Aula_03_04b

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ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Representação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0. e vpor R do reta da pontos pelos ovisualizad
 v, de escalares múltiplos os todos de conjunto o é {v} Span Então
 .R do nulo-nãovetor um v Seja
3
3
0. e v u, contém que R do plano o é v}{u, Span Então
 u. de múltiplo é não v e R do nulo-não vetores são v e u Se
3
3
Exemplo .... 
 
 
 
 
 
 
 
 
plano? esse a pertence bvetor O
.R no origem pela plano um é }a ,{a Span Então
1
8
3-
 b e a , a Seja
3
21
21
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
3
13
5
3
2
1
Equação matricial A x = b 
 
 
 
 
 
 
 
]
...
a a ... a a [ 
é completa matriz cuja
lineares equações de sistema o que solução conjunto mesmo o tem que
baxax ax
 
vetorial equação a que solução conjunto mesmo o tem
b x A 
 matricial equação a
R a pertence b se e a ..., ,a colunas com ,x matriz uma é ASe
n21
nn2211
n
n1
=+++
=
nm
Exercícios – p. 42 
 
 
Exercícios – p. 21 
Sistema Homogêneo 
Um sistema linear é homogêneo se pode ser escrito como 
A x = 0, 
onde A é a matriz m x n e 0 é o vetor nulo do Rm 
 
 
Sistema do tipo A x = 0 sempre tem uma solução: 
x=0 (vetor nulo do Rn) chamada de solução trivial 
 
 
 
Teorema: 
A equação homogênea A x = 0 tem solução não trivial 
se e somente se a equação tem pelo menos uma variável livre 
Sistema Homogêneo 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−−
=−+
08
0423
0453
321
321
321
x x x 6 
x x x 
x x x 
 
 :trivial não solução admite sistema o se Determine
1 Exemplo
Sistema Homogêneo 
Sistema Homogêneo 
{ 02310 =−− 321 x x x 
 :homogêneo sistema"" do soluções as Descreva
2 Exemplo
Sistema Homogêneo 
O conjunto solução 
da equação de uma 
equação homogênea 
 A x = 0 sempre pode 
ser escrito como 
Span { v1, ..., vp}. 
Se a única solução 
for o valor nulo, então 
o conjunto solução é 
Span {0}, se a solução 
tem apenas uma 
variável livre, o conjunto 
solução é uma reta que 
pela origem, 
se tem duas variáveis 
livres é um plano que 
passa pela origem 
Exercícios – p. 51 
Exercícios – p. 51 
Exercícios – p. 51 
Exercícios – p. 53 
Independência Linear 
 
0 vcvc vc 
 que tais zero, a iguais todas não c ..., ,c
constantes existem se DEPENDENTE ELINEARMENT
 de chamado é R no }v v { conjunto O
trivial solução a APENAStem
0 vxvx vx 
 vetorial equação a se TEINDEPENDEN ELINEARMENT
 de chamado é R no }v v { vetores de conjunto Um
pp2211
p1
n
p1
pp2211
n
p1
=+++
=+++
...
,...,
...
,...,
Independência Linear 
{ }
321
321
321
v e v v entrelinear adependênci
 de relação uma encontre possível, Se (b)
dependente elinearment
 é v v v conjunto o se Determine (a)
v e v ,v Sejam
1 Exemplo
,
,,
0
1
2
6
5
4
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Independência Linear 
Os vetores da matriz A são LI 
se e somente se a equação A x = 0 
tem somente a solução trivial 
LD ou LI são vetores os se Verifique
v e v ,v Sejam
2 Exemplo
321
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
1
4
8
2
1
5
1
0
Independência Linear 
{ }
outro do múltiplo é vetores dos um
 LD é vv conjunto Um
(b) e (a) em
 LD ou LI são vetores os se Verifique
v ,v Sejam (b)
v ,v Sejam (a)
3 Exemplo
21
21
21
⇔
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
,
2
6
2
3
2
6
1
3
Independência Linear 
Exemplo 4
Sejam u =
3
1
0
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
, v =
1
6
0
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
Determine Span {u,v} 
O vetor w pertence ao Span {u,v} ⇔ { u, v , w } são LD
Span {u, v} é o plano formado pelos vetores e passando na origem 
Se w é combinação linear de u e v, então {u, v, w} são LD e portanto 
W pertence ao Span {u, v} 
Independência Linear 
Independência Linear 
 
LD é conjunto o então nulo,vetor o contém
 R no }v v { S vetores de conjunto um Se
9 Teorema
n
p1 ,...,=
Exercícios para casa – p. 60 
Exercícios para casa – p. 60 
Exercícios para casa – p. 60