Álgebra Linear - Matrizes

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Engenharia Elétrica
Matrizes
Prof.: Carlos de Abreu
21 de Agosto de 2015
Sumário
1 Apresentação
Objetivos
Ementa
2 Matrizes
Definição
Operações com matrizes
3 Bibliografia
Sumário
1 Apresentação
Objetivos
Ementa
2 Matrizes
Definição
Operações com matrizes
3 Bibliografia
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Objetivos
Ementa
Objetivos
Compreender os conceitos da Geometria Analítica e da Álgebra
Linear para solucionar problemas. Utilizar o conhecimento
matemático para realizar a modelagem de situações reais com o
objetivo de agir sobre ela.
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Objetivos
Ementa
Ementa
i) Matrizes, determinantes e Sistemas Lineares.
ii) Revisão da Geometria Analítica Plana: Plano Cartesiano,
Ponto, Reta, Circunferência.
iii) Estudo das cônicas: elipse, hipérbole e parábola, (Geometria
Euclidiana e Analítica). Identificação e determinação de sua
equação reduzida.
iv) Cálculo Vetorial: definição de vetor; operações com vetores e
propriedades. Dependência e combinação linear.
v) Base de um espaço vetorial, base ortonormal, módulo de vetor e
operações.
vi) Produto escalar, projeção de um vetor, ângulos diretores,
propriedades, aplicações.
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Objetivos
Ementa
Ementa
vii) Produto vetorial, misto e duplo produto vetorial - Propriedades
e aplicações.
viii) Equações de retas e planos e suas variações nas formas,
vetorial, paramétrica, simétrica e geral.
ix) Estudo vetorial, das posições relativas entre pontos, retas e
planos no espaço e suas aplicações práticas no cálculo de
distâncias, ângulos, áreas volumes etc.
x) Coordenadas polares e cilíndricas no plano e espaço e suas
aplicações no estudo das superfícies esféricas, cilíndricas e
cônicas.
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Sumário
1 Apresentação
Objetivos
Ementa
2 Matrizes
Definição
Operações com matrizes
3 Bibliografia
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Definição
Uma matriz é um quadro retangular de dados, que podem ser
números, funções, ou elementos de qualquer outra natureza.
Representamos uma matriz escrevendo seus elementos, dispostos em
linhas e colunas, dentro de colchetes ou parêntesis.
Exemplo 01
Escreva as matrizes.
a) A “ paijq2ˆ2, tal que aij “ i´ j
b) B “ pbijq2ˆ3, tal que bij “ pi` jq2
c) C “ pcijq3ˆ3, tal que cij “
"
i, se i “ j
i` j, se i ‰ j
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Definição
Uma matriz é um quadro retangular de dados, que podem ser
números, funções, ou elementos de qualquer outra natureza.
Representamos uma matriz escrevendo seus elementos, dispostos em
linhas e colunas, dentro de colchetes ou parêntesis.
Exemplo 01
Escreva as matrizes.
a) A “ paijq2ˆ2, tal que aij “ i´ j
b) B “ pbijq2ˆ3, tal que bij “ pi` jq2
c) C “ pcijq3ˆ3, tal que cij “
"
i, se i “ j
i` j, se i ‰ j
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Definição
Uma matriz é um quadro retangular de dados, que podem ser
números, funções, ou elementos de qualquer outra natureza.
Representamos uma matriz escrevendo seus elementos, dispostos em
linhas e colunas, dentro de colchetes ou parêntesis.
Exemplo 01
Escreva as matrizes.
a) A “ paijq2ˆ2, tal que aij “ i´ j
b) B “ pbijq2ˆ3, tal que bij “ pi` jq2
c) C “ pcijq3ˆ3, tal que cij “
"
i, se i “ j
i` j, se i ‰ j
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Definição
Uma matriz é um quadro retangular de dados, que podem ser
números, funções, ou elementos de qualquer outra natureza.
Representamos uma matriz escrevendo seus elementos, dispostos em
linhas e colunas, dentro de colchetes ou parêntesis.
