01_Matrizes_Determinantes

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2021/Sem_01 
NOTAS DE AULA 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Matrizes e Determinantes 
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
ii 
Índice 
1 Matrizes e Determinantes ......................................................................................... 1 
1.1 Matrizes ............................................................................................................ 1 
1.2 Determinantes e Matriz Inversa ........................................................................ 7 
1.3 Exercícios propostos ....................................................................................... 12 
Referências Bibliográficas ............................................................................................ 14 
 
 
 
 
 
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Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
1 Matrizes e Determinantes 
1.1 Matrizes 
1.1.1 Noção de matriz: 
Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas. 
1.1.2 Representação 
Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por: 
 𝐴𝑚×𝑛 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋮
… 𝑎𝑚𝑛
], 
os elementos são indicados por 𝑎𝑖𝑗, onde 1 i  m, 1 j  n. 
Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz, podemos 
indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e n. 
O símbolo 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem 𝑚 × 𝑛 de elementos 
reais. 
Exemplos: 
1) Se 𝐴 = [
−1 1 0
2 1 −2
5 0 3
], então temos que: 𝑎11 = −1, 𝑎12 = 1, 𝑎13 = 0, 
𝑎21 = 2, 𝑎22 = 1, 𝑎23 = −2, 𝑎31 = 5, 𝑎32 = 0, 𝑎33 = 3. 
2) Se 𝐵 = [
3 −9 2 5
0 7 √2 𝜋
], então temos que: 𝑏11 = 3, 𝑏12 = −9,𝑏13 = 2, 𝑏14 = 5, 
𝑏21 = 0, 𝑏22 = 7, 𝑏23 = √2, 𝑏24 = 𝜋. 
3) Se 𝐶 = [
2/3 −1/2
4 −3
−7 18
], então temos que: 𝑐11 =
2
3
, 𝑐12 = −
1
2
,𝑐21 = 4, 𝑐22 = −3, 𝑐31 = −7, 
𝑐32 = 18. 
1.1.3 Igualdade de matrizes 
Duas matrizes 𝐴𝑚×𝑛 e 𝐵𝑟×𝑠, com elementos do tipo 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖𝑗, respectivamente, são iguais, se e 
somente se: {
𝑚 = 𝑟
𝑛 = 𝑠
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀𝑖, 𝑗
 
Neste caso escrevemos 𝐴 = 𝐵 
 
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1.1.4 Tipos Especiais de Matrizes 
Matriz Quadrada 
É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n. 
Exemplos: 
1) 𝐴 = [
0 1 0
5 −1 7
2 0 3
] , 𝐵 = [8] e 𝐶 = [
9 −4
3 √7
]. 
Matriz Nula 
É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo i e j. 
Notação: 0 
Exemplos: 
1) 𝐴 = [
0 0 0
0 0 0
0 0 0
] e 𝐵 = [
0 0
0 0
] e 𝐶 = [
0
0
0
0
] 
Matriz Linha 
É aquela onde m = 1. 
Exemplos: 
1) 𝐴 = [9 0 −3 2] e 𝐵 = [1 3] 
Matriz Coluna 
É aquela onde n = 1. 
Exemplos: 
1) 𝐴 = [
7
−9
2
1
] e 𝐵 = [
3
−2
] 
Matriz Diagonal 
É uma matriz quadrada (m = n) onde 𝑎𝑖𝑗 = 0, para 𝑖 ≠ 𝑗. 
Exemplos: 
𝐴 = [
1 0 0
0 4 0
0 0 −2
] e 𝐵 = [
9 0 0 0
0 −4 0 0
0 0 1 0
0 0 0 3
] 
Matriz Identidade 
É uma matriz diagonal onde {
𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 𝑒
𝑎𝑖𝑗 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 𝑗
 
Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por 𝐼𝑛×𝑛 ou apenas 𝐼𝑛. 
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Exemplos: 
1. 𝐴 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
], 𝐵 = [
1 0
0 1
] e 𝐶 = [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
] 
Matriz Triangular Superior 
É uma matriz quadrada onde 𝑎𝑖𝑗 = 0 para i > j. 
Exemplos: 
1) 𝐴 = [
1 9 0
0 7 −2
0 0 1
], 𝐵 = [
1 −9
0 1
], 𝐶 = [
1 √3 0 3
0 0 6 0
0 0 1 2
0 0 0 1
] 
Matriz Triangular Inferior 
É uma matriz quadrada onde 𝑎𝑖𝑗 = 0 para i < j. 
Exemplos: 
1) 𝐴 = [
4 0 0
9 2 0
𝜋 7 1
], 𝐵 = [
1 0
3 1
] e 𝐶 = [
1 0 0 0
6 5 0 0
4 −3 9 0
2 0 0 1
] 
1.1.5 Operações com matrizes 
Adição 
Dadas duas matrizes 𝐴𝑚×𝑛 e 𝐵𝑚×𝑛, com elementos do tipo 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖𝑗, respectivamente, então: 
𝐴 + 𝐵 é a matriz com os elementos 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗, isto é, soma-se os elementos nas posições 
correspondentes. 
Observação: A e B devem ser de mesma ordem. 
Exemplo: 
1) Se 𝐴 = [
4 0 1
9 2 2
−1 7 1
] e 𝐵 = [
2 1 −8
1 3 0
6 2 −1
], então 𝐴 + 𝐵 = [
6 1 −7
10 5 2
5 9 0
] 
Propriedades da Adição de Matrizes 
i) Associatividade: 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶, ∀𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) 
ii) Comutatividade: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴, ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) 
iii) Elemento Neutro: A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula 𝑚× 𝑛, ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) 
iv) Oposto: Dada 𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ), existe a matriz (−𝐴) ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ), tal que 𝐴 + (−𝐴) = 0 
Multiplicação de matriz por escalar 
Dada uma matriz 𝐴𝑚×𝑛 , de elementos 𝑎𝑖𝑗 e um escalar 𝛼 ∈ ℜ, então:𝛼 ⋅ 𝐴 é a matriz cujos 
elementos são do tipo 𝛼 ⋅ 𝑎𝑖𝑗. (isto é, multiplicamos todos os elementos de A por 𝛼). 
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Exemplos: 
1) Se 𝐴 = [
3 0 −1
9 6 2
1 −7 4
] e 𝛼 = 2, então 𝛼 ⋅ 𝐴 = 2 ⋅ 𝐴 = [
6 0 −2
18 12 4
2 −14 8
] 
2) Se 𝐵 = [
3 −4 1
2 5 −2
] e 𝛼 = −3, então 𝛼 ⋅ 𝐵 = −3 ⋅ 𝐵 = [
−9 12 −3
−6 −15 6
] 
Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar 
i) (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝐴 = 𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝐴), ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ), ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℜ 
ii) (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝐴 = 𝛼 ⋅ 𝐴 + 𝛽 ⋅ 𝐴,∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ), ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℜ 
iii) 𝛼 ⋅ (𝐴 + 𝐵) = 𝛼 ⋅ 𝐴 + 𝛼 ⋅ 𝐵,∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ), ∀𝛼 ∈ ℜ 
iv) 1 ⋅ 𝐴 = 𝐴, ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) 
v) 0 ⋅ 𝐴 = 0, ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) obs.: 0 ∈ ℜ e 0 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℜ) 
Multiplicação de matrizes 
Dadas duas matrizes 𝐴𝑚×𝑛 e 𝐵𝑛×𝑝, com elementos do tipo 𝑎𝑖𝑗(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚,  1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) e 
𝑏𝑗𝑘(1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛,  1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝), respectivamente, então: 
