Lista de Exercicios para a 2aProva da 1a NP de Calculo III -

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios para a 2ªProva da 1ª NP de Cálculo III – 2013.2 
1. Identifique e esboce: (a) 4x2 + 4y2 + z2 = 4; (b) x2 – y2 + 4z2 = 36 
2. Esboce: (a) o domínio da função f(x,y) =
22 yx1
yx
−−
− ; (b) o domínio de f(x , y , z) =
22
4
yx99 
tg(xyz)22z
−−
+− ; 
(c) o domínio de f(x , y , z) = 
44zx
y)sen(x
22 +−
+ ; (d) o domínio e o gráfico de f(x,y) = 22 4y25x100 −− 
3. Mostre que os seguintes limites não existem: (a)
0y
0x
lim
→
→ 22
2
yx
xyx
+
− (sug.: Considere os caminhos: x = 2y e x = 3y); 
(b) 
0y
0x
lim
→
→ 22
22
yx
yx
+
− ; (c)
0y
1x
lim
→
→
 






+−+
+−−
12xyx
12xyx
22
22
; (d) 





+−
−−
→ 57y3x
1yx lim
(3,2)y)(x,
; (e) 








−+−
−−−
→ 22
22
(1,2)y)(x, 2)(y1)(x
2)(y1)(x lim 
 
4. A função 
22yxxy
42x2x2xyyxxy)g(x,
223
−−+
+−−−+
= tem limite em (2,1). Calcule este limite. 
 
5. (a) Escreva uma equação da reta tangente à intersecção da superfície de equação x2+y2+z2–2x+4y–4=0 com o plano z = –2, 
 ∀x,∀y, no ponto (0,0,–2); 
(b) Escreva uma equação da reta tangente à intersecção da superfície de equação x2–y2+z2–2xy–4=0 com o plano z = –2, 
 ∀x,∀y, no ponto (0,0,–2); 
(c) Escreva uma equação da reta tangente à intersecção da superfície de equação x2+y2+z2–2x+4y–4=0 com o plano x = 0 , 
 ∀y,∀z, no ponto (0,0,–2) 
 
6. Determine as derivadas parciais indicadas: (a) su/ er u/ ∂∂∂∂ , se u = 3x2 + xy – 2y2, x = 3r–2s e y = 3s–2r; 
(b) fx(x,y) e fy(3,0), se f(x,y) = ∫
2
3
y
x
costdte ; (c) su/∂∂ , se u = x2 + xy , x= r2 + s2 , y = 3r–2s; 
(d) f121(1,–1), se f(x,y) = 2x
3y + 5x2y3 – 3xy2; (e) y
z
∂
∂ , se x2z3–7xyz+y2Lnx=5; (f) xz
h2
∂∂
∂ , se h(x,y,z)=xz2–zsen(xy)+10; (g) 
D31w(1,7,–5), se w(z,y,x) = x2yz+sec(y/z); (h) su/∂∂ , se u=sen(x3) –2y2 , x=s4– t3 e y = tg(2s+t); 
(i) ∂y/∂s, se x2 y3 + cos(st) = 0 e senx+seny+st = 0; 
(j) as derivadas parciais de f com respeito às coordenadas polares, se f(x,y) = x3y2; 
 
7. Determine o plano tangente e a reta normal às superfícies indicadas nos pontos indicados: (a) x2 = 12y , ∀z em (6,3,1); 
(b) x2 – 12y – z –3 = 0 em (2,0,1); (b) x2 + y2 – z2 = 6 no ponto (3,–1,2); (c) f(x,y) = x3y2 no ponto em que x=1 e y=–1; 
(d) z3 + (x2 + y2)z – 3 = 0 no ponto (1,1,1); (e) xz3 + (x2 + y2)z – 3 = 0 no ponto (1,1,1). 
 