Exemplo 01
Escreva as matrizes.
a) A “ paijq2ˆ2, tal que aij “ i´ j
b) B “ pbijq2ˆ3, tal que bij “ pi` jq2
c) C “ pcijq3ˆ3, tal que cij “
"
i, se i “ j
i` j, se i ‰ j
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Matrizes Especiais
i) Matriz linha
ii) Matriz coluna
iii) Matriz nula
iv) Matriz quadrada
1 Matriz diagonal
2 Matriz antidiagonal
3 Matriz identidade
4 Matriz triangular superior
5 Matriz triangular inferior
6 Matriz simétrica
7 Matriz antissimétrica
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 01
Sabendo que a matriz S “
¨˝
1 x` 2y z ´ 4
4 5 5
3z ` 6 3x´ y 0
‚˛é simétrica,
determine os valores de x, y e z.
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Igualdade de matrizes
Duas matrizes de mesma ordem mˆ n, A “ raijs e B “ rbijs são
iguais se seus elementos correspondentes forem iguais.
Exemplo 02
Determine os valores de x e y para que as matrizes
A “
¨˝
6 8
´2 8
1 0
‚˛ e B “
¨˝
x` y x3
x´ y 8
1 0
‚˛
sejam iguais.
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Igualdade de matrizes
Duas matrizes de mesma ordem mˆ n, A “ raijs e B “ rbijs são
iguais se seus elementos correspondentes forem iguais.
Exemplo 02
Determine os valores de x e y para que as matrizes
A “
¨˝
6 8
´2 8
1 0
‚˛ e B “
¨˝
x` y x3
x´ y 8
1 0
‚˛
sejam iguais.
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 02
Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdadeˆ
x2 ` 5x x2
y2 ´ 5y y2 ´ 5
˙
“
ˆ ´6 3´ 2x
0 4y
˙
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Adição de matrizes
Se A “ raijsmˆn e B “ rbijsmˆn são duas matrizes de mesma
ordem, então a soma de A com B, simbolizada por A`B, é a
matriz C “ rcijsmˆn, em que cij “ aij ` bij .
Exemplo 03
Dada a matriz A “ raijs2ˆ3 onde aij “ i2 ´ 2j, determinar a matriz
B tal que A`B “ 0, onde 0 representa a matriz nula.
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Adição de matrizes
Se A “ raijsmˆn e B “ rbijsmˆn são duas matrizes de mesma
ordem, então a soma de A com B, simbolizada por A`B, é a
matriz C “ rcijsmˆn, em que cij “ aij ` bij .
Exemplo 03
Dada a matriz A “ raijs2ˆ3 onde aij “ i2 ´ 2j, determinar a matriz
B tal que A`B “ 0, onde 0 representa a matriz nula.
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Propriedades da adição de matrizes
Dadas as matrizes Amˆn, Bmˆn e Cmˆn, tem-se
i) A`B “ B `A (Comutatividade);
ii) A` pB ` Cq “ pA`Bq ` C (Associatividade);
iii) A` 0 “ 0`A “ A, onde 0 é a matriz nula e tem o mesmo
tipo que a matriz A (Existência do elemento neutro);
iv) A` p´Aq “ p´Aq `A “ 0 (Elemento oposto).
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Propriedades da adição de matrizes
Dadas as matrizes Amˆn, Bmˆn e Cmˆn, tem-se
i) A`B “ B `A (Comutatividade);
ii) A` pB ` Cq “ pA`Bq ` C (Associatividade);
iii) A` 0 “ 0`A “ A, onde 0 é a matriz nula e tem o mesmo
tipo que a matriz A (Existência do elemento neutro);
iv) A` p´Aq “ p´Aq `A “ 0 (Elemento oposto).
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Matrizes
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Definição
Operações com matrizes
Propriedades da adição de matrizes
Dadas as matrizes Amˆn, Bmˆn e Cmˆn, tem-se
i) A`B “ B `A (Comutatividade);
ii) A` pB ` Cq “ pA`Bq ` C (Associatividade);
iii) A` 0 “ 0`A “ A, onde 0 é a matriz nula e tem o mesmo
tipo que a matriz A (Existência do elemento neutro);
iv) A` p´Aq “ p´Aq `A “ 0 (Elemento oposto).