𝐴 ⋅ 𝐵 é a matriz de elementos do tipo 𝑐𝑖𝑘(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚,  1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝), definidos por: 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 ⋅
𝑏1𝑘 + 𝑎𝑖2 ⋅ 𝑏2𝑘 + 𝑎𝑖3 ⋅ 𝑏3𝑘+. . . . . +𝑎𝑖𝑛 ⋅ 𝑏𝑛𝑘 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘
𝑛
𝑗=1 
Observações: 
1) O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda 
matriz; 
2) A matriz resultante do produto terá a mesma quantidade de linhas da primeira matriz e a 
mesma quantidade de colunas da segunda matriz. 
Exemplos: 
1) Se 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] e 𝐵 = [
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
], então 𝐶 = [
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
], onde: 
𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 ⋅ 𝑏1𝑘 + 𝑎𝑖2 ⋅ 𝑏2𝑘 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘
2
𝑗=1 , isto é: 
𝑐11 = 𝑎11 ⋅ 𝑏11 + 𝑎12 ⋅ 𝑏21 
𝑐12 = 𝑎11 ⋅ 𝑏12 + 𝑎12 ⋅ 𝑏22 
𝑐13 = 𝑎11 ⋅ 𝑏13 + 𝑎12 ⋅ 𝑏23 
𝑐21 = 𝑎21 ⋅ 𝑏11 + 𝑎22 ⋅ 𝑏21 
𝑐22 = 𝑎21 ⋅ 𝑏12 + 𝑎22 ⋅ 𝑏22 
𝑐23 = 𝑎21 ⋅ 𝑏13 + 𝑎22 ⋅ 𝑏23 
2) Se 𝐴 = [
1 3 −1
−2 −1 1
] e 𝐵 = [
−4 0 3 −1
5 −2 −1 1
−1 2 0 6
], então 𝐶 = [
𝑐11 𝑐12 𝑐13 𝑐14
𝑐21 𝑐22 𝑐23 𝑐24
], 
onde: 
𝑐11 = 1 ⋅ (−4) + 3 ⋅ (5) + (−1) ⋅ (−1) = 12 
𝑐12 = 1 ⋅ (0) + 3 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ (2) = 8 
𝑐13 = 1 ⋅ (3) + 3 ⋅ (−1) + (−1) ⋅ (0) = 0 
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𝑐14 = 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (1) + (−1) ⋅ (6) = −4 
𝑐21 = (−2) ⋅ (−4) + (−1) ⋅ (5) + (1) ⋅ (−1) = 2 
𝑐22 = (−2) ⋅ (0) + (−1) ⋅ (−2) + (1) ⋅ (2) = 4 
𝑐23 = (−2) ⋅ (3) + (−1) ⋅ (−1) + (1) ⋅ (0) = −5 
𝑐24 = (−2) ⋅ (−1) + (−1) ⋅ (1) + (1) ⋅ (6) = 7 
Logo 𝐶 = [
12 −8 0 −4
2 4 −5 7
] 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
(Desde que sejam possíveis as operações) 
i) 𝐴 ⋅ 𝐼 = 𝐼 ⋅ 𝐴 = 𝐴, sendo I a matriz identidade 
ii) 𝐴 ⋅ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 e (𝐴 + 𝐵) ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐶 + 𝐵 ⋅ 𝐶 
iii) 𝐴 ⋅ (𝐵 ⋅ 𝐶) = (𝐴 ⋅ 𝐵) ⋅ 𝐶 
iv) 0 ⋅ 𝐴 = 0 e 𝐴 ⋅ 0 = 0 
Observação: Em geral 𝐴 ⋅ 𝐵 ≠ 𝐵 ⋅ 𝐴, podendo inclusive um dos membros da igualdade estar 
definido e o outro não. 
Transposição de matrizes 
Dada uma matriz 𝐴𝑚×𝑛, com elementos do tipo 𝑎𝑖𝑗(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚,  1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛), denomina-se 
transposta de A, a matriz 𝐴𝑇, com elementos do tipo 𝑏𝑗𝑖 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛,  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚), cujas linhas 
são as colunas de A, isto é: 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖. 
Isto é, é a matriz obtida com a troca ordenada das linhas pelas colunas da matriz original. 
Exemplos: 
1) Se 𝐴 = [
3 0 −1
9 6 2
1 −7 4
], então 𝐴𝑇 = [
3 9 1
0 6 −7−1 2 4
] 
2) Se 𝐵 = [
3 1
0 4
−2 5
], então 𝐵𝑇 = [
3 0 −2
1 4 5
] 
Propriedades da Transposição de Matrizes 
i) (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 
ii) (𝛼 ⋅ 𝐴)𝑇 = 𝛼 ⋅ 𝐴𝑇 , onde  
iii) (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴 
iv) (𝐴 ⋅ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ⋅ 𝐴𝑇 
Definições: 
Seja A uma matriz quadrada, então: 
a) A é dita simétrica, se e somente se, 𝐴𝑇 = 𝐴. 
