Probabilidade 02

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Elionai Sobrinho
Probabilidade e Estatística
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Variáveis Aleatórias
A partir de agora, nós analisaremos modelos de probabilidade que sinalizam números em suas saídas no espaço de amostras. Quando nos referimos a um destes números, estamos nos referindo a observação como uma Variável Aleatória.
Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.
Uma variável aleatória é uma função (mensurável) 
X: W  R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.
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Variáveis Aleatórias
Alguns Exemplos:
1- o experimento é anexar um detector de fótons a uma fibra óptica e contar o número de fótons que chegam em um intervalo de um microssegundo. Cada observação é uma variável aleatória X. A faixa de X é SX={0, 1, 2,...}. Neste caso, SX, a faixa de X e o espaço de amostras S são idênticos. Neste caso a variável aleatória é a observação. A saída no lançamento de um dado também é a própria observação.
2- o experimento é testar 6 circuitos integrados e depois de cada teste observar se o circuito é aceito (a) ou rejeitado (r). Cada observação é uma sequência de 6 letras onde cada letra ou é a ou é r. Por exemplo, S8=aaraaa. O espaço de amostras consiste de 64 sequências possíveis. Uma variável aleatória associada a este experimento é N (o número de circuitos aceitos). Para a saída S8 do exemplo, N=5 circuitos aceitos. A faixa de N é SN={0,1, ..., 6}. Neste caso, a variável aleatória é uma função da observação. 
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Variáveis Aleatórias
3- Do exemplo anterior, a receita líquida R obtida por um lote de 6 circuitos integrados é de $5 para cada circuito aceito menos $7 para cada circuito rejeitado. Isto por que para cada circuito defeituoso que vai para fora da fábrica, ele custará a companhia $7 para lidar com reclamações do cliente e o fornecimento da substituição do circuito. Quando N circuitos são aceitos, 6-N circuitos são rejeitados tal que a receita líquida R é relacionada a N pela função:
R=g(N)=5N-7(6-N)=12N-42 dolares
Desde que SN ={0, 1, 2, ..., 6} a faixa de R é: 
SR={-42, -30, -18, -6, 6, 18, 30}
Neste caso, a variável aleatória é função de outra variável aleatória
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Variáveis Aleatórias
Discretas
Contínuas
Mistas (que misturam discretas e contínuas)
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Variáveis Aleatórias Discretas
No caso de um lançamento de uma moeda os resultados compõem um espaço amostral não numérico = (Cara, Coroa). Temos, no entanto, às vezes substituído o espaço amostral consistindo apenas de números reais, tais como Sx = {0,1}, onde a Cara é mapeada em 1 e a Coroa é mapeada em 0. Este mapeamento é mostrado na Figura. Para muitas aplicações esse é um mapeamento conveniente. 
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Variáveis Aleatórias Discretas
Por exemplo, uma sucessão de M lançamentos de moedas, poderíamos estar interessados no número total de Caras observadas. Com o mapeamento definido de 
Nós poderíamos representar o número de caras como , onde Si é o resultado de um lance. A função que mapeia S em Sx e que é indicado por um X(.) é chamada de variável aleatória. É uma função que leva cada resultado de S (que pode não ser necessariamente um conjunto de números) e mapeia-os para o subconjunto do conjunto dos números reais. 
Observe que uma letra maiúscula X irá denotar a variável aleatória e uma letra minúscula x seu valor. 
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Exemplo
Suponha que observemos 3 chamadas em uma central telefônica onde chamadas de voz (v) e de dados (d) são igualmente prováveis. Seja X a variável aleatória que denota o número de chamadas de voz, Y o número de chamadas de dados e R = XY. O espaço de amostras do experimento e os valores correspondentes das variáveis aleatórias X, Y e R, são:
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Função Massa de Probabilidade (FMP) ou 
Função Distribuição de Probabilidade (FDP)
para Variáveis Aleatórias Discretas
Quando nós temos uma variável aleatória discreta X, nós expressamos o modelo de probabilidade como uma Função Massa de Probabilidade ou Função Distribuição de Probabilidade (FDP) PX(x). Os argumentos de uma FDP existe para toda a faixa de números reais. A FDP de uma variável aleatória discreta X é:
PX(x)=P[X=x]
Para o exemplo anterior para VA R, qual seria a FDP da VA R?