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Definição
Operações com matrizes
Propriedades da adição de matrizes
Dadas as matrizes Amˆn, Bmˆn e Cmˆn, tem-se
i) A`B “ B `A (Comutatividade);
ii) A` pB ` Cq “ pA`Bq ` C (Associatividade);
iii) A` 0 “ 0`A “ A, onde 0 é a matriz nula e tem o mesmo
tipo que a matriz A (Existência do elemento neutro);
iv) A` p´Aq “ p´Aq `A “ 0 (Elemento oposto).
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Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Produto de um escalar por uma matriz
Dada a matriz A “ raijsmˆn e um número real k, definiremos a
matriz kA, por kA “ rkaijsmˆn
Propriedades do produto de um escalar por uma matriz
Dadas as duas matrizes Amˆn e Bmˆn, e os escalares reais k, k1 e
k2, temos
i) kpA`Bq “ kA` kB;
ii) pk1 ` k2qA “ k1A` k2A;
iii) k1pk2Aq “ pk1k2qA;
iv) 0.A “ 0;
v) 1.A “ A
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Operações com matrizes
Operações com matrizes
Produto de um escalar por uma matriz
Dada a matriz A “ raijsmˆn e um número real k, definiremos a
matriz kA, por kA “ rkaijsmˆn
Propriedades do produto de um escalar por uma matriz
Dadas as duas matrizes Amˆn e Bmˆn, e os escalares reais k, k1 e
k2, temos
i) kpA`Bq “ kA` kB;
ii) pk1 ` k2qA “ k1A` k2A;
iii) k1pk2Aq “ pk1k2qA;
iv) 0.A “ 0;
v) 1.A “ A
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Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Produto de um escalar por uma matriz
Dada a matriz A “ raijsmˆn e um número real k, definiremos a
matriz kA, por kA “ rkaijsmˆn
Propriedades do produto de um escalar por uma matriz
Dadas as duas matrizes Amˆn e Bmˆn, e os escalares reais k, k1 e
k2, temos
i) kpA`Bq “ kA` kB;
ii) pk1 ` k2qA “ k1A` k2A;
iii) k1pk2Aq “ pk1k2qA;
iv) 0.A “ 0;
v) 1.A “ A
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Operações com matrizes
Operações com matrizes
Produto de um escalar por uma matriz
Dada a matriz A “ raijsmˆn e um número real k, definiremos a
matriz kA, por kA “ rkaijsmˆn
Propriedades do produto de um escalar por uma matriz
Dadas as duas matrizes Amˆn e Bmˆn, e os escalares reais k, k1 e
k2, temos
i) kpA`Bq “ kA` kB;
ii) pk1 ` k2qA “ k1A` k2A;
iii) k1pk2Aq “ pk1k2qA;
iv) 0.A “ 0;
v) 1.A “ A
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Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Produto de um escalar por uma matriz
Dada a matriz A “ raijsmˆn e um número real k, definiremos a
matriz kA, por kA “ rkaijsmˆn
Propriedades do produto de um escalar por uma matriz
Dadas as duas matrizes Amˆn e Bmˆn, e os escalares reais k, k1 e
k2, temos
i) kpA`Bq “ kA` kB;
ii) pk1 ` k2qA “ k1A` k2A;
iii) k1pk2Aq “ pk1k2qA;
iv) 0.A “ 0;
v) 1.A “ AProf.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
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Matrizes
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Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Produto de um escalar por uma matriz
Dada a matriz A “ raijsmˆn e um número real k, definiremos a
matriz kA, por kA “ rkaijsmˆn
Propriedades do produto de um escalar por uma matriz
Dadas as duas matrizes Amˆn e Bmˆn, e os escalares reais k, k1 e
k2, temos
i) kpA`Bq “ kA` kB;
ii) pk1 ` k2qA “ k1A` k2A;
iii) k1pk2Aq “ pk1k2qA;
iv) 0.A “ 0;
v) 1.A “ A
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Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Produto de matrizes
O produto de uma matrizes A “ paijqmˆn por uma matriz
B “ pbijqnˆp é a matriz C “ pcijqmˆp, em que
cij “
nÿ
k“1
aikbkj “ ai1b1j ` ai2b2j ` ¨ ¨ ¨ ` ainbnj .