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Exemplo: 
1) 𝐴 = [
3 0 −1
0 2 −7
−1 −7 5
]𝐴𝑇 = [
3 0 −1
0 2 −7
−1 −7 5
] = 𝐴 
b) A é dita antissimétrica, se e somente se, 𝐴𝑇 = −𝐴. 
Exemplo: 
1) 𝐴 = [
0 1 −3
−1 0 5
3 −5 0
]𝐴𝑇 = [
0 −1 3
1 0 −5
−3 5 0
] = −𝐴 
Alguns exercícios resolvidos sobre matrizes 
1) Para cada 𝛼 ∈ ℜ, considere a matriz 𝑇𝛼 = [
cos 𝛼 −sen 𝛼
sen 𝛼 𝑐𝑜𝑠   𝛼
] 
a) Mostre que 𝑇𝛼 ⋅ 𝑇𝛽 = 𝑇𝛼+𝛽 
Resolução: 
𝑇𝛼 ⋅ 𝑇𝛽 = [
cos 𝛼 −sen 𝛼
sen 𝛼 𝑐𝑜𝑠   𝛼
] ⋅ [
cos 𝛽 −sen 𝛽
sen 𝛽 𝑐𝑜𝑠   𝛽
] = 
=[
cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sen 𝛼 ⋅ sen 𝛽 −sen 𝛽 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝛼 − sen 𝛼 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝛽
sen 𝛼 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝛽 + sen 𝛽 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝛼 −sen 𝛼 ⋅ sen 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝛽
] = 
= [
cos (𝛼 + 𝛽) −sen (𝛼 + 𝛽)
sen (𝛼 + 𝛽) 𝑐𝑜𝑠   (𝛼 + 𝛽)
] = 𝑇𝛼+𝛽 
b) Ache 𝑇−𝛼 
Resolução: 
𝑇−𝛼 = [
cos (−𝛼) −sen (−𝛼)
sen (−𝛼) 𝑐𝑜𝑠   (−𝛼)
] = [
cos 𝛼 sen 𝛼
−sen 𝛼 𝑐𝑜𝑠   𝛼
] = 𝑇𝛼
𝑇 
2) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica. 
Resolução: 
Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo 𝐴𝑇 = 𝐴 e 𝐵𝑇 = 𝐵. 
(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 = 𝐴 + 𝐵. 
3) Mostre que a soma de duas matrizes antissimétricas é uma matriz antissimétrica. 
Resolução: 
Sejam duas matrizes antissimétricas A e B. 
Logo 𝐴𝑇 = −𝐴 e 𝐵𝑇 = −𝐵.(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 = −𝐴 + (−𝐵) = −(𝐴 + 𝐵). 
4) Mostre que se A é uma matriz quadrada, então 𝐴 + 𝐴𝑇 é uma matriz simétrica. 
Resolução: 
(𝐴 + 𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴𝑇 + (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐴 = 𝐴 + 𝐴𝑇 
5) Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica. 
Resolução: 
Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo 𝐴𝑇 = 𝐴 e 𝐵𝑇 = 𝐵. 
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(𝐴 ⋅ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ⋅ 𝐴𝑇 = 𝐵 ⋅ 𝐴. 
6) Se 𝐴 ⋅ 𝐵 = 0, então podemos afirmar que𝐴 = 0 ou 𝐵 = 0? 
Resolução: 
Não! Encontre alguns contraexemplos. 
7) Suponha que 𝐴 ≠ 0 e 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐶, então podemos afirmar que B = C? 
Resolução: 
Não! 
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐶 𝐴 ⋅ 𝐵 − 𝐴 ⋅ 𝐶 = 0𝐴 ⋅ (𝐵 − 𝐶) = 0. Sabemos que 𝐴 ≠ 0, e que podemos ter 
𝐴 ⋅ (𝐵 − 𝐶) = 0 sem que 𝐵 − 𝐶 = 0, Logo B não é necessariamente igual a C. 
8) Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que 𝑌 ⋅ 𝐴 = 𝐼, podemos afirmar 
que B = C? 
Resolução: 
Sim! 
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐶 𝑌 ⋅ (𝐴 ⋅ 𝐵) = 𝑌 ⋅ (𝐴 ⋅ 𝐶)(𝑌 ⋅ 𝐴) ⋅ 𝐵 = (𝑌 ⋅ 𝐴) ⋅ 𝐶 (𝐼) ⋅ 𝐵 = (𝐼) ⋅ 𝐶 B=C 
9) Podemos dizer que a seguinte igualdade (𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐵2é verdadeira? 
Resolução: 
Não!(𝐴 + 𝐵) ⋅ (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 ⋅ 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐵 ⋅ 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐵 = 𝐴2 + 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐵 ⋅ 𝐴 + 𝐵2 
10) Podemos dizer que a seguinte igualdade (𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴2 − 2 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐵2é verdadeira? 
Resolução: 
Não! 