8. (a) Use a diferencial total para encontrar aproximadamente o erro máximo no cálculo da área do triângulo retângulo a partir 
 dos comprimentos dos catetos que medem 6 e 8 cm , respectivamente, com um possível erro de 0,1 cm para cada 
 medida. 
(b) Use diferencial total para encontrar, aproximadamente, o erro máximo no cálculo do volume de um cilindro circular 
 reto em que o raio da base e a altura medem 2cm e 10 cm , respectivamente, com um possível erro de 0,1 cm para 
 cada medida. 
(c) Se f(x,y) = x3y2 e, x é medido com um possível erro máximo de 3 % e y é medido com um possível erro máximo de 
 5% , use diferencial total para estimar o possível erro máximo que se comete ao se calcular f(20 , 10). 
(d) Se f(x,y) = 4xy2 e, x é medido com um possível erro máximo de 3 % e y é medido com um possível erro máximo de 
 5% , Use diferencial total para estimar o possível erro máximo que se comete ao se calcular f(3 , 2). 
(e) Use diferencial total para encontrar, aproximadamente, o erro máximo no cálculo da hipotenusa do triângulo retângulo 
 cujos catetos medem 5 e 12 cm, respectivamente, e que estas medidas estão sujeitas a um possível erro de no máximo 
 0,1 cm cada. 
(f) Em um dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 5 cm e ele está crescendo a uma taxa de 
 2cm/seg e o comprimento do outro cateto é 12 cm e está decrescendo a uma taxa de 1 cm/seg. Ache a taxa de variação 
 da medida do ângulo oposto ao lado de 5 cm, neste instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. Mostre que a função u = ln(x2 + y2) satisfaz à equação de Laplace 
2. Dê a reta normal à x2 – 12xy – z = 1 e que é paralela ao eixo X. 
 5. Determine 
4. A quádrica z = αx2 – 5y2 + x + y + 1 = 0 é uma “sela”. Qual é o sinal de α ? 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4) Se x2 y3 + cos(st) = 0 e senx+seny+st = 0 determine ∂y/∂s 
5) Resolva a 2ª questão considerando F(x,y,u,s,t) = u–sen(x3)+2y2 = 0 , G(x,y,u,s,t) = x–s4+t3 = 0 e H(x,y,u,s,t) = y–
tg(2s+t) = 0 
2) Determine o plano tangente e a reta normal à superfície = 1 no ponto P(1,0,1/4) 
3) Verifique que as superfícies x2 + y2 + z2 = 1 e x2 = y2 + z2 + 1 são tangentes no ponto (1,0,0) e determine o plano tangente a 
ambas neste ponto. 
1) Use diferencial total para encontrar, aproximadamente, a quantidade de material necessária para se construir uma caixa tri-
retangular com dimensões internas LxCxA iguais a, respectivamente, 20 cm, 30 cm e 40 cm e, sabendo que a espessura do 
material a ser utilizado é 1cm. 
) Se u–x3+2y2 = 0 , x–s4–t3 = 0 e y–tg(st) = 0 determine ∂s/∂y 
1) Identifique e esboce a superfície: (a) 25x2 + 36y2 – 3600y = 0 ; (b) 25x2 – 36y2 – 8100y = 0 
1) Dada a função z = f(x,y) = 22 4y25x100 −− : (a) determine o domínio de f ; (b) esboce o domínio de f ; (c) esboce o 
gráfico de f. 
3) Determine fy(0,0) se: (a) f(x,y) = x3y2 – sen(xy) ; (b) f(x,y) = x2 + | y | 
4) Determine equações da reta intersecção do gráfico de z = 22 4y25x100 −− com o plano x = 0 ,∀ y,∀ z , no ponto 
(0,4,6) 
5) Se V for o valor atual de uma anuidade de pagamentos iguais de R$ 100,00 ao ano, por t anos, a uma taxa de juros de 100i 
% ao ano, então V = 







 +− −
i
i t)1(1 100 . Ache a taxa de variação de V por unidade de variação em i, se t permanecer 
fixo em 8. 
1) Usando a diferencial total, ache o erro máximo aproximado no cálculo do comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo 
com medidas 5m e 12m para seus catetos. 
2) Se  = cosh(y/x) , x = 3r2s e y = 6ser determine ∂ u/ ∂ r 
4) Determine a reta normal e o plano tangente à x2/3 + y2/3 + z2/3 = 2 em (–1,0,1). 
5) a)As superfícies x2 + z2 + 4y = 0 e x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 são tangentes em P(0,–1,2)? Justifique sua resposta. 
 b) Se não, determine a reta tangente a curva intersecção destas superfícies em P 
1) Se x+y3+u3+v3 = 5 e x3–y–u4–v4=7 , determine ∂ u/ ∂ x 
1) Mostre que não existe 








−+
−−
→ 22
22
(0,3)y)(x, )3(yx
)3(yx lim 
3) Determine a reta normal e o plano tangente à x1/3 + y1/3 + z1/3 = 2 em (–1,8,1). 
 (b)Trace a superfície de equação x2 + y2 + z2 – 4y = 0 
4. (a) Identifique e esboce a superfície x –1 = y2 – z2 
1. Determine e esboce o domínio de f(x,y,z) = x + 4yx 22 −+ . 
2. Mostre que a função 2
22
y)(x
yxy)f(x,
−
+
= não tem limite em (0,0) 
4. Determine uma equação da reta tangente à curva de nível h(x,y) = 4 da função h(x,y) = x2 – y2 + x +2y + 2 no ponto (x , 
y) = (1,2). 
5. Determine uma equação da reta tangente à curva intersecção do plano z = 4, ∀x, ∀y, com a superfície cujos pontos (x,y,z) 
satisfazem à equação x2 – y2 + x + 2y – z + 2 = 0 no ponto em que x = 1 e y = 2. 
1. Usando diferenciais, determine um valor aproximado da área de um triângulo retângulo cujas medidas aproximadas dos 
catetos são 5,99 cme 8,05 cm. 
2. Um ponto P está movendo-se ao longo da curva intersecção das superfícies x2 – y2 = z2 – 6 e x2 + y2 = 2z – 1, com x , y 
e z expressos em centímetros. Se z está crescendo a uma taxa de 0,1 (cm/min), com que rapidez y está variando 
quando z = 3 e, x e y são negativos?. 
3. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície de equação x2+y2+z2 – 2x–8 = 0 no ponto em que 
x = 4. 
4. Determine uma equação da reta tangente à curva da questão 2., no ponto em que x = 2 e z = 3