PR(r)=
¼ r=0
¾ r=2
0 para outros
r
PR(r)
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Exemplo: Quando o jogador de basquetebol Oscar Schmidt tinha dois lances livres, cada lance tinha a mesma chance de ser bom(b) ou ruim (r). Cada lance bom tinha um ponto. Qual é a FDP de X, o número de pontos conseguidos? 
{X=0} = {rr}, {X=1}={br, rb}, {X=2}={bb}
Há 4 saídas para este experimento: bb, br, rb e rr. Um simples diagrama em árvore indica que cada saída tem probabilidade ¼ . A VA X têm 3 valores possíveis correspondente a 3 eventos:
Desde que cada saída tem probabilidade ¼, estes 3 eventos tem probabilidades
P[X=0] = 1/4, P[X=1]=1/2, P[X=2]=1/4
x
PX(x)
Função Massa de Probabilidade (FMP) ou 
Função Distribuição de Probabilidade (FDP)
para Variáveis Aleatórias Discretas
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Principais Distribuições Discretas
Bernoulli
Geométrica
Binomial
Uniforme Discreta
Poisson
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Variável Aleatória de Bernoulli
X é uma VA de Bernoulli (p) se a FDP de X tem a forma:
PX(x)=
1-p x=0
p x=1
0 para outros
Onde o parâmetro p está na faixa entre 0 < p < 1
x
Aplicada em experimentos que possuem apenas duas saídas possíveis (dicotômicos). Caso a saída alvo ou desejada (aquela que tem probabilidade p) for a saída do Evento (E), então a VA assume o valor 1 (X=1). 
Senão, a saída foi a outra saída possível, com probabilidade (1-p) e a VA assume o valor 0 (X=0).
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Variável Aleatória de Bernoulli
Exemplo: o lance de uma moeda, verificar se o último dígito de um número telefônico é par ou impar ou observar a chegada dos bits (0 ou 1) transmitidos através de um modem em um download são todos experimentos cuja FDP é membro de uma VA de Bernoulli.
Exemplo: suponha que você testa um circuito. O circuito é rejeitado com probabilidade p=0.2. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Qual é a PX(x)?
Como há apenas duas saídas no espaço de amostras, X=1 com probabilidade p=0.2 e X=0 com probabilidade 1-p=0.8
PX(x)=
0.8 x=0
0.2 x=1
0 para outros
PX(x)=
x
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Variável Aleatória Geométrica
X é uma VA Geométrica (p) se a FDP de X tem a forma:
PX(x)=
p(1-p)x-1 x=1,2,3,...
0 para outros
Onde o parâmetro p está na faixa entre 0 < p < 1
Utilizada quando temos uma sequência repetida de um mesmo experimento dicotômico (aquele que possui apenas dois resultados possíveis), estaremos interessados em saber quantas experimentações (repetições) precisaremos fazer até que saia o primeiro resultado alvo (aquele que tem probabilidade p). 
Portanto, X mede o número de repetições necessárias até que ocorra o primeiro resultado alvo (que pode ocorrer na 1ª (X=1) ou na 2ª (X=2) ou na n-ésima repetição (X=n).
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Variável Aleatória Geométrica
Exemplo: no teste de circuitos integrados há uma probabilidade p que cada circuito seja rejeitado. Seja X igual ao número de testes até que seja incluído o primeiro teste que descobre um rejeitado. Qual é a FDP de X?
O procedimento é manter o teste de circuitos até que apareça um rejeitado. Usando a para denotar um circuito aceito e r para um rejeitado, a árvore é:
Da árvore, nós vemos que P[X=1]=p, P[X=2]=p(1-p), P[X=3]=p(1-p)2 e, em geral, P[X=x]= p(1-p)x-1 
(1-p)
p
(1-p)
p
(1-p)
p
r X=1
 a
r X=2
 a
r X=3
 a
...