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Matrizes
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Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Propriedades do produto matrizes
Dadas as matrizes Amˆn, Bnˆp e Cpˆq, e k P R, temos
i) Associatividade
pABqC “ ApBCq
ii) Distributividade
pA`BqC “ AC `BC
e
CpA`Bq “ CA` CB
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Matrizes
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Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Propriedades do produto matrizes
Dadas as matrizes Amˆn, Bnˆp e Cpˆq, e k P R, temos
i) Associatividade
pABqC “ ApBCq
ii) Distributividade
pA`BqC “ AC `BC
e
CpA`Bq “ CA` CB
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
iii) Existência do elemento neutro
AIn “ A “ InA, se A é quadrada de ordem n
e
ImA “ A “ AIn, se A é de ordem mˆ n
iv)
pkAqB “ ApkBq “ kpABq
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
iii) Existência do elemento neutro
AIn “ A “ InA, se A é quadrada de ordem n
e
ImA “ A “ AIn, se A é de ordem mˆ n
iv)
pkAqB “ ApkBq “ kpABq
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Exemplo 04
Dados as matrizes A “
ˆ
2 3
´1 5
˙
e B “
ˆ ´3 0
2 4
˙
, vamos
determinar as matrizes AB e BA.
Exemplo 05
Sejam A “
ˆ
2 0
3 0
˙
e B “
ˆ
0 0
4 6
˙
, calculemos o produto AB.
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Exemplo 04
Dados as matrizes A “
ˆ
2 3
´1 5
˙
e B “
ˆ ´3 0
2 4
˙
, vamos
determinar as matrizes AB e BA.
Exemplo 05
Sejam A “
ˆ
2 0
3 0
˙
e B “
ˆ
0 0
4 6
˙
, calculemos o produto AB.
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 03
Dadas as matrizes
A “
ˆ ´1 4 ´2
2 0 ´1
˙
, B “
ˆ
0 1 ´2
0 1 ´1
˙
,
C “
¨˝
1
1
3
‚˛ e D “ ` ´1 1 ˘ ,
determine:
a) A`B
c) AC
b) ´2C
d) CD
e) BC
f) DA
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Transposta de uma matriz
A transposta de uma matriz A é a matriz At cujas linhas são as
colunas da matriz A, escritas na mesma ordem.
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Propriedades da tranposta
Sejam A e B duas matrizes (cujas ordens são tais que as operações
indicadas podem ser realizadas) e k um escalar. Então:
i) 0t “ 0;
ii) It “ I;
iii) pA`Bqt “ At `Bt, com as matrizes A e B de mesma ordem;
iv) pkAqt “ kAt;
v) pABqt “ BtAt, em que A é uma matriz de ordem mˆ n e B
matriz de ordem nˆ p (Observe a ordem dos fatores do
produto no segundo membro da igualdade).
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Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 03
Sejam A “
ˆ
2 5 ´1
3 1 4
˙
e B “
ˆ
1 4
6 3
˙
.
a) Determine At e Bt.
b) Efetue, se possível, os produtos: ABt e BtA.
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Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Dada uma matriz A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma
matriz quadrada B de ordem n tal que
AB “ BA “ In
Uma matriz quadrada A é dita invertível se A admite uma matriz
inversa. Se uma matriz A possui inversa, então essa inversa é única.
Escrevamos A´1 para denotar a inversa de A.
Exemplo 06
Determine a inversa da matriz A “
ˆ
2 5
1 3
˙
, se existir.
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Matriz Inversa
Dada uma matriz A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma
matriz quadrada B de ordem n tal que
AB “ BA “ In
Uma matriz quadrada A é dita invertível se A admite uma matriz
inversa. Se uma matriz A possui inversa, então essa inversa é única.