(𝐴 − 𝐵) ⋅ (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 ⋅ 𝐴 − 𝐴 ⋅ 𝐵 − 𝐵 ⋅ 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐵 = 𝐴2 − 𝐴 ⋅ 𝐵 − 𝐵 ⋅ 𝐴 + 𝐵2 
1.2 Determinantes e Matriz Inversa 
1.2.1 Determinantes 
Definições: 
Se 𝐴 = [𝑎11]𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 
Se 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
]𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 − 𝑎12 ⋅ 𝑎21 
Se 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
]𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 ⋅ 𝑎33 − 𝑎11 ⋅ 𝑎23 ⋅ 𝑎32 − 𝑎12 ⋅ 𝑎21 ⋅ 𝑎33 + 
 +𝑎12 ⋅ 𝑎23 ⋅ 𝑎31 + 𝑎13 ⋅ 𝑎21 ⋅ 𝑎32 − 𝑎13 ⋅ 𝑎22 ⋅ 𝑎31 
Propriedades dos determinantes 
i) 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑇 
ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por 𝑘 ∈ ℜ, o determinante fica multiplicado 
por k. 
iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal. 
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iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero. 
v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos 
correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante. 
vi) 𝑑𝑒𝑡(𝐴 ⋅ 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ⋅ 𝑑𝑒𝑡 𝐵 
Definição de submatriz 
Seja A uma matriz quadrada 𝑛 × 𝑛. Uma submatriz 𝐴𝑖𝑗de A é uma matriz obtida de A 
eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. 
Exemplo: 
1) Se 𝐴 = [
1 2 −1
4 0 3
−2 3 −4
] então 𝐴23 = [
1 2
−2 3
], 𝐴31 = [
2 −1
0 3
], etc. 
Definição de cofator 
Seja A uma matriz quadrada 𝑛 × 𝑛. O cofator ou complemento algébrico de um elemento 
𝑎𝑖𝑗de A é o número: 𝛥𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑖𝑗. 
Exemplo: 
1) Se 𝐴 = [
1 2 −1
4 0 3
−2 3 −4
] então: 
𝛥11 = (−1)
1+1 𝑑𝑒𝑡 𝐴11 = (−1)
2 ⋅ 𝑑𝑒𝑡 [
0 3
3 −4
] = −9, 
𝛥23 = (−1)
2+3 𝑑𝑒𝑡 𝐴23 = (−1)
5 ⋅ 𝑑𝑒𝑡 [
1 2
−2 3
] = −7, etc. 
Desenvolvimento de Laplace (Para calcular o determinante de qualquer matriz quadrada) 
Seja A uma matriz com n linhas e n colunas. 
Então, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ⋅
𝑛
𝑗=1 𝛥𝑖𝑗 , para qualquer linha i. (É a soma dos produtos dos elementos de 
uma linha (ou coluna), pelos seus respectivos cofatores). 
Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ⋅
𝑛
𝑖=1 𝛥𝑖𝑗 
para qualquer coluna j. 
Exemplos: 
1) Se 𝐴 = [
1 2 −1
4 0 3
−2 3 −4
] então calcule 𝑑𝑒𝑡 𝐴. 
Resolução: 
Escolhendo, por exemplo, a segunda linha (𝑖 = 2) 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 =∑𝑎2𝑗 ⋅
3
𝑗=1
𝛥2𝑗 = 𝑎21 ⋅ 𝛥21 + 𝑎22 ⋅ 𝛥22 + 𝑎23 ⋅ 𝛥23 = 
= 4 ⋅ (−1)2+1 𝑑𝑒𝑡 [
2 −1
3 −4
]+0 ⋅ (−1)2+2 𝑑𝑒𝑡 [
1 −1
−2 −4
] + 3 ⋅ (−1)2+3 𝑑𝑒𝑡 [
1 2
−2 3
] = 
= 4 ⋅ 5 + 0 ⋅ (−6) + 3 ⋅ (−7) = −1 
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2) Seja A uma matriz triangular superior. 
Verifique que o det A= 𝑎11 ⋅ 𝑎22 ⋅ 𝑎33. . . . . . . . . . . 𝑎𝑛𝑛. 
1.2.2 Matriz Inversa 
Seja A é uma matriz quadrada n  n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz B, também 
n  n, que satisfaz a seguinte propriedade: 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 = 𝐼, em que 𝐼 = 𝐼𝑛 é a matriz 
identidade n  n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível. 
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 𝐴−1, logo: 𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐼 
Exemplo: 
1) Ache a inversa da matriz 𝐴 = [
2 3
1 4
] 
Resolução: 