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Variável Aleatória Geométrica
Se há uma probabilidade 0.2 de rejeição, fica:
Px(x)=
(0.2)(0.8)x-1 x=1,2,3,...
0 para outros
p=0.2
for x=1:20 
 pr(x)=p*(1-p)^(x-1);
end
x=[1:1:20];
bar(x,pr)
x
Px(x)
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Variável Aleatória Binomial (n,p)
X é uma VA Binomial(n,p) se a sua FMP tem a forma
Onde 0< p <1 e n é um inteiro tal que n≥1.
Utilizada quando temos uma sequência definida (n) do mesmo experimento dicotômico (aquele que possui apenas dois resultados possíveis), estaremos interessados em saber quantas experimentações,
das n realizadas, tiveram como saída o resultado alvo (aquele que tem probabilidade p). 
Portanto, X mede o número de ocorrências do resultado desejado dentro das n observações. Podemos ter nenhuma ocorrência (X=0), uma ocorrência (X=1), ... Ou as n ocorrências (X=n).
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Variável Aleatória Binomial (n,p)
Exemplo: suponha que nós testamos n circuitos e cada circuito é rejeitado com probabilidade p independente do resultado dos outros testes. Seja K igual ao número de rejeitados dentre os n testados. Encontre a FDP de Pk(K)
Se há uma probabilidade p= 0.2 de rejeição e nós realizamos 10 testes, então fica:
k
PK(k)
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Variável Aleatória Uniforme Discreta
X é uma VA Uniforme Discreta (k,l) se a sua FDP tem a forma:
Onde k e l são inteiros tais que k<l
PX(x)=
1/(l-k+1) x=k, k+1,k+2, ...,l
0 para outros
Utilizada quando as saídas do experimento são equiprováveis (possuem as mesmas chances ou probabilidades de saída). X define as saídas equiprováveis.
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Variável Aleatória Uniforme Discreta
Exemplo: no lance de um dado honesto, a VA X é o número de furos que aparecem na face para cima. Portanto, X é uma VA Discreta Uniforme (1,6) e 
x
PN(x)
PX(x)=
1/6 x=1, 2, 3, ...,6
0 para outros
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Variável Aleatória de Poisson
X é uma VA de Poisson (α) se a sua FDP tem a forma:
Onde α é um inteiro maior que zero (α>0)
Px(x)=
αxe-α/x! x=0,1,2,...
0 para outros
Utilizada em experimentos que medem ocorrências (discretas: número de chegadas, número de saídas, número de atendimentos, número de acessos, etc.) que ocorrem dentro de um determinado intervalo de tempo (T). X mede estas ocorrências dentro do referido intervalo de tempo.
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Variável Aleatória de Poisson
Para exemplificar a VA de Poisson, usaremos o fenômeno de interesse em chegadas. O modelo de Poisson frequentemente especifica uma taxa média, λ chegadas por segundo em um intervalo de tempo, T segundos. Neste intervalo de tempo, o número de chegadas X tem uma FMP de Poisson com α= λT.
O Modelo de Probabilidade de VA de Poisson descreve fenômenos que ocorrem aleatoriamente no tempo. Enquanto no tempo de cada ocorrência é completamente aleatória, há uma número médio conhecido de ocorrências por unidade de tempo. 
O modelo de Poisson é usado amplamente em muitos campos. Por exemplo, na chegada de requisição de informações em um servidor WWW, a iniciação de uma chamada telefônica, a emissão de partículas de uma fonte radioativa são frequentemente modelados como uma VA de Poisson.
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Variável Aleatória de Poisson
Exemplo: O número de acessos a um web site em qualquer intervalo de tempo é uma VA de Poisson. Um site em particular tem em média 2 acessos por segundo. Qual a probabilidade que não haja qualquer acesso em um intervalo de 0.25 segundos? Qual é a probabilidade haja não mais que dois acessos em um intervalo de 1 segundo?
PH(h)=
0.5he-0.5/h! h=0,1,2,...
