisamos relembrar alguns conceitos geométricos: 
Segmento orientado 
 Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o 
segundo chamado extremidade. 
 
Quando a extremidade coincide com a origem chamamos o segmento de nulo. 
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é chamado oposto de AB. 
 
Medida de um Segmento 
 Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que 
é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. 
O comprimento do segmento AB é indicado por|AB|. 
 Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento: 
 |AB|= 5 u.c. 
 Observações 
a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero 
b. |AB| = |BA|. 
 Direção e Sentido 
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são 
paralelas: 
 
 
 
 
 
ou coincidentes 
 
B A 
A 
2 
 
 
 Observações 
a. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. 
b. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 
Segmentos Equipolentes 
 Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento. Neste caso indicamos AB ~ CD (“AB eqüipolente a CD” ) 
 
 
 
Observação: Dois segmentos nulos são sempre eqüipolentes. 
Vetor 
 O Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a 
AB. Se indicarmos com v
r
 este conjunto, simbolicamente poderemos 
escrever: 
v
r
= {XY / XY ~ AB} (conjunto dos segmentos XY tais que XY é 
eqüipolente a AB) onde XY é um segmento qualquer do conjunto. 
 O vetor determinado por AB é indicado por 
→
AB ou B - A ou vr . 
 As características de um vetor v
r
 são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o 
sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. 
 O módulo de v
r
 se indica por | v
r
 | . 
Vetores iguais: Dois vetores 
→→
CDeAB são iguais se, e somente se, AB ~ CD. 
Vetor Nulo: Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo 
ou vetor zero, e que é indicado por 0
r
. 
 Vetores Opostos: Dado um vetor v
r
=
→
AB, o vetor 
→
BA é o oposto de 
→
AB e se indica por - 
→
AB ou por - vr . 
Vetor Unitário: Um vetor v
r
é unitário se | v
r
| = 1. 
Versor: Versor de um vetor não nulo v
r
 é o vetor unitário de 
mesma direção e mesmo sentido de v
r
. 
 Por exemplo, tomemos um vetor v
r
de módulo 3. Na figura, os 
vetores 
→
1u e 
→
2u são vetores unitários, porém apenas 
→
1u é versor 
de v
r
. 
3 
 
 
 
Operações com Vetores 
 
Adição 
 
Consideremos os vetores u
r
 e v
r
, cuja soma u
r
 + v
r
 pretendemos determinar. Tomemos um ponto A qualquer e, com 
origem nele, tracemos um segmento orientado AB representante do vetor u
r
. Utilizemos a extremidade B para traçar o 
segmento orientado BC representante de v
r
. O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade 
C é, por definição, a soma de u
r
 e v
r
, isto é, u
r
 + v
r
 = AC ou AB + BC = AC ou (B – A) + (C – B) 
= (C – A). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o caso de determinar a soma de 3 vetores, o procedimento é análogo. 
 
O vetor u
r
 - v
r
 é a diferença entre u
r
 e v
r
, e pode ser determinado fazendo a soma: u
r
 + (- v
r
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação de um número real por um vetor 
 
Dado um vetor v
r
 ≠ 0 e um número real k ≠ 0, o produto do número real k pelo vetor v
r
 é o vetor k v
r
 tal que: 
a) módulo: | k v
r
| = | k | | v
r
| 
b) direção: k v
r
 é paralelo a v
r
 
c) sentido: k v
r
 e v
r
 têm mesmo sentido se k > 0, e sentidos contrários se k < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u 
v 
-v 
u 
u - v u + v 
v 
 2v 
-3v 
u 
v 
. 
A 
u v 
A 
B 
C 
u + v 
4 
 
VETORES: Tratamento Algébrico 
 
 
Decomposição no plano 
 
Consideremos dois vetores 1v
r
 e 2v
r
 na paralelos, representados com a mesma origem no ponto O, sendo r1 e r2 retas 
contendo estes representantes, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os vetores u
r
 e w
r
, representados na figura, são expressos em função de 1v
r
 e 2v
r
 por: 
u
r
 = 2 1v
r
 + 4 2v
r
 
w
r
 = 
2
5
−
 1v
r
 - 2v
r
 
 
De um modo geral, dados dois vetores quaisquer 1v
r
 e 2v
r
 não paralelos, para cada vetor u
r
 representado no mesmo 
plano de 1v
r
 e 2v
r
, existe uma só dupla de números reais a1 e a2 tal que 
 u
r
 = a1 1v
r
 + a2 2v
r
 
 
No sistema cartesiano ortogonal xOy os vetores serão i
r
 e jr , ambos unitários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i 
j 
x 
y 
v 
a1 i 
a2 j 
r1 
r2 
2v1 v1 
v2 
-v2 
w
 
2
5
−
 v1 
u
 
5 
 
 
 
 
Então jaiav rrr 21 += . 
O vetor jaiav rrr 21 += também será representado por v
r
 = (a1,a2). 
 