=











10
01
41
32
dc
ba
[
2𝑎 + 3𝑐 2𝑏 + 3𝑑
𝑎 + 4𝑐 𝑏 + 4𝑑
] = [
1 0
0 1
] ⇒ 
{
2𝑎 + 3𝑐 = 1
𝑎 + 4𝑐 = 0
⇒ 𝑎 =
4
5
 e 𝑐 = −
1
5
 e {
2𝑏 + 3𝑑 = 0
𝑏 + 4𝑑 = 1
⇒ 𝑏 = −
3
5
 e 𝑑 =
2
5
 
Logo 𝐴−1 = [
4
5
−
3
5
−
1
5
2
5
] 
Observação: O mesmo resultado seria obtido fazendo: [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ⋅ [
2 3
1 4
] = [
1 0
0 1
] 
Teorema: 
Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única. 
Demonstração: 
Vamos supor que a matriz A possui duas inversas 𝐴1
−1 e 𝐴2
−1. Logo temos que 𝐴 ⋅ 𝐴1
−1 = 𝐼 =
𝐴1
−1 ⋅ 𝐴 e 𝐴 ⋅ 𝐴2
−1 = 𝐼 = 𝐴2
−1 ⋅ 𝐴. 
Assim 𝐴1
−1 = 𝐴1
−1 ⋅ 𝐼 = 𝐴1
−1 ⋅ (𝐴 ⋅ 𝐴2
−1) = (𝐴1
−1 ⋅ 𝐴) ⋅ 𝐴2
−1 = 𝐼 ⋅ 𝐴2
−1 = 𝐴2
−1. 
Portanto 𝐴1
−1 = 𝐴2
−1 e a inversa é única. 
Observações: 
i) Se A e B são matrizes quadradas, de mesma ordem e invertíveis, então 𝐴 ⋅ 𝐵 é também 
invertível e (𝐴 ⋅ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ⋅ 𝐴−1. 
ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0. 
iii) Se A é uma matriz quadrada e 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0, então 𝑑𝑒𝑡 𝐴−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝐴
. 
Demonstração de (iii): 
Sabemos que 𝑑𝑒𝑡(𝐴 ⋅ 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ⋅ 𝑑𝑒𝑡 𝐵. Se 𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐼, então temos que 𝑑𝑒𝑡(𝐴−1 ⋅ 𝐴) =
𝑑𝑒𝑡 𝐴−1 ⋅ 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 𝐼𝑑𝑒𝑡 𝐴−1 =
1
𝑑𝑒𝑡 𝐴
. 
iv) (𝐴−1)−1 = 𝐴. 
v) (𝐴−1)𝑇 = (𝐴𝑇)−1. 
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Definição: 
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações: 
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; 
ii) a multiplicação de uma linha da matriz por uma constante diferente de zero; 
iii) a substituição uma linha da matriz por sua somacom outra linha multiplicada por uma 
constante diferente de zero. 
Teorema: 
Seja A uma matriz quadrada. Se uma sequência de operações elementares nas suas linhas reduz 
A a I, então a mesma sequência de operações elementares transforma I em 𝐴−1. 
Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a matriz inversa 
de A: 
Operações elementares: 
[𝐴 ⋮ 𝐼] ⇒ [𝐼 ⋮ 𝐴−1] 
Exemplo: 
1) Ache a inversa da matriz 𝐴 = [
−1 2 1
1 2 1
−1 2 3
] 
Resolução: 
[
−1 2 1
1 2 1
−1 2 3
 1 0 0
 0 1 0
 0 0 1
] 
 21 LL
[
1 2 1
−1 2 1
−1 2 3
 0 1 0
 1 0 0
 0 0 1
]
𝐿2 → 𝐿2 + 𝐿1
⇒
𝐿3 → 𝐿3 + 𝐿1
 
[
1 2 1
0 4 2
0 4 4
 0 1 0
 1 1 0
 0 1 1
] 
→ 22
4
1
LL
[
1 2 1
0 1
1
2
0 4 4
 0 1 0
 
1
4
1
4
0
 0 1 1
]
233
211
4
2
LLL
LLL
−→

−→
[
1 0 0
0 1
1
2
0 0 2
 −
1
2
1
2
0
 
1
4
1
4
0
 −1 0 1
] 
→ 33
2
1
LL
[
 
 
 
 1 0 0
0 1
1
2
0 0 1
 −
1
2
1
2
0
 
1
4
1
4
0
 −
1
2
0
1
2]
 
 
 
 

−→ 322
2
1
LLL
[
 
 
 
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
 −
1
2
1
2
0
 
1
2
1
4
−
1
4
 −
1
2
0
1
2 ]
 
 
 
 
. Assim, 𝐴−1 =
[
 
 
 
