8.LIMITES FUNDAMENTAis08

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LIMITES FUNDAMENTAIS
Os limites abaixo são importantes para o próximo tópico: a derivada. Porém suas as demonstrações exigem um conhecimento matemático mais avançado do que temos no momento. Por isso apenas ilustramos os resultados.
10 ) Primeiro limite fundamental
 a) 
 (F0RMA BÁSICA)
 b) 
 ( FORMA GENERALIZADA)
Nota: A proposição nos diz que nas proximidades de zero , o seno de um arco é praticamente igual ao arco (
).Ver tabela abaixo.
X:rad
0,04
0,03
0,02
0,01
0,005
...
x(0
0,039989
0,029995
0,019998
0,009999
0,004999
....
0,99973
0,99985
0,99993
0,99998
0,99999
......
A função 
 é par, isto é:
. Use uma calculadora para esboçar seu gráfico.
Exercícios: 
Resolução: Multiplicando e dividindo pelo “conjugado” e usando o 10 limite fundamental teremos:
 
Resolução: Dividindo o numerador e denominador por x , vem:
20 ) Segundo limite fundamental : 
.
Todos os limites da forma indeterminada 
 são potências do número e (2,71828182846 é o que diz o próximo resultado:
Teorema : 
 (SEGUNDO GENERALIZADO)
(Prova-se pondo: 
). 
A tabela abaixo ilustra o segundo limite fundamental.
x
100.000
1.000.000
10.000.000
100.000.000
...
2,718268
2,718280
2,718281
2,7182818
...
Exercícios:
Resolução: Forma 
Logo 
Resolução: 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Calcular os limites abaixo ( usando os limites fundamentais)
Resolução: 
Aplicação – Juros compostos contínuos.
A fórmula geral do montante é 
 onde C é o capital inicial, i a taxa , n o número de períodos e Cn o montante no final dos n períodos.
Seja K o número de capitalizações (anualmente, semestralmente, trimestralmente , mensalmente, etc) em 1 ano e n o número de anos. O montante agora é 
.
Fazendo o número de capitalizações tendendo para o infinito teremos:
 
 
A taxa instantânea iI equivalente a anual i é dada por : iI = ln(1+i).
Resolução: 
Resolução : 
��EMBED Equation.3
Outro modo: 
Resolução : Observe que o 
não existe, pois as imagens da função seno percorrem todo o intervalo 
 na medida que x vai aumentando. 
Dividindo por 
as desigualdades 
obtemos : 
. Tomando o limite (
) da última relação teremos: 
Calcular 
 sabendo que 
 a) 
 b) 
.
 a) 
 b) 
11) 
 
Resolução : 
=
 
Resolução : Pondo 
 vem:
_1265529285.unknown
_1265529293.unknown
_1265529297.unknown
_1265529299.unknown
_1265529300.unknown
_1265529298.unknown
_1265529295.unknown
_1265529296.unknown
_1265529294.unknown
_1265529289.unknown
_1265529291.unknown
_1265529292.unknown
_1265529290.unknown
_1265529287.unknown
_1265529288.unknown
_1265529286.unknown
_1265529269.unknown
_1265529277.unknown
_1265529281.unknown
_1265529283.unknown
_1265529284.unknown
_1265529282.unknown
_1265529279.unknown
_1265529280.unknown
_1265529278.unknown
_1265529273.unknown
_1265529275.unknown
_1265529276.unknown
_1265529274.unknown
_1265529271.unknown
_1265529272.unknown
_1265529270.unknown
_1265529261.unknown
_1265529265.unknown
_1265529267.unknown
_1265529268.unknown
_1265529266.unknown
_1265529263.unknown
_1265529264.unknown
_1265529262.unknown
_1265529257.unknown
_1265529259.unknown
_1265529260.unknown
_1265529258.unknown
_1265529253.unknown
_1265529255.unknown
_1265529256.unknown
_1265529254.unknown
_1265529249.unknown
_1265529251.unknown
_1265529252.unknown
_1265529250.unknown
_1265529247.unknown
_1265529248.unknown
_1265529246.unknown
_1265529245.unknown