Atividade Estruturada Calculo III.2016

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTACIO DE SÁ
(Nome do Aluno) 
ATIVIDADE ESTRUTURADA CALCULO 3
PROFESSOR: ----------------
CAMPOS – PRAÇA ONZE, RJ
2016
UNIVERSIDADE ESTACIO DE SÁ
(Nome do Aluno)
ATIVIDADE ESTRUTURADA CALCULO 3
Trabalho com finalidade de estudar, analisar criticamente, modelar e desenvolver a solução de aplicações das
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s) com origem em alguma área de conhecimento
	
CAMPOS – PRAÇA ONZE, RJ
2016
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO............................................................................. 4
2 RESULTADO E DISCUSSÃO..................................................... 5
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................. 12
						
	
Definição: Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente e podem ser classificadas quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Em símbolos, podemos expressar uma equação diferencial ordinária de ordem n em uma variável dependente na forma geral por
	F (x, y, yK, y n )  0 (1)
	
Exemplo: São EDO´s de primeira ordem as equações:
	dy
	 8 y  e x ,
	dx
	
	dy
	 4x  y ,y  3 y  0
	
	
	
	
	
	
	
	
	dx
	dt dt
	
Observação: As derivadas ordinárias são escritas com a notação de Leibniz dy/dx, ou com a notação linha y, podemos então reescrever a primeira equação diferencial com notação linha e deixar a mesma um pouco mais compacta como y 8 y  e x.
Definição: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que figura na equação.
Exemplo: As equações y  5 y  y  2x, e 2 y  cos t, são respectivamente de segunda, e primeira ordem.
Definição: Uma equação diferencial ordinária de ordem n, como na equação (1), é linear se F for linear em y, y, K, y n. Caso F não for linear em y, y,K, y n dizemos que a equação é não-linear.
Observação: As duas propriedades características de uma equação diferencial linear são: primeiramente, a variável dependente e todas as suas derivadas são do primeiro do grau, isto é a potência de cada termo envolvendo y é 1. Segundo, cada coeficiente depende no máximo da variável independente x.
Decaimento radioativo
Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, denotada por dQ/dt, é dada por:
dQ/dt = - k Q(t)
onde k é uma constante que depende do elemento. Por exemplo, para o carbono-14 o valor aproximado é k = 1,244×10-4, para o rádio o valor aproximado é k = 1,4×10-11.
O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de "meia-vida" do elemento. A "meia-vida" é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa.
 As "meias-vidas" de vários elementos radioativos podem ser encontradas nos livros de Química. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 está entre 5538 e 5598 anos, sendo em média 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos.
O carbono-14 é uma importante ferramenta em pesquisa arqueológica conhecida como teste do radio carbono.
A quantidade inicial do elemento radioativo é Q(0) = Qo.
Exemplo: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo.
Solução: Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidade inicial. Resolvendo a equação dQ/dt = - k Q(t) temos que
Q(t) = Qo e –k.t e, para t = 16, Q(16) = ½Qo, logo e -16.k = ½.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, obtemos
k = [ln(2)]/16 = 0,0433 dias-1 e dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em qualquer instante:
Q(t) = Qo e -0,0433 t
Para t = 30 dias e Q(30) = 30 g: Qo = 30/e -0,0433x30 ≅ 110 g
2ª Lei de Newton
A segunda lei de Newton diz que o produto da massa pela aceleração de um corpo é igual ao somatório das forças que atuam sobre ele:
Para um corpo em queda livre, introduzindo um termo simples para levar em conta o atrito com o ar,
onde v é a velocidade do corpo, k o coeficiente de atrito e g a aceleração da gravidade.
Rearranjando a equação, obtemos
ou seja, uma EDO linear de 1ª ordem cuja solução geral é
Exemplo: Um paraquedista, pesando 70 kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 10 s. Antes da abertura do paraquedas, o seu coeficiente de atrito é kspq = 5 kg s-1, depois é kcpq =100 kg s-1.
a) Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas?
Já vimos a equação que descreve a queda livre, bem como a sua solução
A constante de integração é determinada a partir da condição inicial,
A solução particular é então
Ao fim de 10 segundos, a velocidade alcançada pelo paraquedista é
b) Qual a distância percorrida em queda livre?
Já obtivemos no item anterior a forma como a velocidade do paraquedista varia com o tempo durante a queda livre. Sabemos também que a velocidade é a derivada da distância percorrida com relação ao tempo. Então:
ou seja
	
Aplicando a condição inicial
	
A solução particular é então:
	
A distância percorrida após 10 segundos foi:
	
Esperemos que o nosso homem tenha saltado do avião quando este se encontrava a uma altura superior a 392 m, do contrário terá se estatelado no chão antes de abrir o paraquedas.
c) Qual a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas?
Após a abertura do paraquedas a velocidade começa a decrescer, devido ao maior coeficiente de atrito, até que é eventualmente atingido um equilíbrio entre a força da gravidade e a força de atrito. A partir desse momento a velocidade permanece constante (velocidade limite). A evolução da velocidade após a abertura do paraquedas é mais uma vez dada pela lei de Newton:
e a sua solução é:
Para um tempo suficientemente longo (t → ∞) atinge-se a velocidade limite:
	
Lei do resfriamento de Newton
Um modelo real simples da troca de calor entre um corpo e o meio ambiente onde está situado admite três hipóteses básicas:
A temperatura T = T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo. 
A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência. 
A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. 
Dessa forma, a EDO que descreve o problema é:
dT/dt = -k (T-Tm)
onde T = T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente, T-Tm é a diferença de temperatura e k é uma constante positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:
dT/(T-Tm) = -k dt
integrando ambos os lados:
Ln(T-Tm) = -kt + ko
u de forma equivalente:
T(t)-Tm = C exp(-kt)
logo, a solução da EDO será:
T(t) = Tm + C exp(-kt)
Quando temos a temperatura inicial do corpo T(0) = To, podemos obter a constante C, já que To = Tm + C e assim
C = To-Tm
e a solução do PVI:
dT/dt = -k(T-Tm), T(0) = To
será:
T(t) = Tm + (To-Tm) exp(-kt)REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://www.unifra.br/cursos/matematica/downloads/TFG%20II%20%20_Patricia_.pdf
http://www.mat.puc-rio.br/~calneto/MAT1154/Site/Aplicacoes%20de%20equacoes%20de%20primeira%20ordem.pd
ELEMENTOS DE ELETRICIDADES
 CIRCUITOS ELETRICOS RLC