 −
1
2
1
2
0
1
2
1
4
−
1
4
−
1
2
0
1
2 ]
 
 
 
 
. 
Definição: 
Seja A uma matriz quadrada 𝑛 × 𝑛. Então a matriz dos cofatores de A, é a matriz indicada pelo 
símbolo 𝐴, cujos elementos são os cofatores (𝛥𝑖𝑗) dos elementos da matriz A. 
Exemplo: 
1) Se 𝐴 = [
2 1
−3 1
] então 𝐴 = [
𝛥11 𝛥12
𝛥21 𝛥22
] = [
1 3
−1 2
] 
Pois, 
𝛥11 = (−1)
1+11 = 1, 
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Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
𝛥12 = (−1)
1+2(−3) = 3, 
𝛥21 = (−1)
1+21 = −1, 
𝛥22 = (−1)
2+22 = 2 
Definição: 
Seja A uma matriz quadrada 𝑛 × 𝑛. Chama-se matriz adjunta de A, a matriz 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = (𝐴)
𝑇
, isto 
é, a transposta da matriz dos cofatores. 
Exemplo: 
1) Se 𝐴 = [
2 1
−3 1
] então 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = [
1 3
−1 2
]
𝑇
= [
1 −1
3 2
] 
Teorema: 
Seja A uma matriz quadrada 𝑛 × 𝑛, tal que 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0. Então: 𝐴 ⋅ 𝑎𝑑𝑗𝐴 = (𝑑𝑒𝑡 𝐴) ⋅ 𝐼𝑛. 
Deste teorema podemos concluir que: 
𝐴 ⋅ 𝑎𝑑𝑗𝐴 = (𝑑𝑒𝑡 𝐴) ⋅ 𝐼𝑛 ⇒ 𝐴 ⋅
𝑎𝑑𝑗𝐴
𝑑𝑒𝑡 𝐴
= 𝐼𝑛𝐴
−1 =
𝑎𝑑𝑗𝐴
𝑑𝑒𝑡 𝐴
 
Definição: 
Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é invertível e 𝐴−1 = 𝐴𝑇. 
Exemplos: 
1) Determinar, se possível, todos os valores x e y reais, a fim de que a matriz A seja 
ortogonal. 
A = [
1/2 𝑥
𝑦 1/2
] 
Resolução: 
[
1/2 𝑥
𝑦 1/2
] ⋅ [
1/2 𝑦
𝑥 1/2
] = [
1 0
0 1
] ⇒
{
 
 
 
 
1
4
+ 𝑥2 = 1 → 𝑥 = ±
√3
2
𝑦
2
+
𝑥
2
= 0
𝑦2 +
1
4
= 1 → 𝑦 = ±
√3
2
⇒
{
 
 𝑥 =
√3
2
 𝑒 𝑦 = −
√3
2
 ou
𝑥 = −
√3
2
 𝑒 𝑦 =
√3
2
Resposta: 
{
 
 𝑥 =
√3
2
 𝑒 𝑦 = −
√3
2
 ou
𝑥 = −
√3
2
 𝑒 𝑦 =
√3
2
 
2) Verifique (genericamente) que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz 
ortogonal. 
Resolução: 
Se A e B são matrizes ortogonais, então 𝐴−1 = 𝐴𝑇 e 𝐵−1 = 𝐵𝑇. 
Sabe-se que (𝐴 ⋅ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ⋅ 𝐴−1 = 𝐵𝑇 ⋅ 𝐴𝑇 = (𝐴 ⋅ 𝐵)𝑇. 
 
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1.3 Exercícios propostos 
1) Encontre o determinante de A e a inversa da matriz A = [
1 2 −1
0 1 2
−1 −2 0
] . 
 
Resposta: det A = −1 e inv A = [
−4 −2 −5
2 1 2
−1 0 −1
] 
2) Se uma matriz quadrada A, é tal que 𝐴𝑇 = −𝐴, ela é chamada de matriz antissimétrica. Sabe-
se que a matriz M que segue é de ordem 3, não é nula e é antissimétrica. Neste caso, os termos 
𝑎12, 𝑎13 e 𝑎23, valem, respectivamente: 
𝑀 = [
1 + 𝑎 . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑎 𝑏 + 2 . . . . . . . .
𝑏 𝑐 2𝑐 − 6
] 
 
