Álgebra Linear - Mudança de Base e Inversa de Matriz

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ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Mudança de base 
[ ]
[ ] .
1
3
3
.64
C
B
x Determine
x , seja ou , bb x que Suponha
ccb e ccb
 :que taisV vetorial espaço o para
 }c ,{c C e }b ,{b B bases duas as Considere
21
212211
2121






=+=
+−=+=
==
Mudança de base 
[ ] [ ] 





=





=
+=+=
4
6
1
3
CB x e x
:é isto , c 4c 6 x e b b 3 x 
:como dorepresentaser podex vetor Um
C. base a e B base a , distintas R do bases duas Sejam
2121
2
Teorema 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ]
C. para B de base de mudança matriz a é matriz A
b b b 
B base da vetores dos scoordenada-C das vetores os são de colunas As
xx
 que tal n,x n matriz uma existe Então
 V. vetorial espaço o para bases }c ..., ,{c C e }b ..., ,{b B Sejam
P
P
P
P
P
BC
n21
BC
BC
BC
BC
n1n1
←
←
←
←
←
=
=
==
CCC
BC
Consequências 
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
PP
P
PP
P
P
P
P
P
CBBC
BC
BCBC
BC
BC
BC
BC
n21
BC
B. a para C base da converte que matriz a é matriz A
 xx
:obtemos por lados dois os ndomultiplica
. inversível é que Segue
B LI conjunto de scoordenada de vetores são porque LI são de colunas As
C. para B de base de mudança matriz a é matriz A
b b b 
 
←
−
←
−
←
−
←←
−
←
←
←
←
←
=









=



⇒=





=
1
1
1
1
,
BCBC
CCC
xx
Exemplo 2 
C. para B de base de mudança matriz a Determine
c{c C e b{b Bpor dadas R do bases as Considere
c e 
4-
1
 c b e 
1
9-
 b Sejam
2121
2
2121
}.,},
.
5
3
,
1
5
==






−
=





=





−
−
=





=
Exemplo 3 
C. para B de base de mudança matriz a Determine (b)
B. para C de base de mudança matriz a Determine (a)
c{c C e b{b Bpor dadas R do bases as Considere
c e 
9
7-
 c b e 
3-
1
 b Sejam
2121
2
2121
}.,},
.
7
5
,
4
2
==





−
=





=




−
=





=
Inversa de uma matriz – teorema 4 (p.103) 
.inversível é não Aentão 0,bcad Se
ac-
b-d
A
 e inversível é Aentão 0, bc-ad Se . 
dc
ba
 ASeja
-1
=−






−
=
≠





=
.1
bcad
Algoritmo para determinar a matriz inversa (p.107) 
[ ]
[ ] [ ]
inversa. tem não Acontrário, Caso
 AI a linhapor eequivalent é I A então
 I, a linhapor eequivalentfor ASe
I A completa matriz a Escalone
-1 .
.
Exercícios – p. 248 
	ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012
	Mudança de base
	Mudança de base
	Teorema
	Consequências 
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Inversa de uma matriz – teorema 4 (p.103)
	Algoritmo para determinar a matriz inversa (p.107)
	Exercícios – p. 248