0 para outros
Em um intervalo de 0.25 segundos, o número de acessos H é uma VA de Poisson com α= λT=(2 acessos/s)x(0.25s)=0.5 acessos. A FDP de H é:
A probabilidade de nenhum acesso é
PH(0)=P[H=0]= 0.50e-0.5/0!=0.607 
Em um intervalo de 1 segundo, α= λT=(2 acessos/s)x(1s)=2 acessos. Fazendo J denotar o número de acessos em 1 segundo, a FMP de J é:
PJ(j)=
2je-2/j! j=0,1,2,...
0 para outros
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Variável Aleatória de Poisson
P[J<=2] 	= P[J=0] + P[J=1] + P[J=2]
	= PJ(0) + PJ(1) + PJ(2)
	=0.667
Para encontrar a probabilidade de não mais que dois acessos em um intervalo de 1 segundo, note que {J≤2}={J=0} U {J=1} U {J=2} que é a união de três eventos mutuamente exclusivos. Portanto:
j
PJ(j)
clear
a=2
for j=0:10 
 pj(j+1)=a^j*exp(-a)/factorial(j);
end
j=[0:1:10];
bar(j,pj)
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Exercícios
1- O número de queries em uma Base de Dados processadas por um computador em qualquer intervalo de 10 segundos é uma VA de Poisson, K, com α=5 queries. Qual é a probabilidade que não será processada qualquer query em um intervalo de 10 segundos? Qual a probabilidade que no mínimo duas queries seja processadas em um intervalo de 2 segundos?
2- Toda vez que um modem transmite um bit, a recepção do modem analisa o sinal que chegou e decide se o bit transmitido é 0 ou 1. Ele comete erro com probabilidade p, independentemente se qualquer outro bit é recebido corretamente.
Se a transmissão é continua até que a recepção do modem cometa seu primeiro erro. Qual é a FDP de X, o número de bits transmitidos?
Se p=0.1, qual é a probabilidade que X=10? Qual a probabilidade que X>=10?
Se o modem transmite 100 bits, qual é a FDP de Y, o número de erros?
Se p=0.01 e o modem transmite 100 bits, qual é a probabilidade de Y=2 erros na recepção? Qual a probabilidade que Y<=2?
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Função Distribuição Acumulada ou Cumulativa (FDA)
Como a Função Distribuição de Probabilidade (FDP), a FDA de uma VA discreta contém informação completa sobre o modelo de probabilidade da Variável Aleatória. Esta duas funções são completamente relacionadas, tanto que uma pode ser obtida facilmente a partir da outra.
A FDA de uma VA é:
Para qualquer número real x, a FDA é a probabilidade que a VA X seja menor ou igual a x. Todas as VA’s tem FDA, mas somente VA’s discretas tem FDP. 
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Algumas Propriedades das FDA’s
Para qualquer VA Discreta X com faixa Sx={x1, x2, ...} satisfazendo x1 ≤ x2 ≤...
a)
Indo da esquerda para direita sobre o eixo x, Fx(x) começa em zero e termina em um
b) Para todo x’≥x, 
A FDA nunca decresce quando vai da esquerda para a direita
c) Para todo xi є Sx e є, um número arbitrariamente positivo e pequeno 
d) 
Para todo x tal que xi ≤ x < xi+1
Entre saltos, o gráfico de uma FDA de uma VA Discreta é uma linha horizontal
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Algumas Propriedades das FDA’s
Teorema: para todo b ≥ a
Exemplo: Uma VA R tem a seguinte FMP:
PR(r)=
¼ r=0
¾ r=2
0 para outros
r
PR(r)
Encontre sua FDA:
FR(r) = P[ R ≤ r ] =
0 r < 0
¼ 0 ≤ r < 2
1 R ≥ 2
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Exercícios
3-Use a FDA FY(y) abaixo para encontrar as seguintes probabilidades:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 
P[ Y<1 ]
P[ Y≤1 ]
P[ Y>2 ]
P[ Y≥2 ]
P[ Y=1 ]
P[ Y=3 ]
y
FY[y]
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Médias de uma FMP
O valor médio de uma coleção numérica observada é uma estatística desta coleção, um número simples que tenta descrever a coleção inteira.