Resposta: 1; 2 e −3 
3) Ache os valores dos determinantes das seguintes matrizes: 
a) [
3 4 2 1
5 0 −1 −2
0 0 4 0
−1 0 3 3
] Resposta: −208 
b) [
1 2
3 5
3 4
−1 2
5 3
0 2
2 1
8 1
] Resposta: 471 
4) Encontre o determinante da matriz: 𝐴 = [
0 𝑎
0 1
𝑏 1
0 0
𝑎 𝑎
1 𝑏
0 𝑏
𝑎 0
] Resposta: 𝑎2 + 𝑏2 
5) Sendo A uma matriz quadrada 𝑛 × 𝑛 e, verifique que 𝑑𝑒𝑡(𝛼𝐴) = 𝛼𝑛 ⋅ 𝑑𝑒𝑡 𝐴. 
6) Sendo A = 
2 1
3 0
2 -1










 ; B = 
2 3
1 5





 ; C = 
−





1 0 5
 4 3 1
, encontre, se existir, a matriz X para 
cada situação a seguir: 
a) 𝐴 ⋅ 𝑋 = 𝐶𝑇 Resposta: Não existe 
b) 𝐴 + 𝐶𝑇 = 𝑋 ⋅ 𝐵 Resposta: 𝑋 = [
0 1
12
7
−
3
7
5 −3
] 
c) 𝑋 = 𝐶𝑇 ⋅ 𝐴𝑇 Resposta: 𝑋 = [
2 −3 −6
3 0 −3
11 15 9
] 
7) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de 
x na equação 𝑑𝑒𝑡   (2 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴𝑇) = 4𝑥? Resposta: 𝑥 = 32 
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8) Seja a matriz quadrada A , 2 × 2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
cos 
𝜋
2.𝑖−𝑗
 se 𝑖 = 𝑗
sen 
𝜋
i+j
  se 𝑖 ≠ 𝑗
. 
Calcule o determinante de A. Se 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0, ache 𝐴−1. 
Respostas: 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = −
3
4
 e 𝐴−1 = [
0
2√3
3
2√3
3
4
3
] 
9) Dada a matriz A = 
1 2 7
0 3 1
0 5 2










, ache (𝐴−1)𝑇 e (𝐴𝑇)−1. Conclua que (𝐴−1)𝑇 = (𝐴𝑇)−1. 
10) Encontre as matrizes [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] que comutam com a matriz [
1 1
0 1
], isto é, ache as matrizes 
[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
], tais que [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
].[
1 1
0 1
]=[
1 1
0 1
].[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] 
Resposta: [
𝑥 𝑦
0 𝑥
] 
11) Encontre a matriz inversa da matriz A, utilizando operações elementares com linhas, sendo 
A = [
0 1 2
1 2 1
−1 3 8
]. Resposta: 𝐴−1 = [
13 −2 −3
−9 2 2
5 −1 −1
] 
12) Resolva a equação matricial: [
𝑥 𝑦
8 𝑧
] = [
3 𝑥 + 1
8 𝑥 + 𝑦
] 
Resposta: 𝑥 = 3,   𝑦 = 4  𝑒  𝑧 = 7 
13) Dada a matriz A, resolva a equação: 𝐴−1 ⋅ 𝑋 ⋅ 𝐴𝑇 = 𝐴 e ache X para A = [
0 1 2
1 2 1
−1 3 8
]. 
Respostas: 𝑋 = 𝐴2 ⋅ (𝐴−1)𝑇 e X = [
−80 59 −30
−39 31 −15
−318 233 −119
] 
14) Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é invertível e 𝐴−1 = 𝐴𝑇. Determinar, se 
possível, todos os valores x e y reais, a fim de que a matriz A seja ortogonal. 
 A = [
sen 𝜃 𝑥
𝑦 sen 𝜃
] 
Dica: Se 𝐴−1 = 𝐴𝑇, então 𝐴𝑇 ⋅ 𝐴 = 𝐼 
Resposta:{
𝑥 = cos 𝜃 e 𝑦 = − cos 𝜃     ou 
𝑥 = −cos 𝜃 e 𝑦 = cos 𝜃
 
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15) Verifique se a matriz 𝐴 =
[
 
 
 
√3
2
−
1
2
0
1
2
√3
2
0
0 0 1]
 
 
 
 é uma matriz ortogonal. Caso positivo, calcule sua 
inversa. Resposta: Sim, é ortogonal e inv A = 
[
 
 
 
√3
2
1
2
0
−
1
2
√3
2
0
0 0 1]
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 
1990. 
3. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro: Coleção 
do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 
4. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006. 
5. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.a Edição. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2010. 
6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2.a Edição. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.