 
Sendo assim: 
 
 
 
Igualdade: Sendo u
r
 = (x1, y1) e v
r
 = (x2, y2) temos u
r
 = v
r
 se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2. 
 
Exemplo: O vetor u
r
 = (x+1,4) é igual ao vetor v
r
 = (5, 2y-6). Qual o valor de x e de y? 
 u
r
 = v
r
 ⇔ x+1 = 5 e 4 = 2y-6 ⇔ x = 4 e y = 5. 
 
Operações: Sendo u
r
 = (x1, y1) e v
r
 = (x2, y2) e k um número real: 
 u
r
 + v
r
 = (x1 + x2 , y1 + y2) 
 u
r
 - v
r
 = (x1 - x2 , y1 - y2) 
 K u
r
 = (k x1, k y1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo: O módulo ou comprimento do vetor v =(x,y) é definido por | v | = 22 yx + . Por quê? 
 
 
Exemplos: 1. Dados u
r
 = (2, -3) e v
r
= (-1,4), determinar 3 u
r
 + 2 v
r
 e 3 u
r
 - 2 v
r
 . 
 3 u
r
 + 2 v
r
 = 3(2, -3) + 2(-1,4) = (6, -9) + (-2, 8) = (4,-1) 
 3 u
r
 - 2 v
r
 = 3(2, -3) - 2(-1,4) = (6, -9) - (-2, 8) = (8,-17) 
 
2. Determinar o vetor x
r
 na igualdade 3 x
r
 + 2 u
r
 = ½ v
r
 + x
r
, sendo dados u
r
 = (3,-1) e v
r
= (-2,4). 
 Resposta: x
r
 = (- 7/2, 2) 
 
3. Encontrar os números a e b tais que v
r
 = a 1v
r
 + b 2v
r
, sendo 1v
r
=(3,5), 2v
r
=(-1,2) e v
r
=(10,2). 
 Resposta: a = 2 e b = -4. 
 
 
 
Vetores no Espaço 
Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R3. Na verdade, o conceito de vetor geométrico 
nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem 
em R3. 
Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R3 é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a 
mesma direção, mesmo sentido e mesmo tamanho. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas 
características é representada por um segmento de reta desta família (representante). 
u 
v 
u+v 
x2 x1 x1 + x2 
 
y1 
y2 
y1 + y2 
 
u 
x1 kx1 
 
y1 
ky1 
ku 
6 
 
O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do 
espaço R3, razão pela qual denotamos este vetor por: v = (a,b,c). 
Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R3, realizamos a diferença entre 
a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) 
e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v = (6,10,12), pois: 
v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12) 
Soma de vetores e suas propriedades 
Se v =(v1,v2,v3) e w =(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w , por: 
v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3) 
Propriedades da soma de vetores 
Fecho: Para quaisquer u e v de R3, a soma u + v está em R3. 
Comutativa: Para todos os vetores u e v de R3: u + v = v + u . 
Associativa: Para todos os vetores u , v e w de R3: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) . 
Elemento neutro: Existe um vetor 0 = (0,0,0) em R3 tal que para todo vetor u de R3, se tem: 0 + u = u 
Elemento oposto: Para cada vetor v de R3, existe um vetor - v em R3 tal que: v + (- v ) = 0 . 
 
Diferença de Vetores 
Se v =(v1,v2,v3) e w =(w1,w2,w3), definimos a diferença de v e w , por: 
v - w = (v1 - w1, v2 - w2, v3 - w3) 
Exercício: Dados v = (1,3,4) e w = (1,8,12), construir os vetores - v , - w , v - w e v + w . 
Produto de Vetor por escalar 
Se v = (a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v , como: 
k v = (ka,kb,kc) 
Propriedades do produto de escalares por vetores 
Quaisquer que sejam os escalares a, b e c e os vetores v e w teremos: 
7 
 
(E1) 1 v = v 
(E2) (a b) v = a (b v ) = b (a v ) 
(E3) a v = b v e v é não nulo, então a = b. 
(E4) k ( v + w ) = k v + k w 
(E5) (a + b) v = a v + b v 
 
Módulo de um vetor e vetores unitários 
O módulo ou comprimento do vetor v =(x,y,z) é definido por: 
| v | = 222 zyx ++ 
Propriedades: 
(PE1) | u + v | < | u | + | v |(desigualdade triangular) 
(PE2) |k v | = |k| | v |, k escalar não nulo 
 
Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1. 
 
Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R3. 
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1) 
Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R3, o que significa que qualquer vetor no espaço R3 pode ser 
escrito como combinação linear dos vetores i , j e k , isto é, se v =(a,b,c), então: 
v = (a,b,c) = a i + b j + c k 
Para obter um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v , basta dividir o vetor v pelo seu 
módulo, isto é: 
u = v / | v | 
Para construir um vetor w paralelo a um vetor v , basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é: 
w = k v 
As três projeções ortogonais do vetor v =(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por: 
8 
 
v x=(0,b,c); v y=(a,0,c); v z=(a,b,0) 
Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v = (3,4,12)? Quais são os 
módulos de todos estes vetores? 
 
Produto Escalar 
Dados os vetores v =(v1,v2,v3) e w =(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w , como 
o escalar real: 
v . w = v1w1 + v2w2 + v3w3 
Exemplos: O produto escalar entre v =(1,2,5) e w =(2,-7,12) é: 
v . w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48 
O produto escalar entre v =(2,5,8) e w =(-5,2,0) é: 
v . w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0 
 
Propriedades do Produto Escalar 
Quaisquer que sejam os vetores u , v e w e o escalar k: 
(PE1) v . w = w . v 
(PE2) v . v = | v | | v | = | v |² 
(PE3) u .( v + w ) = u . v + u . w 
(PE4) (k v ). w = v .(k w ) = k ( v . w ) 
(PE5) | u . v | < | u | | v | (desigualdade de Schwarz) 
(PE6) v . w =0 se, e somente se, v e w são ortogonais 
(PE7) v . w = | v | | w | cos(t), onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w . 
Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180º (pi radianos). Com esta 
última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno de t. 
cos(t) = ( v . w ) / (| v |.| w |) 
Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores v =(1,1,0) e w =(1,1,1). 
Exercício: Dados os vetores v =(2,3,7) e w =(-1, -2,1) , verifique se são ortogonais a v . 
 
9 
 
 
Projeção de um Vetor 
Sejam os vetores u e v não nulos, e t o ângulo por eles formado. Queremos determinar o vetor w que representa a 
projeção de u sobre v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo retângulo, vem: 
||
|.|
||||
|.||||cos|||||
v
vu
vu
vu
utuw === 
Como w e v têm a mesma direção, segue que: 
 
w = k v , k ∈ R. Então: | w | = |k| | v |, ou 
2||
.
||
1
||
|.|
||
1||||
v
vuk
vv
vu
v
wk =∴== 
Logo: v
v
vu
w








=
2||
.
 
Portanto o vetor projeção de u sobre v ( wuproj
v
=. ) é: 
v
vv
vu
uprojou
v
v
v
v
uuproj
vv 







=








=
.
.
.||||.. 
 
Exemplo: Determinar o vetor projeção de u = (2,3,4) sobre v = (1,-1,0). 
 
Produto Vetorial 
Dados os vetores v =(v1, v2, v3) e w =(w1, w2, w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w , 
denotado por v ∧ w , como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser 
calculado como se fosse um determinante. 
321
321
www
vvv
kji
wv =∧ 
Exemplo: Dados os vetores v = (1,2,3) e w = (4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v ∧ w = -3 
i + 6 j - 3 k = (-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R3. 
10 
 
 
654
321
kji
wv =∧ = (-3,6,-3) 
 
Propriedades do Produto Vetorial 
(PV1) v ∧ w = - w ∧ v 
(PV2) u ∧ ( v + w ) = u ∧ v + u ∧ w 
(PV3) k ( v ∧ w ) = (k v ) ∧ w = v ∧ (k w ) 
(PV4) Se v e w são não nulos e v ∧ w = 0, então v e w são paralelos 
(PV5) v ∧ v = 0, para qualquer vetor v 
(PV6) )(|||| tsenwvwv rrrr =∧ onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w . 
Isto significa que podemos obter o ângulo t entre dois vetores v e w , através de: sendo que t 
é um número real pertencente ao intervalo [0,pi]. 
Aplicações do Produto Vetorial 
Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto 
inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi 
radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a 
área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos. 
Aparalelogramo = | v ∧ w | 
Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área 
do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w , com origensno mesmo ponto, isto é: 
Atriângulo = ½ | v ∧ w | 
 
 
Produto Misto 
Dados os vetores u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) e w = (w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u , v e w , 
denotado por [ u , v , w ] ou por u .( v ∧ w ), como o número real obtido a partir do determinante 
 [ u , v , w ] = u .( v ∧ w ) = 
||||
||
wv
wv
sent
∧
=
11 
 
 
Aplicações do Produto Misto 
Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u , v e w 
representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos 
vetores u , v e w , sendo que estes vetores têm a mesma origem. 
Vparalelepípedo = | [ u , v , w ] | 
Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u , v e w representa 
o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas 
pelos vetores u , v e w , sendo que estes vetores têm a mesma origem. 
Vtetraedro = (1/6) | [ u , v , w ] |