Escrevamos A´1 para denotar a inversa de A.
Exemplo 06
Determine a inversa da matriz A “
ˆ
2 5
1 3
˙
, se existir.
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Operações com matrizes
Propriedades da matriz inversa
Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n.
i) Se A é invertível, então A´1 é também invertível e
pA´1q´1 “ A.
ii) Se A e B são invertíveis, então AB também é invertível e
pABq´1 “ B´1A´1.
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 04
Obtenha a matriz inversa, se existir, de:
a) A “
ˆ
1 ´1
3 1
˙
b) B “
ˆ
5 7
2 3
˙
c) C “
¨˝
0 1 0
1 1 1
0 1 0
‚˛
d) D “
¨˝
0 0 1
1 2 0
1 0 0
‚˛
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Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 04
Obtenha a matriz inversa, se existir, de:
a) A “
ˆ
1 ´1
3 1
˙
b) B “
ˆ
5 7
2 3
˙
c) C “
¨˝
0 1 0
1 1 1
0 1 0
‚˛
d) D “
¨˝
0 0 1
1 2 0
1 0 0
‚˛
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 04
Obtenha a matriz inversa, se existir, de:
a) A “
ˆ
1 ´1
3 1
˙
b) B “
ˆ
5 7
2 3
˙
c) C “
¨˝
0 1 0
1 1 1
0 1 0
‚˛
d) D “
¨˝
0 0 1
1 2 0
1 0 0
‚˛
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 04
Obtenha a matriz inversa, se existir, de:
a) A “
ˆ
1 ´1
3 1
˙
b) B “
ˆ
5 7
2 3
˙
c) C “
¨˝
0 1 0
1 1 1
0 1 0
‚˛
d) D “
¨˝
0 0 1
1 2 0
1 0 0
‚˛
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 05
Dada A “
ˆ
1
2 m´m 12
˙
calcule m de modo que se tenha
A´1 “ At.
Exercício 06
Verifique que matriz inversa de A “
ˆ
3 2
´4 ´3
˙
é a própria
matriz A.
Exercício07
Calcule x de modo que a matriz inversa da matriz A “
ˆ
1 0
1 x
˙
seja é a própria matriz A.
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 05
Dada A “
ˆ
1
2 m´m 12
˙
calcule m de modo que se tenha
A´1 “ At.
Exercício 06
Verifique que matriz inversa de A “
ˆ
3 2
´4 ´3
˙
é a própria
matriz A.
Exercício 07
Calcule x de modo que a matriz inversa da matriz A “
ˆ
1 0
1 x
˙
seja é a própria matriz A.
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Definição
Operações com matrizes
Exercícios
Exercício 05
Dada A “
ˆ
1
2 m´m 12
˙
calcule m de modo que se tenha
A´1 “ At.
Exercício 06
Verifique que matriz inversa de A “
ˆ
3 2
´4 ´3
˙
é a própria
matriz A.
Exercício 07
Calcule x de modo que a matriz inversa da matriz A “
ˆ
1 0
1 x
˙
seja é a própria matriz A.
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
Sumário
1 Apresentação
Objetivos
Ementa
2 Matrizes
Definição
Operações com matrizes
3 Bibliografia
Apresentação
Matrizes
Bibliografia
Bibliografia
1 ANTON, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações.
Tradução técnica: Claus Ivo Doering. 10. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2012.
2 BOLDRINI, J. L. [et. al.]. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo:
Harbra & Row do Brasil, 1980.
3 HEFEZ, A.; FERNANDEZ, C. S. Introdução à Álgebra Linear.
1. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
4 KÜHLKAMP, Nilo. Matrizes e sistemas de equações lineares.
Florianópolis: Ed. da UFSC, 2005.
5 STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. ed. São
Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
Prof.: Carlos de Abreu Geometria Analítica e Álgebra Linear
	Apresentação
	Objetivos
	Ementa
	Matrizes
	Definição
	Operações com matrizes
	Bibliografia