Valor Esperado
Esperança é um sinônimo de Valor Esperado. Algumas vezes, o termo Valor Médio é também usado como sinônimo para Valor Esperado. Vamos usar valor médio para referir a estatística de um conjunto experimental de saídas (a soma dividida pelo número de saídas) para distinguir do Valor Esperado, o qual é um parâmetro do Modelo de Probabilidade. O Valor Esperado de X é:
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O Valor Esperado de VA’s Especiais
VA de Bernoulli
VA Geométrica
VA de Poisson
VA Binomial
VA Uniforme
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Exercício
4-A probabilidade que uma chamada seja uma chamada de voz é P[V]=0.7. A probabilidade de uma chamada de dados é P[D]=0.3. As chamadas de voz custam R$ 0,25 cada e as de dados custam R$ 0,40 cada. Seja C igual ao custo em Centavos de Real de uma chamada telefônica. Encontre:
a) A FDP PC(c)
b) O Valor Esperado E[C]
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Função de uma Variável Aleatória
	Em muitas situações práticas, observamos amostras de valores de uma VA e usamos estas amostras para computar outras quantidades. 
	Um exemplo que ocorre frequentemente é um experimento no qual o procedimento é medir o nível de potência de um sinal recebido em um telefone celular. Um observação é x, o nível de potência em miliwatts. 
	Frequentemente, os engenheiros convertem esta medida para decibéis através do cálculo y=10 log(x) dBm. Se x é uma amostra de valor de uma VA X, implica que y é uma amostra de valor de uma VA Y. 
	Pelo fato de obtermos Y de outra VA, nos referimos a Y como uma Variável Aleatória Derivada.
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Função de uma Variável Aleatória
Exemplo: Uma VA X é o número de páginas em uma transmissão
de fax. Baseado em experiência, você tem um modelo de probabilidade Px(x) para o número de páginas em cada fax que você envia. A operadora de telefonia lhe oferece um novo plano de tarifação para fax: R$ 0,10 para a 1ª página, R$ 0,09 para a 2ª até 0,06 para a 5ª . Para todos os fax entre a 6ª e a 10ª página, a operadora cobrará R$ 0,50 por fax (ela não aceitará fax com mais de 10 páginas). Encontre a função Y=g(X) para a tarifação em centavos de R$ para o envio de um fax. 
Y=g(X)=
10.5X-0.5X2 1 ≤ X ≤ 5
50 6 ≤ X ≤ 10
Teorema: Para uma VA discreta X, a FDP de Y=g(X) é:
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Variância e Desvio Padrão
A Variância de uma VA X é:
O Desvio Padrão de uma VA X é:
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Variância de VA’s Especiais
Se X é uma VA de Bernoulli
Se X é uma VA Geométrica
Se X é uma VA Binomial
Se X é uma VA de Poisson
Se X é uma VA Uniforme
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Exercícios
5-Para o velho problema da monitoração de 3 chamadas. A VA N é o número de chamadas de voz (v). Assuma que a FDP de N é:
PN(n)=
0.1 n = 0
0.3 n = 1,2,3
0 para outros
As chamadas de voz custam 25 centavos de Real e as de dados custam 40 centavos. T centavos é o custo das 3 chamadas telefônicas monitoradas neste experimento.
Expresse T como uma função de N
Encontre PT(t) e E[T]
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Exercícios
6-O número de chips de memória M necessários em um PC depende de quantos programas, A, o proprietário quer rodar simultaneamente. O número de chips M e o número de programas A são descritos por:
PA(a)=
0.1(5-a) a = 1, 2, 3, 4
0 para outros
M=
4 chips para 1 programa
4 chips para 2 programas
6 chips para 3 programas
8 chips para 4 programas
Qual é o número esperado de programas E[A]?
Expresse M, o número de chips de memória, como uma função M=g(A) do número de programas.
Encontre E[M] = E[g(A)]. E[M] = g(E[A])?
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Exercícios
7-Em um experimento para monitorar duas chamadas a FMP de N, o número de chamadas de voz, é:
PN(n)=
Encontre:
0.1 n=0,
0.4 n=1,
0.5 n=2,
0 para outros.
O valor esperado E[N]
A Variância Var[N] 
O Desvio Padrão